精品解析：宁夏固原市第一中学2025-2026学年高三第一学期开学考试数学试卷

固原一中2025―2026学年度高三第一学期开学考试 数学试卷 命题人： 审题人： 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数为定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 7. 抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知变量，线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据的残差为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是______. 13. 设，则的最小值为_________． 14. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式的解集为． （1）求，的值，并求不等式的解集； （2）解关于的不等式（，且）． 16. 已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 如图，四棱锥中，，，，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成的角. 19. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固原一中2025―2026学年度高三第一学期开学考试 数学试卷 命题人： 审题人： 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，其虚部为. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 5. 函数为定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，，代入求解即可. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，当时，， 则，故. 故选：A. 6. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 7. 抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、 函数值、零点个数逐项判断即可. 【详解】抛物线的开口向下，， 抛物线的对称轴为，，， 抛物线与轴相交于正半轴，，，故A错误； 抛物线的对称轴为，，，故B错误； 由图象可知，当时，函数值小于0，即， 故C正确； 抛物线与轴有两个交点，，，故D错误. 故选：C. 8. 已知变量，线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由回归直线结合，可得，据此可得新增数据后的回归直线中心点，由此可得新的回归直线方程，然后由残差定义可得答案. 【详解】因，则，则. 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为2.1， 则，则修正后的回归直线为：. 则的估计值为，则数据的残差为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线的方程特点，确定曲线的焦点位置，求出相应的基本量，即可逐一判断选项正误. 【详解】由可得，知曲线为椭圆，其焦点在轴上， 且长轴长为8，故A正确； 由可得双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为：， 即，故B正确； 对于C，由可得， 由可得，故与的离心率互为倒数，故C正确； 对于D，因曲线的焦点位置不同，故焦点坐标不可能相同，故D错误. 故选：ABC. 10. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数有意义的条件，求定义域. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 14. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式的解集为． （1）求，的值，并求不等式的解集； （2）解关于的不等式（，且）． 【答案】(1)，R；(2) 当时，，当时，. 【解析】 【分析】(1)由不等式的解集，求出m，n，再代入求解即得； (2)利用(1)的结论将给定不等式化为，再分类求解即可作答. 【详解】(1)因不等式的解集为，则，且，2是方程的两个根， 于是得，解得，所以， 不等式化为：，即恒成立， 所以不等式的解集为R； (2)由(1)知关于的不等式化为：，即， 而，当时，，解得， 当时，原不等式化为：，而，解得， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 16. 已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）1 （2）180 （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意得到，然后令计算； （2）写出二项式的通项公式，然后令计算； （3）根据二项式系数的对称性可知结果. 【小问1详解】 由题意知，或（舍去），所以， 故令，可得展开式中各项系数的和为． 【小问2详解】 由于二项式的通项公式为， 令，求得， 故展开式中的常数项为． 【小问3详解】 要使二项式系数最大，只要最大，故， 故二项式系数最大的项为第6项． 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）（或） （2）设的前项和为，则（或）. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系作差推导公比，结合的条件求首项，进而得通项公式. （2）先求等比数列前项和，再对分组，利用等比数列求和公式计算前项和. 【小问1详解】 当时，，由得； 当且时，有， 所以，整理得，即. 当时，联立，解得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此其通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，，则. 设的前项和为，则. 18. 如图，四棱锥中，，，，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据，，得到平面，从而得到；（2） 【详解】（1）证明：， 又，，平面， 平面 又平面 . （2）证明：取中点，连接. ，分别是，的中点， 且， 又且， 且， 四边形MNBC是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. （3）解：，，，平面， 平面 为直线与平面所成的角 在中，，， ， 所以在中， . . 所以，直线与平面所成的角为. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，求直线与平面所成的夹角，属于简单题. 19. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 【答案】（1）， （2） （3）因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，可以得到含的代数式表示，运用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （3）根据古典概型运算公式，结合题意得到、、、之间的关系，结合数学期望的运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， 【小问2详解】 因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求、 之间的关系，利用等比数列的定义进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $