2.2 基本不等式课件2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式，从乘法公式类比入手，通过完全平方公式引出a²+b²≥2ab，再引导学生用√a、√b替换探究得到基本不等式，构建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于采用分析法与几何法证明，结合矩形面积、直角三角形等实例，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（公式表达）。课堂小结明确目标，助力学生掌握应用，教师可高效开展教学。

2.2基本不等式 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题。 情境导入 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： ，有： 当且仅当时，等号成立. 探究：当 时，如果我们用 分别代替重要不等式 中的 可以得出什么结论呢？ 当且仅当时，等号成立 （注意：一正、二定、三相等） 基本不等式 即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 如果 ， 我们用 分别代替上式中的 ，可得 基本不等式的证明 法一：用分析法证明： 显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立. 要证（2），只要证 （3） 要证（3），只要证 只要证 要证 （1） （4） （2） 基本不等式的证明 法二：几何法证明 AB为圆O的直径，AC=,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得到基本不等式的几何解释吗？ 当且仅当时，等号成立 注意：一正、二定、三相等 基本不等式 例1 已知 x,y 都是正数，且 x≠y，求证： 例2.当 x取什么值时， 取得最小值？最小值是多少？ 例3.已知直角三角形的面积等于 50cm2，当两条直角边的长度各为多少时， 两条直角边的和最小？最小值是多少？ 例4.用 20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 例5.用一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18m。当这个矩形的 边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例6.已知一个矩形的周长为 36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱。当矩形的边长 为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 练习 2.(1) 在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？ (2) 在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？ 3.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图 是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地 域。计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四 个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2； 再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2。设总 造价为S（单位：元），AD长为（单位：m）。当为何值时，S最 小？并求出这个最小值。 课堂小结 1.掌握基本不等式及其推导过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. $