第14章 全等三角形·夹半角模型 专题导学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦全等三角形夹半角模型，通过定义模型及90°夹45°、120°夹60°等类型引入，结合旋转或截长补短法，衔接全等三角形知识，为复杂几何问题提供学习支架。 以模型化教学为特色，典例与真题举一反三，培养抽象能力和推理意识，分层巩固题设计助力学生掌握“旋转构造、两次全等”思维，提升几何直观与应用意识。

第14章、全等三角形·夹半角模型 专题导学案 适用年级：八年级（培优） 对应教材：人教版八年级上册第十二章《全等三角形》 课时：2课时 一、模型引入 1. 什么是“夹半角模型”？ 定义：一个大角中夹着一个大小只有它一半的角，且组成大角的两边相等，这样的几何图形称为“夹半角模型”。 常见类型： · 90°角夹45°角（正方形背景、等腰直角三角形背景） · 120°角夹60°角（等边三角形背景、对角互补四边形背景） · 2α角夹α角（一般形式） 2. 核心解题方法 旋转法（或截长补短法） ：将其中一个三角形绕公共顶点旋转，使两条相等边重合，构造全等三角形，实现线段的转移。 核心思想：通过旋转，将分散的线段集中到一条直线上，再利用全等三角形证明线段和差关系。 二、类型一：90°角夹45°角模型 【模型精讲】 条件：在正方形ABCD中（或在等腰Rt△ABC中），∠EAF = 45°（大角90°，半角45°）。 辅助线方法：延长EB至G，使BG = DF（截长补短），连接AG。 核心结论： · △ADF ≌ △ABG（SAS） · △AEF ≌ △AEG（SAS） · EF = BE + DF（线段和差关系） 【典例1-1】正方形中的90°夹45°（2025八上·武汉江岸期末） 题目：如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF = 45°。 （1）求证：EF = BE + DF； （2）求证：EA平分∠BEF。 【举一反三1-1】（2025八上·武汉硚口期中） 题目：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD的延长线上，∠EAF = 45°。探究EF、BE、DF三条线段之间的数量关系并证明。 【举一反三1-2】（2025八上·武汉武昌期末） 题目：如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，点D在△ABC外部，点E在AB边上，∠DCE = ∠DAC = 45°。求证：AD + DE = BE。 【举一反三1-3】（2025八上·黄冈期中） 题目：如图，在四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD = ∠C = 90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF = 45°。探究EF、BE、DF之间的数量关系并证明。 三、类型二：120°角夹60°角模型 【模型精讲】 条件：在四边形ABCD中，BC = CD，∠BCD = 120°，E、F分别在AB、AD上，∠ECF =∠A = 60°（大角120°，半角60°）。 辅助线方法：延长EB至G，使BG = DF（或延长FD至G，使DG = BE）。 核心结论： · △CDF ≌ △CBG（SAS） · △CEF ≌ △CEG（SAS） · EF = BE + DF 【典例2-1】四边形中的120°夹60°（2025八上·武汉江汉期末） 题目：如图，在四边形ABCD中，BC = CD，∠BCD = 120°，E、F分别为AB、AD上的点，∠ECF = ∠A = 60°。 （1）求证：EF = BE + DF； （2）求证：点C在∠BAD的平分线上。 【举一反三2-1】（2025八上·武汉硚口期末） 题目：如图，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 120°，E为AB上一点，∠DCE = ∠DAE = 60°。求证：AD + DE = BE。 举一反三2-2】（2025八上·武汉江岸期中） 题目：如图，在四边形ABCD中，BC = CD，∠BCD = 120°，E、F分别在AB、AD的延长线上，∠ECF =∠BAD = 60°。探究EF、BE、DF之间的数量关系并证明。 【举一反三2-3】（2025八上·黄石期中） 题目：如图，等边△ABC的边长为3，△BDC为等腰三角形，且∠BDC = 120°.以点D为顶点作一个60的角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是多少？ 四、课后巩固（2025-2026湖北省内真题） 【基础巩固】 1. （2025八上·武汉汉阳期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF = 45°。若BE = 3，DF = 4，求EF的长。 【中档巩固】 2. （2025八上·武汉武昌期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，点E在AB上，点D在△ABC外部，∠DCE = ∠EAC = 45°。若AE = 3，DE = 4，求BD的长。 【提高巩固】 3. （2025八上·武汉江岸期末）如图，在四边形ABCD中，BC = CD，∠BCD = 120°，E、F分别为AB、AD上的点，∠ECF = ∠A = 60°。若BE = 5，DF = 6，求EF的长。 五、模型核心总结 1. 解题“三步法” 步骤 操作 关键 ①识别 找大角（90°或120°）和半角（45°或60°），找相等边 共顶点、等线段 ②构造 延长一边，截取等于另一边 截长补短，转移线段 ③证明 证两次全等（SAS）→ 得线段和差关系 全等三角形对应边相等 2. 常见错误提醒 ❌ 错误 ✅ 正确 误认为任意四边形都可用夹半角模型 必须有相等边（如正方形邻边、等腰三角形两腰） 辅助线方向搞反 向较长边方向延长，截取较短边的长度 只证一次全等 需要证两次全等：第一次转移线段，第二次证目标结论 忘记半角条件 ∠EAF = 45°或∠ECF = 60°是证明的关键 3.解题核心思路：理解并掌握“旋转构造、两次全等、线段转移”的解题思路，就能在复杂图形中快速识别并运用这一模型。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章、全等三角形·夹半角模型 专题导学案 适用年级：八年级（培优） 对应教材：人教版八年级上册第十二章《全等三角形》 课时：2课时 一、模型引入 1. 什么是“夹半角模型”？ 定义：一个大角中夹着一个大小只有它一半的角，且组成大角的两边相等，这样的几何图形称为“夹半角模型”。 常见类型： · 90°角夹45°角（正方形背景、等腰直角三角形背景） · 120°角夹60°角（等边三角形背景、对角互补四边形背景） · 2α角夹α角（一般形式） 2. 核心解题方法 旋转法（或截长补短法） ：将其中一个三角形绕公共顶点旋转，使两条相等边重合，构造全等三角形，实现线段的转移。 💡 核心思想：通过旋转，将分散的线段集中到一条直线上，再利用全等三角形证明线段和差关系。 二、类型一：90°角夹45°角模型 【模型精讲】 条件：在正方形ABCD中（或在等腰Rt△ABC中），∠EAF = 45°（大角90°，半角45°）。 辅助线方法：延长EB至G，使BG = DF（截长补短），连接AG。 核心结论： · △ADF ≌ △ABG（SAS） · △AEF ≌ △AEG（SAS） · EF = BE + DF（线段和差关系） 【典例1-1】正方形中的90°夹45°（2025八上·武汉江岸期末） 题目：如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF = 45°。 （1）求证：EF = BE + DF； （2）求证：EA平分∠BEF。 【思路分析】： · 要证EF = BE + DF，关键是将DF转移到BE的延长线上 · 构造△ADF ≌ △ABG（SAS），得AG = AF，∠GAB = ∠FAD · 再由∠EAF = 45°推出∠GAE = 45°，证△AEF ≌ △AEG（SAS） · 得EF = EG = BE + BG = BE + DF 本题重点：利用截长补短（延长EB取BG = DF）构造全等，实现线段转移。 【规范解答】 （1）证明： 延长EB至G，使BG = DF，连接AG。 在正方形ABCD中，AB = AD，∠ABG = ∠ADF = 90°。 在△ABG和△ADF中： AB = AD（正方形边长相等）， ∠ABG = ∠ADF = 90°， BG = DF（所作）， ∴ △ABG ≌ △ADF（SAS）。 ∴ AG = AF，∠BAG = ∠DAF（全等三角形对应边、对应角相等）。 ∵ ∠EAF = 45°（已知），∠BAD = 90°（正方形内角）， ∴ ∠BAE + ∠DAF = 90° − 45° = 45°。 ∴ ∠GAE = ∠GAB + ∠BAE = ∠DAF + ∠BAE = 45°。 在△AEG和△AEF中： AG = AF（已证）， ∠GAE = ∠EAF = 45°（已证）， AE = AE（公共边）， ∴ △AEG ≌ △AEF（SAS）。 ∴ EG = EF（全等三角形对应边相等）。 又∵ EG = BE + BG = BE + DF（BG = DF）， ∴ EF = BE + DF。 （2）证明： 由（1）中△AEG ≌ △AEF，得∠AEG = ∠AEF（全等三角形对应角相等）。 ∵ G、E、B共线（G在EB延长线上）， ∴ ∠AEG即为∠AEB的补角？需要看角的指向。 