2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷01（河北省适用）

**基本信息** 2026-2027学年高三数学开学模拟卷（河北省适用），以集合、函数、概率统计等核心知识为载体，通过汽车故障责任推断、咖啡店销售数据等现实情境，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，适配高三开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、函数导数、贝叶斯概率|汽车故障责任推断题考查条件概率应用| |多选题|3/18|不等式恒成立、二次函数图像、基本不等式|二次函数图像题综合考查数形结合思维| |填空题|3/15|导数极值、排列组合（相邻问题）、线性回归|内蒙古景点参观顺序考查相邻排列计数| |解答题|5/77|线性回归、概率优化、独立性检验、函数导数综合|咖啡店销售数据线性回归分析，流感潜伏期统计与正态分布应用，体现数学建模与数据分析素养|

2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷（1）（河北省适用） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A A C D D AC ABD 题号 11 答案 AD 1．A 【详解】集合，，则. 2．C 【分析】先根据给定的复数等式求解出复数，再利用复数模的计算公式计算的值即可. 【详解】由可知，且. 展开得，化简得. 则， . 3．A 【详解】不等式等价于，函数在上单调递减， 得，所以不等式的解集为. 4．A 【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线的斜率以及方程，将点的坐标代入直线的方程，即可求出的值. 【详解】因为，设切点坐标为， ， 直线的斜率为，解得：， 所以直线的方程为， 将点代入直线的方程得，解得. 5．A 【详解】的第3、4、5项分别为、、， 所以的展开式中的系数为. 6．C 【分析】利用条件概率，全概率公式求解. 【详解】设事件表示“抽取的智能驾驶系统发生故障”,事件表示 “故障系统来自甲供应商”,事件表示 “故障系统来自乙供应商”,事件表示“故障系统来自丙供应商”, 总采购套数是（套），所以,, 由题意可知， 由全概率公式，得总故障概率是 ， 所以甲供应商责任概率是, 乙供应商责任概率是, 丙供应商责任概率是, 所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为. 7．D 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 8．D 【分析】根据古典概型，条件概率及全概率公式分别判断即可． 【详解】由题可知， ，， ， 对于A，，是对立事件，所以一定是互斥事件，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又, 所以 , 所以， 不是独立事件，故D错误． 9．AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 10．ABD 【分析】根据图象，求出a，b，c的值，代入，可判断A、B的正误；代入方程，求出根，可判断C、D的正误. 【详解】由图象可得对称轴，则①， 最大值为4，所以②， 又与x轴交点为，所以③， 选项A：由①②③联立可得，所以，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，解得，故C错误； 选项D：，解得，，故D正确. 故选：ABD 11．AD 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 12． 【详解】函数的定义域为， 令，得或. 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增. 所以函数的极大值点与极小值点分别为. 13．144 【详解】东北部3个景点，全排有种； 中部2个景点，全排有种； 西部2个景点，全排有种； 将东北部、中部、西部三个方位的景点看成3个整体，全排有种； 所以，不同的参观方案数为. 14． 【分析】利用相关系数与回归系数的关系，结合已知数据计算.需要先求出，再通过求出分子，最后代入公式得到. 【详解】因为，，所以． 由， 解得， 所以． 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给数据，代入公式求解即可； （2）利用回归直线方程，求估计值即可； （3）根据相关系数公式求解. 【详解】（1） ， 因为样本中心点在回归直线上，所以 ， 所以关于的线性回归方程为 ． （2）当时，的估计值 ． （3）. 16．(1) (2)应将题1放在中间，题2、题3放在首尾，即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大. 【分析】(1)获得30天会员需三道题全部答对，直接利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算； (2) 先推导任意答题顺序下获得会员的概率表达式，发现概率大小由中间题的答对概率决定，将答对概率最高的题放在中间即可得到最大概率. 【详解】（1）甲按题1→题2→题3的顺序答题，获得30天会员的条件是连续答对3道题，即3道题全部答对. 由于各题答对与否相互独立，因此所求概率为： . （2）设任意答题顺序为（为3道题的一个排列），获得会员的条件为至少存在连续2道题答对， 即事件“答对且答对”与“答对且答对”至少一个发生. 由各题答题结果相互独立得 而3道题的答对概率分别为，，， 类型①：中间放答对概率最低的题3， ， 类型②：中间放题2，， 类型③：中间放概率最高的题1，， 而，因此应将题1放在中间，题2、题3放在首尾， 即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大. 17．(1)依据小概率值的独立性检验，可认为潜伏期长短与年龄有关 (2)①因为，， 所以，这说明潜伏期超过5天的概率极低，因此隔离5天可以极大程度上排除发病可能是合理的 ②时取得最大值 【分析】(1)利用公式计算后与临界值比较即可； (2)①利用计算正态分布概率； ②符合二项分布，表示出其概率，利用最大项方法求出最大时的取值. 【详解】（1）， 所以依据小概率值的独立性检验，可认为潜伏期长短与年龄有关； （2）①略； ②从样本数据中估计“长潜伏期”的概率为，设为800个病例中属于“长潜伏期”的个数， 即， ， 要使取最大值，则， 即，解得， 即.故时取得最大值. 18．(1) (2)的单调递增区间为；单调递减区间为， (3)证明：设，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，即. 当时，（当且仅当时，等号成立）. 因为（当且仅当，即时，等号成立）， 所以（两个等号不能同时成立），所以, 所以对任意，都有. 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，由点斜式方程求出切线方程；（2）利用求出单调递增区间，利用求出单调递减区间；（3）先证明，接着可得，两个等号不能同时成立，所以. 【详解】（1）由得, ，得. 所以曲线在点处的切线方程为， 即; （2）的定义域为. 由（1）知，令，得， 令，得，且， 所以的单调递增区间为；单调递减区间为，. （3）略 19．(1) (2)当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (3) 【分析】（1）求导后判断单调性，确定极小值点，代入求最小值； （2）对参数 分类讨论，根据导数符号确定单调区间； （3）先由对数有意义得 ，化简不等式为含参数的分式函数恒正，分情况讨论参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. （2）对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷（1）（河北省适用） （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案选项涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应区域，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 6．某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ）A． B． C． D． 8．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有颜色不同但大小相同的小球，甲袋中装有6个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和7个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，搅拌均匀后再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法错误的是（     ） A．，是互斥事件 B． C． D．，是独立事件 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（       ） A． B． C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的两根是， 11．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．函数的极大值点与极小值点分别为________，________． 13．内蒙古自治区地域辽阔，旅游景点众多：东北部有呼伦贝尔大草原、额尔古纳湿地、阿尔山国家森林公园，中部有敕勒川草原、内蒙古博物院，西部有成吉思汗陵、响沙湾.某游客计划参观这七个景点，若要求参观东北部三个景点的顺序相邻、中部两个景点的顺序相邻、西部两个景点的顺序相邻，则不同的参观方案数为_________. 14．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归公式为．经计算可知：，，，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）某创业者计划开设一家咖啡店，他从本市已开业的15家规模相似的咖啡店中收集了以下数据：x表示周边一公里内日均人流量(千人)；y表示日均销售额(百元). x 4.2 5.2 5.2 6.2 6.2 6.2 5.2 7.2 9.2 8.2 8.2 8.2 9.2 9.2 10.2 y 34 38 40 40 46 52 42 52 54 47 58 69 64 74 70 经计算得 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)预测x=8时，y的估计值y₀; (3)计算变量x和y的样本相关系数r. 附：最小二乘估计公式分别为： 样本相关系数 16．(本小题15分）某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其他情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． (1)若，且甲按题1题2题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率； (2)若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ 17．(本小题15分）流感病毒进入人体后存在潜伏期，潜伏期指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，传染给其他人的可能性越高.现抽样300个感染流感病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计得出样本潜伏期的平均数为2，方差为，若把超过3天的潜伏期视为长潜伏期，按照统计样本，得到如下列联表： 年龄 潜伏期 合计 长潜伏期 非长潜伏期 低年龄段 40 100 140 高年龄段 30 130 160 合计 70 230 300 (1)根据小概率值的独立性检验，分析潜伏期长短是否与年龄有关. (2)假设潜伏期X服从正态分布，其中近似样本平均数，近似为样本方差. ①医院对有流感症状患者的密切接触者要求隔离5天，请用概率知识解释其合理性. ②以题目中的样本数据估计概率，设800个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，问当k为何值时，取最大值. 附：，， 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 若，则，，. 参考数据：，，. 18．(本小题17分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)证明：对任意，都有. 19．(本小题17分）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $