2.2 第1课时 基本不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的定义、几何意义及求最值应用，通过第24届国际数学家大会会标（赵爽弦图）创设情境，引导学生观察发现不等关系，衔接情境导入与新知初探，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以新课标核心素养为导向，通过情境导入培养数学眼光，典型例题分层设计（如构造法、“1”的代换）发展数学思维，结合几何意义“无字证明”强化数学语言表达。自我诊断与跟踪训练帮助学生落实“一正二定三相等”，教师可通过例题精研提升教学效率，助力学生逻辑推理与数学运算能力的提升。

2.2　基本不等式 新课程标准解读 核心素养 逻辑推理 2.利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的 不等式 数学运算、逻辑推 理 3.会用基本不等式求解实际应用题 数学建模 第1课时　基本不等式 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名 数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来 像一个风车. 目录 数学·必修第一册 【问题】　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点一　基本不等式 　如果 a ＞0， b ＞0，有 ≤ ，当且仅当 时，等号成 立.通常称不等式 ≤ 为基本不等式.其中， 叫做正数 a ， b 的 ， 叫做正数 a ， b 的 ⁠. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 ⁠它们的几何 平均数. a ＝ b 　 算术平均数　 几何平均数　 不小于　 目录 数学·必修第一册 【想一想】 “当且仅当 a ＝ b 时，等号成立”的含义是什么？ 提示：一方面是当 a ＝ b 时取等号，即 a ＝ b ⇒ ＝ ；另一方面 是仅当 a ＝ b 时取等号，即 ＝ ⇒ a ＝ b . 提醒　基本不等式的常见变形：① a ＋ b ≥2 ；② ab ≤ ≤ （其中 a ＞0， b ＞0，当且仅当 a ＝ b 时等号成立）. 目录 数学·必修第一册 知识点二　基本不等式与最值 　已知 x ， y 都是正数，则     提醒　利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相 等”：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积 为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. x ＝ y 　 2 　 x ＝ y 　 S2　 目录 数学·必修第一册 1. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ≥0， b ≥0 B. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ， b ∈R 解析： 　根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选 B、C. 目录 数学·必修第一册 2. 若 x ＞0，则 y ＝ ＋ x 的最小值为 ⁠. 解析：∵ x ＞0， ＞0，∴ y ＝ x ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝2时，等号成立，故 ymin＝4. 4　 目录 数学·必修第一册 3. 已知0＜ x ＜1，则 x （1－ x ）的最大值为 　 　，此时 x ＝ 　 　. 解析：因为0＜ x ＜1，所以1－ x ＞0，所以 x （1－ x ）≤ ＝ ＝ ，当且仅当 x ＝1－ x ，即 x ＝ 时等号成 立，即当 x ＝ 时， x （1－ x ）取得最大值 . 　 　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 对基本不等式的理解 【例1】　给出下面三个推导过程： ①∵ a ， b 为正实数，∴ ＋ ≥2 ＝2； ②∵ a ∈R， a ≠0，∴ ＋ a ≥2 ＝4； 目录 数学·必修第一册 ③∵ x ， y ∈R， xy ＜0，∴ ＋ ＝－［（－ ）＋ ］≤－2 ＝－2. 其中正确的推导为（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 目录 数学·必修第一册 解析： 　①∵ a ， b 为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式 的条件，故①的推导正确.②∵ a ∈R， a ≠0，不符合基本不等式的条 件，∴ ＋ a ≥2 ＝4是错误的.③由 xy ＜0，得 ， 均为负数， 但在推导过程中将整体 ＋ 提出负号后，－ ，－ 均变为正数，符 合基本不等式的条件，故③正确. 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 下列不等式中正确的是（　　） D. a2＋ b2≥4 ab 目录 数学·必修第一册 解析： 对于选项A，符合基本不等式的三个条件“一正，二定， 三相等”，故A正确；对于选项B，忽视了验证等号成立的条件，即 x ＝ ，则 x ＝1，不满足 x ≥2，故B错误；对于C，当 a ＞0， b ＞0时， ≤ ，当且仅当 a ＝ b 时取等号，故C错误；对于D，由基本不 等式得 a2＋ b2≥2 ab ，当且仅当 a ＝ b 时取等号，故D错误.故选A. 目录 数学·必修第一册 题型二 直接应用基本不等式求最值 【例2】　（1）若 x ＞0，求 y ＝4 x ＋ 的最小值； 解： ∵ x ＞0，∴由基本不等式得 y ＝4 x ＋ ≥2 ＝2 ＝12， 当且仅当4 x ＝ ，即 x ＝ 时等号成立， ∴ y ＝4 x ＋ 的最小值为12. 目录 数学·必修第一册 （2）设0＜ x ＜ ，求函数 y ＝4 x （3－2 x ）的最大值. 解： ∵0＜ x ＜ ，∴3－2 x ＞0， ∴ y ＝4 x （3－2 x ）＝2[2 x （3－2 x ）]≤2 ＝ . 当且仅当2 x ＝3－2 x ，即 x ＝ 时取“＝”. ∴ y 的最大值为 . 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 　 （变条件、变设问）若 x ＜0，求 y ＝4 x ＋ 的最大值. 解：∵ x ＜0，∴－ x ＞0， ∴（－4 x ）＋ ≥2 ＝12， ∴ y ＝4 x ＋ ＝－（－4 x ＋ ）≤－12， 当且仅当－4 x ＝－ ，即 x ＝－ 时等号成立， 故原式的最大值为－12. 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用基本不等式求最值的策略 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知 x ＞0， y ＞0，且 x ＋ y ＝18，则 xy 的最大值为（　　） A. 80 B. 77 C. 81 D. 82 解析： 　∵ x ＞0， y ＞0， x ＋ y ＝18，∴ x ＋ y ≥2 ，∴ xy ≤ ＝81，当且仅当 x ＝ y ＝9时等号成立，∴ xy 有最大值81. 目录 数学·必修第一册 2. 的最小值是 　2 　. 解析： ＝｜ a ｜＋ ≥2 ＝2 ，当且仅 当｜ a ｜＝ ，即 a ＝± 时，取等号. 2 　 目录 数学·必修第一册 题型三 变形应用基本不等式求最值 角度1　构造法求最值 【例3】　（1）当 x ＞0时， y ＝ 的最小值为 　 　； 解析： 当 x ＞0时， ＝ ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝ ， 当且仅当 x ＝2时等号成立， 所以当 x ＞0时， y ＝ 的最小值为 . 　 目录 数学·必修第一册 （2）当 x ＞3时， y ＝2 x ＋ 的最小值为 ⁠. 解析： 因为 x ＞3，所以2 x －6＞0，所以 y ＝2 x ＋ ＝ （2 x －6）＋ ＋6≥2 ＋6＝2×2＋6＝ 10，当且仅当2 x －6＝ ，即 x ＝4时取等号.所以 y ＝2 x ＋ 的最小值是10. 10　 目录 数学·必修第一册 通性通法 构造法求最值的策略 　　将已知数学表达式变形，构造出符合基本不等式条件的形式（和 或积为定值）.解题时应对照已知和所求的式子进行适当的“拆项、 添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件. 目录 数学·必修第一册 角度2　巧用“1”的代换求最值 【例4】　已知 a ＞0， b ＞0，且 ＋ ＝1，求 a ＋ b 的最小值. 解：∵ a ＞0， b ＞0， ＋ ＝1， ∴ a ＋ b ＝ （ a ＋ b ）＝1＋16＋ ＋ ≥17＋2 ＝17 ＋2×4＝25. 当且仅当 ＝ ，即 b2＝16 a2时，等号成立. 由解得 故当 a ＝5， b ＝20时， a ＋ b 取得最小值25. 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　1的代换就是指凑出1，使要求的式子通过变形后达到运用基本不 等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. （2024·福州月考）已知 x ＞2，则 x ＋ 的最小值为 ⁠. 解析：∵ x ＞2，∴ x －2＞0，∴ x ＋ ＝（ x －2）＋ ＋2≥2 ＋2＝6.当且仅当 x －2＝ ，即 x ＝4时等号成 立，∴ x ＋ 的最小值为6. 6　 目录 数学·必修第一册 2. 已知 a ＞0， b ＞0，且2 a ＋ b ＝1，求 ＋ 的最小值. 解： ＋ ＝ （2 a ＋ b ）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9， 当且仅当 ＝ ，即 a ＝ b ＝ 时，等号成立.所以 ＋ 的最小值 为9. 目录 数学·必修第一册 1. 下列结论正确的是（　　） 解析： 　选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；选项C不 满足“各项必须为正”，故不正确；选项D不满足“积为定值”， 故不正确. 目录 数学·必修第一册 2. 已知 x ＜0，则 x ＋ －2有（　　） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值－4 D. 最小值－4 解析： 　∵ x ＜0，∴－ x ＞0，∴ x ＋ －2＝－［（－ x ）＋ ］－2≤－2－2＝－4.当且仅当－ x ＝－ ，即 x ＝－1时 “＝”成立.∴ x ＋ －2（ x ＜0）有最大值－4. 目录 数学·必修第一册 3. 若0＜2 x ＜3，则（3－2 x ） x 的最大值为（　　） C. 2 解析： 　∵0＜2 x ＜3，∴3－2 x ＞0， x ＞0，∴（3－2 x ） x ＝ （3－2 x ）·2 x ≤ ＝ ，当且仅当3－2 x ＝2 x ，即 x ＝ 时取等号，∴（3－2 x ） x 的最大值为 . 目录 数学·必修第一册 4. 若 x ＞1，求函数 y ＝ 的最小值. 解：因为 x ＞1，所以 x －1＞0，所以 y ＝ ＝ ＝ x ＋1＋ ＝ x －1＋ ＋2≥2＋2＝4.当且仅当 ＝ x －1，即 x ＝2时，等 号成立，所以当 x ＝2时， y 的最小值为4. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 不等式（ x －2 y ）＋ ≥2成立的前提条件为（　　） A. x ≥2 y B. x ＞2 y C. x ≤2 y D. x ＜2 y 解析： 　因为不等式成立的前提条件是 x －2 y 和 均为正数， 所以 x －2 y ＞0，即 x ＞2 y ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 已知 x ＞0， y ＞0，若 xy ＝3，则 x ＋ y 的最小值为（　　） A. 3 B. 2 D. 1 解析： 　由于 x ＞0， y ＞0， xy ＝3，所以 x ＋ y ≥2 ＝2 ，当且仅当 x ＝ y ＝ 时等号成立.所以 x ＋ y 的最小值为2 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. （多选）若 a ， b ∈R，且 ab ＞0，则下列不等式恒成立的是（　　） 解析： 　对于A、C，当 a ＜0， b ＜0时，不等式不成立，故A、 C不符合题意；对于B， a2＋ ≥2 ＝8，当且仅当 a2＝ ， 即 a ＝±2时等号成立，故B符合题意；对于D，∵ ab ＞0，∴ ＞ 0， ＞0，∴ ＋ ≥2 ＝2，当且仅当 a ＝ b 时等号成立，故D 符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 已知 x ＞0， y ＞0，且满足 ＋ ＝1，则 xy 的最大值为 ，取 得最大值时 y 的值为 ⁠. 解析：因为 x ＞0， y ＞0，且1＝ ＋ ≥2 ，所以 xy ≤3.当且仅 当 ＝ ＝ ，即 x ＝ ， y ＝2时取等号. 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 已知 x ＞0， y ＞0，且 x ＋2 y ＝4，则（1＋ x ）（1＋2 y ）的最大 值为（　　） A. 16 B. 9 C. 4 D. 36 解析： 　（1＋ x ）（1＋2 y ）≤［ ］2＝ （ ）2＝9，当且仅当1＋ x ＝1＋2 y ，即 x ＝2， y ＝1时，等 号成立，故所求最大值为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 已知 x ， y 为正实数，3 x ＋2 y ＝10，则 W ＝ ＋ 的最大值 为 ⁠. 解析：∵ x ， y 为正实数，3 x ＋2 y ＝10，∴ W2＝3 x ＋2 y ＋2 ≤10＋（3 x ＋2 y ）＝20，当且仅当3 x ＝2 y ，3 x ＋2 y ＝ 10，即 x ＝ ， y ＝ 时，等号成立.∴ W ≤2 ，即 W 的最大值为 2 . 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法 研究代数问题）成了后世西方数学家处理问 题的重要依据，通过这一方法，很多代数公 理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称为“无字证明”.如图所示， AB 是半圆 O 的直径，点 C 是 AB 上一点（不同于 A ， B ， O ），点 D 在半圆 O 上，且 CD ⊥ AB ， CE ⊥ OD 于点 E ，设 AC ＝ a ， BC ＝ b ，则该图形可以完成的“无字证明”为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　由 AC ＝ a ， BC ＝ b ，可得半圆 O 的半径 DO ＝ ， 易得 DC ＝ ＝ ， DE ＝ ＝ .∵ DE ＜ DC ＜ DO ，∴ ＜ ＜ （ a ＞0， b ＞0， a ≠ b ）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $