精品解析：福建省龙岩市第二中学2025-2026学年高三上学期开学质量检测数学试题

龙岩二中2025～2026学年第一学期高三开学质量检测 数学试题 命题人、审题人：高三数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的奇偶性与特殊区间处的函数值正负排除错误选项. 【详解】方法一：易知函数定义域是，又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D， 当时，，排除B； 方法二：当时，，则，排除B，D， 当时，，则，排除C， 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件以及对数复合函数定义域即可得解. 【详解】由题意，解得，即函数的定义域为. 故选：C. 3. 某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分为三种情况：第一次通过，第二次通过，第三次通过，结合相互独立事件概率乘法公式求解. 【详解】由题意知，小王最终通过面试的概率为. 故选：C. 4. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知直线经过点且以向量为方向向量，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】因为直线的方程为，即为， 可知直线经过点且以向量为方向向量， 可得，所以点到距离为. 故选：B. 5. 若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求得，由题意可知，有两个不同的零点，可得出，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得， 函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题利用函数的单调区间个数求参数，解题的关键就是结合题意确定函数的极值点的个数，结合二次函数的基本性质解题. 6. 设随机变量M服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（ ） A. 17 B. 10 C. 9 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数没有零点的概率为，可求得的范围，及正态曲线的对称轴，再根据函数有两个零点的概率为，求得此时的范围，再结合正态曲线的对称性即可得解. 【详解】解：因为函数没有零点， 所以，解得， 又因随机变量M服从正态分布，且， 所以正态曲线关于对称， 因为函数有两个零点， 所以，解得，则， 又， 所以与关于对称， 所以. 故选：A. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】时，递增，因此时也必须递增，由二次函数的性质及临界点的函数值的大小关系列不等式组求解可得． 【详解】时，递增， 时，， 要使得在上单调递增，则，解得， 故选：B． 8. 已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先令、、得出为奇函数，再根据为偶函数，得出是以为周期的函数，结合得出即可求出. 【详解】令，则，得； 令，则，即 ， 令，则， 若，则； 若，则，则，则为奇函数， 因为为偶函数，所以，则， 则， 因为为奇函数，所以， 可得，则是以为周期的函数． 因为，所以，则． 由得，则， 得， 故． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知幂函数互质，下列结论正确的是（ ） A. m，n是奇数，为奇函数 B. m是奇数，n为偶数时，为偶函数 C. m是偶数，n为奇数时，为偶函数 D. 当时，在上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据幂函数的奇偶性、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】， A选项，是奇数，的定义域为， ，是奇函数，A选项正确. B选项，是奇数，是偶数，的定义域为， ，是偶函数，B选项正确. C选项，是偶数，是奇数，的定义域为，是非奇非偶函数，C选项错误. D选项，根据幂函数的性质可知，当时，在上是增函数，D选项正确. 故选：ABD 10. 定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断函数的对称性，周期性，对A，利用周期可得；对B，求出表达式，然后求导计算；对C，作出两个函数图象判断即可；对D，作出图形，然后分情况讨论，利用导数计算判断. 【详解】由函数为上的奇函数，所以， 由，所以函数关于对称，且，则，所以4为函数的一个周期. 对A，，则，，所以， 由当时，，所以，错误； 对B，由A可知：当时，，所以当时，， 所以当时，，则， ，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即，正确； 对C，作出函数与图象， 函数图象关于对称，当时，图象共有5个交点，由为奇函数，所以当时，图象也有5个交点，所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确； 对D，如图： 当时，；当时，， 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 所以函数的图象与直线恰有一个公共点，则实数，正确。 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则点P的轨迹长度为1 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，时，直线与平面所成的角为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】连接，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， 则 ， 故， 对于A，若，，则， 因为，所以， 所以点P的轨迹长度为， 对于B，， 若，则， 所以，故B正确； 对于C，若，，则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设， 所以点到平面的距离， 在中，， 则， 所以，故C正确； 对于D，若时，，， 则 ， 设，则， 则， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 所以， ，， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集． 【详解】由题 故答案为 【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目． 13. 小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据条件概率来计算事件的概率及数学期望. 【详解】由题意可知的所有可能取值分别为3，4，5，6，记表示“第次投篮得1分”的事件， 表示“第次投篮得2分”的事件. ， ， ， 所以分布列为 X 3 4 5 6 P 0.18 0.32 0.32 0.18 故. 故答案为： 14. 已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先通过构造函数，结合已知条件求出所构造函数的导数，进而判断其单调性，再利用函数单调性求解不等式. 【详解】，则， 设，则，是常值函数， 又，，， ，， 设，则， 在上单调递增，， ，在上单调递增， 由， 故不等式可转化为， 故，可得， 不等式的解集是 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数是定义在R上的奇函数，且时，． （1）求时，函数的解析式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，求出时的解析式； （2）先得到函数在R上单调递减，结合函数的奇偶性，得到对任意恒成立，只需，求出，得到答案. 