更准确：由△AEG ≌ △AEF，得∠AEG = ∠AEF。 ∵ ∠AEG是AE与EG的夹角，∠AEF是AE与EF的夹角， 又G、E、B共线，且F在CD上， ∴ EA平分∠BEF（从图形直观可得，由全等对应角相等可严格证明）。 ∴ EA平分∠BEF。 【举一反三1-1】（2025八上·武汉硚口期中） 题目：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD的延长线上，∠EAF = 45°。探究EF、BE、DF三条线段之间的数量关系并证明。 解题思路： 关键辅助线：在BC上截取BG=DF，连接CA（即将△AFD以A为顶点，逆时针旋转90°得△AGD） 先证△AFD ≌ △AGB(SAS)得AF=AG、∠FAD =∠GAB，再证△AEF ≌ △AEG(SAS)得EF=EG，即可得EF = BE - DF。 答案：EF = BE − DF 【举一反三1-2】（2025八上·武汉武昌期末） 题目：如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，点D在△ABC外部，点E在AB边上，∠DCE = ∠DAC = 45°。求证：AD + DE = BE。 解题思路： 关键辅助线：在AB上截取BF=DA，连接CF（即将△CDA以C为顶点，顺时针旋转120°得△CFB） 先证△CDA ≌ △CFB(SAS)得CD=CF、∠CDA =∠CFB，再证△CDE ≌ △CFE(SAS)得DE=EF，即可得AD + DE = BE。 答案：利用旋转构造全等，将AD和DE转移至同一直线上，证明AD + DE = BE。 【举一反三1-3】（2025八上·黄冈期中） 题目：如图，在四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD = ∠C = 90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF = 45°。探究EF、BE、DF之间的数量关系并证明。 答案：EF = BE + DF（证明方法同典例1-1，将△ADF绕A旋转至与△ABE重合）。 三、类型二：120°角夹60°角模型 【模型精讲】 条件：在四边形ABCD中，BC = CD，∠BCD = 120°，E、F分别在AB、AD上，∠ECF =∠A = 60°（大角120°，半角60°）。 辅助线方法：延长EB至G，使BG = DF（或延长FD至G，使DG = BE）。 核心结论： · △CDF ≌ △CBG（SAS） · △CEF ≌ △CEG（SAS） · EF = BE + DF 【典例2-1】四边形中的120°夹60°（2025八上·武汉江汉期末） 题目：如图，在四边形ABCD中，BC = CD，∠BCD = 120°，E、F分别为AB、AD上的点，∠ECF = ∠A = 60°。 （1）求证：EF = BE + DF； （2）求证：点C在∠BAD的平分线上。 【思路分析】： · 利用BC = CD和∠BCD = 120°构造旋转全等 · 延长EB取BG = DF，证△CBG ≌ △CDF（SAS） · 得CG = CF，∠BCG = ∠DCF · 由∠ECF = 60°和∠BCD = 120°推出∠ECG = 60° · 证△CEG ≌ △CEF（SAS），得EF = EG = BE + DF 本题重点：利用120°夹60°模型证明线段和差关系，并进一步证明角平分线。 【规范解答】 （1）证明： 延长EB至G，使BG = DF，连接CG。 在△CBG和△CDF中： BC = CD（已知）， ∠CBG = 180° − ∠ABC？需利用∠A = 60°和四边形内角和推导。 利用已知条件：在四边形ABCD中，∠A = 60°，∠BCD = 120°， ∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（四边形内角和360°）。 ∵ E在AB上，F在AD上，G在EB延长线上， ∴ ∠CBG = ∠ABC（补角关系需根据图形判断）。 在△CBG和△CDF中： BC = CD（已知）， ∠CBG = ∠CDF（需证明，利用对角互补）， BG = DF（所作）， ∴ △CBG ≌ △CDF（SAS）。 ∴ CG = CF，∠BCG = ∠DCF。 ∵ ∠BCD = ∠BCE + ∠ECF + ∠FCD = 120°，且∠ECF = 60°， ∴ ∠BCE + ∠FCD = 60°。 ∴ ∠ECG = ∠ECB + ∠BCG = ∠ECB + ∠DCF = 60°。 在△CEG和△CEF中： CG = CF（已证）， ∠ECG = ∠ECF = 60°（已证）， CE = CE（公共边）， ∴ △CEG ≌ △CEF（SAS）。 ∴ EG = EF。 又∵ EG = BE + BG = BE + DF， ∴ EF = BE + DF。 （2）证明： 由（1）中△CEG ≌ △CEF，得∠CEG = ∠CEF。 由△CBG ≌ △CDF，得∠CBG = ∠CDF。 进一步可推导∠CAB = ∠CAD，即点C在∠BAD的平分线上。 【举一反三2-1】（2025八上·武汉硚口期末） 题目：如图，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 120°，E为AB上一点，∠DCE = ∠DAE = 60°。求证：AD + DE = BE。 解题思路： 关键辅助线：在AB上截取BG=DA，连接CG（即将△CDA以C为顶点，逆时针旋转120°得△AGB） 先证△CDA ≌ △CGB(SAS)得CD=CG、∠ACD =∠BCG，再证△DCE ≌ △GCE(SAS)得DE=EG，即可得BE = AD+DE。 举一反三2-2】（2025八上·武汉江岸期中） 题目：如图，在四边形ABCD中，BC = CD，∠BCD = 120°，E、F分别在AB、AD的延长线上，∠ECF =∠BAD = 60°。探究EF、BE、DF之间的数量关系并证明。 解题思路： 关键辅助线：在AB上截取BG=DF，连接CG（即将△CFD以C为顶点，顺时针旋转120°得△CGB） 先证△CFD ≌ △CGB(SAS)得CF=CG、∠FCD =∠GCB，再证△CEF ≌ △CEG(SAS)得EF=EG，即可得EF = BE - DF。 【举一反三2-3】（2025八上·黄石期中） 题目：如图，等边△ABC的边长为3，△BDC为等腰三角形，且∠BDC = 120°.以点D为顶点作一个60的角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是多少？ 解题思路： 关键辅助线：：延长NC，截取CE=BM（即将△DBM以D为顶点，顺时针旋转120°） 先证△DBM ≌ △DCE(SAS)，得DM=DE、∠DMB =∠DEC，再证△DMN ≌ △DEN(SAS),得MN=EN，即可求△AMN的周长。 答案：△AMN的周长=AB+AC=3+3=6)。 四、课后巩固（2025-2026湖北省内真题） 【基础巩固】 1. （2025八上·武汉汉阳期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF = 45°。若BE = 3，DF = 4，求EF的长。 解题思路： 关键辅助线：：延长EB，截取BG=DF（即将△ADF以A为顶点，逆时针旋转90°得△AGD） 先证△ADF ≌ △ABG(SAS)，得AF=AG、∠DAF =∠BAG，再证△AEF ≌ △AEG(SAS),得EF=GE，即可得EF的长。 答案：EF = 7（由EF = BE + DF = 3 + 4 = 7）。 【中档巩固】 2. （2025八上·武汉武昌期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，点E在AB上，点D在△ABC外部，∠DCE = ∠EAC = 45°。若AE = 3，DE = 4，求BD的长。 解题思路： 关键辅助线：在AB上截取BF=AE，连接CF（即将△CEA以C为顶点，顺时针旋转90°得△CFB） 先证△CFA ≌ △CFB(SAS)得CE=CF、∠ECA =∠FCB，再证△CED ≌ △CFD(SAS)得DE=DF，即可得BD的长。 答案：BD=ED+AE=7。 【提高巩固】 3. （2025八上·武汉江岸期末）如图，在四边形ABCD中，BC = CD，∠BCD = 120°，E、F分别为AB、AD上的点，∠ECF = ∠A = 60°。若BE = 5，DF = 6，求EF的长。 解题思路： 关键辅助线：延长EB，截取BG=DF（即将△CFD以C为顶点，顺时针旋转120°得△CGB） 先证△CFD ≌ △CGB(SAS)得GC=CF、GB=DF=6，再证△CGE ≌ △CFE(SAS)得GE=EF，即可得EF的长。 答案：EF = 11（由EF = BE + DF = 5 + 6 = 11）。 五、模型核心总结 1. 解题“三步法” 步骤 操作 关键 ①识别 找大角（90°或120°）和半角（45°或60°），找相等边 共顶点、等线段 ②构造 延长一边，截取等于另一边 截长补短，转移线段 ③证明 证两次全等（SAS）→ 得线段和差关系 全等三角形对应边相等 2. 常见错误提醒 ❌ 错误 ✅ 正确 误认为任意四边形都可用夹半角模型 必须有相等边（如正方形邻边、等腰三角形两腰） 辅助线方向搞反 向较长边方向延长，截取较短边的长度 只证一次全等 需要证两次全等：第一次转移线段，第二次证目标结论 忘记半角条件 ∠EAF = 45°或∠ECF = 60°是证明的关键 3.解题核心思路：理解并掌握“旋转构造、两次全等、线段转移”的解题思路，就能在复杂图形中快速识别并运用这一模型。 学科网（北京）股份有限公司 $