15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图 学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学学案聚焦线段垂直平分线的尺规作图及应用，涵盖作对称轴、过直线上或外一点作垂线等核心知识点。通过步骤与原理结合的知识梳理，衔接轴对称性质，搭建从基础作图到实际应用的连贯学习支架，强化作图依据理解。 该资料亮点在于融合数学思维与实践应用，练习设计层次分明，从基础训练到实际问题解决，如发射塔位置确定培养模型意识。通过原理推导与动手操作结合，提升几何直观和推理能力，助力学生用数学语言表达空间关系，发展创新意识。

学案：15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图 人教版八年级上册 第十五章 轴对称 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 能用尺规作出线段的垂直平分线，进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据；能作出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴，体会转化的数学思想。 2. 能过直线外一点作这条直线的垂线，能过直线上一点作这条直线的垂线，掌握尺规作垂线的方法。 二、知识梳理 1. 作线段的垂直平分线 项目 内容 步骤 (1) 分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D； (2) 作直线CD。CD就是线段AB的垂直平分线。 原理 由作图可知，AC = BC = AD = BD（同圆半径相等），∴ AC = AD，BC = BD。 ∴ 点C和点D都在线段AB的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。 ∴ 直线CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）。 2. 作对称轴 步骤 说明 ① 找 找出图形中的任意一对对称点。无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键都是找出图形中的任意一对对称点。 ② 连 连接这对对称点。 ③ 作 作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴。 3. 过直线外一点作这条直线的垂线（教材P68例题） 项目 内容 步骤 已知：直线AB和AB外一点C。求作：AB的垂线，使它经过点C。 (1) 以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； (2) 分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F； (3) 作直线CF。直线CF就是所求作的垂线。 原理 分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线。 由作图可知，C在DE的垂直平分线上（CD = CE），F在DE的垂直平分线上（FD = FE），∴ CF是DE的垂直平分线，即CF⊥AB。 4. 过直线上一点作这条直线的垂线（教材P69练习第3题） 项目 内容 步骤 已知：直线AB和AB上一点C。求作：AB的垂线，使它经过点C。 (1) 以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； (2) 分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F； (3) 作直线CF。直线CF就是所求作的垂线。 原理 与"过直线外一点作垂线"原理相同。由作图可知CD = CE，FD = FE，∴ 点C和点F都在DE的垂直平分线上， ∴ CF是DE的垂直平分线，即CF⊥AB。 三、课堂练习 练习1（针对训练1） 如图，已知线段AB = 6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，b的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线，则b的长可能是______________。             练习2（针对训练2） 如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分。（不写作法，保留作图痕迹）                 练习3（教材P69练习 第1题） 作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？                 练习4（教材P69练习 第2题） 如图，与图形（1）成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴。                 练习5（教材P69练习 第3题） 尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。 已知：直线AB和AB上一点C（如图）。 求作：AB的垂线，使它经过点C。                 练习6（随堂演练1） 如图，下列选项中说法正确的是（ ） A. AO 垂直平分EF B. GH 垂直平分EF　　 C. GH 平分AF D. 以上都不对         练习7（随堂演练2） 如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称。 (1) 画出直线EF；（不写作法，保留作图痕迹） (2) 若直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角∠α的数量关系。                     练习8（随堂演练3） 如图，电信部门要在公路l₂同侧、l₁异侧的两个城镇A，B之间修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l₁，l₂的距离也必须相等，则发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图的方法作出所有符合条件的点C的位置。（不写作法，保留作图痕迹）                     四、参考答案 练习1 答案 答案：b > 3，答案不唯一，如4。 解析：根据尺规作垂直平分线的步骤，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。AB = 6，AB = 3。要使两弧相交，必须有b > 3。故b的长可以是大于3的任意实数，如4、5、6等。 练习2 答案 解：如图，作BC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD，则直线AD即为所求。 解析：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。作BC的垂直平分线，所得交点D即为BC的中点，连接AD即得BC边上的中线，它将△ABC分成面积相等的两部分。 练习3 答案 解：各图形的对称轴如图所示。不同图形的对称轴数量可能不同，但所作对称轴应正确。 对于轴对称图形，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。作对称轴的方法：找一对对称点→连接→作连线的垂直平分线。 练习4 答案 解：与图形（1）成轴对称的是图形（2）。 对称轴作法：找出一对对称点，连接这对对称点，作所连线段的垂直平分线，即为对称轴。 解析：作出轴对称图形的对称轴，只需找出任意一对对称点，连接这对对称点，作所连线段的垂直平分线即可。 练习5 答案 解：作法如下： (1) 以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； (2) 分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F； (3) 作直线CF。直线CF就是所求作的垂线。 证明：由作图可知，CD = CE，FD = FE，∴ 点C和点F都在线段DE的垂直平分线上，∴ CF是DE的垂直平分线，即CF⊥AB。 练习6 答案 答案：B 解析：根据尺规作图的步骤和原理，只有选项B的说法是正确的。 练习7 答案 解：(1) 如图，连接AA″，作AA″的垂直平分线，即为直线EF。 (2) ∠BOB″ = 2∠α。证明如下： 如图，连接OB′。 ∵ △ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， ∴ BO与B′O关于直线MN对称。 ∴ ∠BOM = ∠B′OM。 同理可得 ∠B′OE = ∠B″OE。 ∴ ∠BOB″ = ∠BOB′ + ∠B′OB″ = 2∠B′OM + 2∠B′OE = 2(∠B′OM + ∠B′OE) = 2∠MOE = 2∠α。 即∠BOB″ = 2∠α。 练习8 答案 解：如图，点C₁，C₂即为所求。 作法分析： (1) 发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，∴ 发射塔必须在线段AB的垂直平分线上； (2) 发射塔到两条公路l₁，l₂的距离也必须相等，∴ 发射塔必须在l₁与l₂所成角的平分线上。 (3) 线段AB的垂直平分线与角平分线的交点即为符合条件的发射塔位置。 共有两个符合条件的点C₁和C₂。 学科网（北京）股份有限公司 $