【小问1详解】 设，则， 时，． ， 是定义在R上的奇函数， ， 故，； 【小问2详解】 等价于， 时，单调递减， 又为定义在R上的奇函数，故在R上为减函数， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需， ，， ， ，即实数的取值范围是． 16. 在某次问卷调查中，有两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的4名调查者选做题的概率均为，选做题的概率均为 （1）求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率； （2）设这4名受访者中选做题的人数为，求的概率分布和数学期望. 【答案】（1） （2）概率分布见解析； 【解析】 【分析】（1）利用古典概型公式可得甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率为； （2）利用二项分布的公式可先求得分布列，进而可得数学期望为. 【小问1详解】 设事件表示“甲选做第题”，事件表示“乙选做第题”，则甲、乙2名受访者选做同一道题的事件为“”，且事件、相互独立， 所以=， 故甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率； 【小问2详解】 随机变量的可能取值为，且， 故， 所以，， ，， ， 所以变量的概率分布为： 0 1 2 3 4 所以（或） 17. 函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. （1）证明：在上是增函数； （2）证明：是偶函数； （3）如果，解不等式. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数； （2）令，求得，再由，求得，进而得出，即可证明结论； （3）由（2）可得不等式可变为，结合（1）可求得不等式的解集. 【小问1详解】 设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； 【小问2详解】 因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． 【小问3详解】 由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 18. 在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，且，，. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由； （3）若是棱的中点，为线段上任意一点，求证：与一定不平行. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据平面平面，利用面面垂直的性质定理证明. （2）以D为原点，以DA，DC为x，y轴，建立空间直角坐标系：设，则，分别求得平面平面的一个法向量，和平面平面的一个法向量，根据若使得平面平面，则求解. （3）假设存在点N，使得，连接AC，取其中点G，易证，再利用过直线外一点只有一条直线和已知直线平行证明. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又，平面ABCD， 所以平面. （2）以D为原点，以DA，DC为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 设，则， ， ， 设平面平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ， 设平面平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 . 若使得平面平面， 则，即， 解得， 所以线段上存在点，使得平面. （3）假设存在点N，在线段上，使得， 如图所示： 连接AC，取其中点G，在中， 因为M，G都是边的中点， 所以 ， 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行， 所以MG与MN重合， 所以点N在线段AC上， 所以N是AC，BC的交点C，即MN就是MC，而MC与PC相交，矛盾， 所以假设错误，问题得证. 【点睛】方法点睛：1、几何法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 2、向量法：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 19. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）3个 【解析】 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【小问3详解】 由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中2025～2026学年第一学期高三开学质量检测 数学试题 命题人、审题人：高三数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设随机变量M服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（ ） A. 17 B. 10 C. 9 D. 不能确定 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知幂函数互质，下列结论正确的是（ ） A. m，n是奇数，为奇函数 B. m是奇数，n为偶数时，为偶函数 C. m是偶数，n为奇数时，为偶函数 D. 当时，在上是增函数 10. 定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则点P的轨迹长度为1 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，时，直线与平面所成的角为，则 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 不等式的解集为________ 13. 小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望_________. 14. 已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数是定义在R上的奇函数，且时，． （1）求时，函数的解析式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 16. 在某次问卷调查中，有两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的4名调查者选做题的概率均为，选做题的概率均为 （1）求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率； （2）设这4名受访者中选做题的人数为，求的概率分布和数学期望. 17. 函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. （1）证明：在上是增函数； （2）证明：是偶函数； （3）如果，解不等式. 18. 在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，且，，. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由； （3）若是棱的中点，为线段上任意一点，求证：与一定不平行. 19. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $