山西朔州市怀仁市第一中学校2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试卷

怀仁一中2026~2027学年上学期高三年级摸底考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A因为复数x=2十=2一i,所以=2十i.所以z对应的点位于第一象限.故选A. 2.D由x2-5x十4>0解得A={xx<1或x>4},且B={0,1,2,3,4,5,6,7,8},所以A∩B=0,5,6,7,8 故选D. 3.A由题意，若过点P有两条直线与圆C相切，则点P在圆外，有a>1或a<一1，所以“a>1”是“过点P(a, 0)有两条直线与圆C:x十y2=1相切”的充分不必要条件.故选A. 4.D由表可知：x=号X(2+4+6十8+10)=6,5=号×(6+5+4+3+2)=4， 因样本中心点(x,)必在线性回归直线上，代入得：4=6b十7，解得=一0.5.故选D. 5.Dah=acos60,即2x=2XV+7×号，所以x=5,b=25,故选D. 6.C设an=2+d(n-1),d为公差，由于a1a:=a2a:,则2(2十4d)=(2十d)(2+2d),化简得d=d,由于数列 {a,}单调递增，因此d>0,解出d=1,因此a,=n+1,则S。=10(a)a）=65.故选C 2 1B-)兰-)是奇隔数当>1时≥0，综合分折，故适 （车-=1 21 8.B设P(x1,y),Q(x2,y2),因为线段PQ的中点为M(4,2),所以x1十x2=8,y1十y2=4,所以{ -=1 (2 两式相减可得：号-艺--，即红十》一2=（十为)0一)，所以·二=分，即 2 x1十x2x1一T2 二业=1，所以直线1的斜率为1，所以直线1的方程为：y一2=x一4，化简为：y=x一2，经检验符合题意.故 x1一x2 选B. 9.BDy2=4x,得F(1,0),准线方程为x=-1,故A错误； 当%=1时，4=1，则=}，所以MF=。+1=号，故B正确： 若MF=2,则x6十1=2，x6=1,所以yo=士√4x=士2，所以OM=√5，故C错误： MF=x十1≥1，当且仅当z=0,即点M在原点时，等号成立，故D正确，故选BD. 10.ABD依题意，g(号-x)=sin(受-2x)=f(),所以p-受，A选项正确： g(受)=0，B选项正确： 由A可知，f)=os2x,将fx)的图象向右平移个单位长度后所得函数为f(x-)=cos(2x-誓) =cos(2x-受-号)=sin(2x-要).C选项错误： gx+0》=sm(2x-吾+20），所以-吾+20②1，k∈Z,所以9=2》江+音k∈Z.由0>0，所以 2 4 >号，D选项正确：故选ABD 11.AC此时f(x)=e2-ex2,f'(x)=e'-2ex,且f(x1)=2ex1-ex2=ex1(2-x1),又f'(2)=e2-4e<0,从 而x1>2,f(x1)<0,故A正确： 若)=62-)》号做2-4十1<0，故6>22.且<<22，故B错误： 当/K)=0,且f=rna一2ax时，n)=an-a-船-a=a(信。-n)=0,所以心 x1·e,故x1=1,a=e2,C正确： 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 7008C 由C可知，此时f(x)=e2r-e2x2,f'(.x)=2e2x-2ex,若f(x2)=e22-ex号=e2x2-ex号=ex2(1-x2)> ,故(-)广<0，D错误，故选AC 12.45因为（反+是）广的展开式共有11项，所以n=10,则（反+）展开式的通项公式为T+1= CW)-()）广=C学，令102逃=0，则k=2,所以展开式中的常数项为：C。-10X9=46. 2 2 13.1因为a1=1,a2=2,且am+1=an十an+2,所以ag=a2-a1=1,a1=a3-a2=-1,a5=a1一ax=一2，a6=a 一a1=一1，a7=a6-a5=1,a%=a7-a6=2,…,所以{an}是以6为周期的数列，因为2029=6X338十1，所 以a2o29=a1=1. 14.5取AC的中点D,连接PD,BD,如图，在△PAC中，PDLAC,因为平面PACL平面ABC,且平面 PAC∩平面ABC=AC,所以PD⊥平面ABC 设AD=x,则PD=1-x,c0s∠BAC=AB+AC-BC=3+4x 2AB·AC 8x BD=AD2+AB-2AD·ABcos∠BAC=r+4-2·2x.3+4x=5 8x x2 因为Pg=PD+BD,所以1-+号-2=2，解得=号，则PD号 所以AC=2x=√5，因为AC+BC=AB,所以AC⊥BC. 取AB的中点G,则G为△ABC外接圆的圆心，过点G作直线l1垂直于平面ABC, 设△APC外接圆的圆心为E,过E作直线l2垂直于平面APC,记l41∩l2=O, 1 在△APC中，由正弦定理可得2PE=nPAC= PD =2,解得PE=1, PA 则O为四面体P-ABC外接球的球心.连接AO, 则0G=DE=PE-PD=1-合=号 四面体P-ABC外接球的半径为A0=√AG干OG- 2 所以四面体P-ABC外接球的体积为号x·(停）广= 6 15.獬：(1)因为m∥，所以asin B-5bc0sA=0,…2分 由正弦定理，得sin Asin B-5 sin Bcos A=0,…4分 又sinB≠0，从而tanA=√3，由于0<A<π，所以A= 3 6分 (2)由余弦定理，得a2=6十c2-2 bccos A,而a=7,b=2,A=F 3 8分 得7=4十c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3, ……11分 故△ABC的面积为S= 2 bcsin A=3/3 2 13分 16.解：(1) 男性 女性 总计 爱好 30 40 70 不爱好 20 10 30 总计 50 50 100 …3分 零假设为H。:爱好运动与性别相互独立，即爱好运动与性别无关， 由已知数据可求得 X-100x20X40-30×10 50×50×70×30 -≈4,76<6.635=x.o1,根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断Ho 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 7008C 成立，即爱好运动与性别无关，由此推断犯错误的概率不大于0.01. …………7分 (2)X的取值可能为0,1,2. P(X=0) C3 2C1_4 C-38 C。 =29P(X=1)= 87,P(X=2)= 87,所以X的分布列为……13分 X 0 2 P 3 40 38 29 87 ……14分 X的数学期望为 E(X0=0x品+1×号+2x器-寺 4 15分 17.解：(1)f(x)=3.x2-x-2,令f(x)=0, 即3x2一x一2=0，解得x=1或x=-号， 2 3分 所以当x∈(-∞，-号)时，f(x)>0,x)为增函数： 当x∈(-号，1)时，了(x)<0,x)为减函数： 当x∈(1，+∞)时，f(x)>0,f(x)为增函数. 5分 所以f(x)的递增区间为(-∞， 号)和1，十o): 了)的递减区间为（一子1）. 7分 (2)当x∈[-1,2]时，f(x)<m恒成立，只需使x∈[-1,2]，f(x)的最大值小于m即可. 由(1)可知f(x)m=f子=52号f2)=7,…11分 所以f(x)在x∈[-1,2]的最大值为f(2)=7,所以m>7. 所以实数m的取值范围为{mm>7.………………15分 18.(1)证明：由题意AB=2CD=2AD=2BC=2,则∠ABC=60°，……………1分 因为BC=1,AB=2,所以∠ACB=90°，AC⊥BC,…2分 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,且PA⊥AB,PAC平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD,……4分 因为BCC平面ABCD,所以PA⊥BC,… 5分 且AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC,所以BC⊥平面PAC,…… 6分 又BCC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC;…. 7分 (2)解：如图，以A为原点，AP,AB分别为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系， 则P1,0.0.B0,20,D(0,7,号)，C(o.2号）…9分 所以ai=100,A市-(0，号，号）)P店=(-1,20，C-(0,-号)· ………11分 设平面PAD的法向量n1=(x,y,≈)， m·Ap=x=0, 则a·亦=立+-0，令-1.得n06.- ………13分 设平面PBC的法向量n2=(m,n,p), n2·PB=-m+2n=0, 则 nB兰2=0令1.得=258……5分 2 设平面PAD与平面PBC的夹角为9，则cos9=”:m,= 21 n1·n2T2×4-4’ 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 7008C 所以平面PAD与平面PBC夹角的正弦值为歪 …………………17分 19.解：(1)A(-a,0),B(0,b),所以AB=√a+b,… 1分 因为坐标原点0到直线AB的距离为写，所以V厅十行×写=b① 2分 又因为△A0B的面积为，5，所以ab=5,即ab=25@, 3分 由①@及a>6得d=6,6=2,所以椭圆C的方程为：亏+兰-1： ………………4分 (2)(i)由(1)知焦点F:的坐标为(2,0)， 因为直线1的斜率不为0，则可设直线l的方程为x=my十2，…5分 fx=my十2 联立方程组 子芳=消去得m十3十mw-2=0” 6分 △=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0, 设Mx),N(,则y十业=-m4”3 2 m2十3y1y2= m2十3 ……………………7分 Sam=专0那1m-%=y-为=V+)-4为- 26√/m+1 m2+3 8分 令m=≥1D,则SN=2=2<25-5,当且仅当4=2时，等号成立，即△OMN面积 22 的最大值为。……………………………10分 令√/m2十1=√2，解得m=士1，所以此时直线l的方程为x一y-2=0或x十y-2=0;…11分 (iDA(一√6,0)，直线AM的方程为：y= (x+√6)， x1+√ 令x=0,所以y=6n 1+6m+2后：则P(0,6 6y1 13分 my1+2+√6 直线AN的方程为：y= 出后(x十6)，令x=0,所以y=6 x2十√6 x2十√6my2十2+√6 m+2+6月 ……15分 所以|OP·OQ √6y √6y2 6yy2 my十2+√6 my2十2+√6 m2y1y十(2+√6)m(y十y2)+(2+√6) -12 m2十3 -2m2 m2+3 -42+6)m+(2+6) m2+3 -12 4 2m2-4(2+√6)m2+(2+√6)m2+(2+√6)'X3 =10-4√6， 10+4√ 所以OP·OQ为定值，且定值为10-4√6.………… ……………17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 7008C怀仁一中20262027学年上学期高三年级摸底考试 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数之=2十3，则在复平面内z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={x|x2-5x+4>0},B={x∈ZWx<3},则A∩B= A.{2,3} B.{0,2,3} C.{5,6,7,8} D.{0,5,6,7,8} 3.已知a∈R,则“a>1”是“过点P(a,0)有两条直线与圆C:x2十y=1相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为y=x十7，则石的值为 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 A.-0.8 B.-0.7 C.-0.6 D.-0.5 5.已知向量a=(0,2),b=(3,x),a与b的夹角为60°，则|b= A.1 B.√2 C.2 D.25 6.记单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sm,若a1=2且a1as=a2a3,则S1o A.50 B.55 C.65 D.70 【高三数学第1页（共4页）】 7008C 7.已知函数f八x)-,则其图象大致是 8直线1与双曲线号-y2=1交于P,Q两点，线段PQ的中点为M4,2》,则直线L的方程为 A.y=-x+6 B.y=x-2 C.y=2x-6 D.y=-2x+10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M(xo,yo)在C上，则 A.F的坐标为(2,0) B.若y=1,则1MF1=5 C.若|MF|=2,则|OM|=√10 D.IMFI≥1 10.已知函数f(x)=sin(2x十p)(0<p<π)的图象与函数g(x)=sin2x- 的图象关于直线 x=石对称，则 A9-受 B.g(x)的图象关于点(2,0)对称 C.将f(x)的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与g(x)的图象重合 D.若g(x)的图象向左平移(>0)个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则0的最小值 为餐 11.已知x=x1和x=x2分别为函数f(x)=ax一ax2(a>1)的极小值点和极大值点，则 A.当a=e时，f(x1)<0 B当a=e时，f(a)>号 C.当f(x1)=0时，a=e2 D.当a)=0时，f)>星 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若(V丘+)展开式共有11项，则展开式中的常数项为 13.已知a1=1,a2=2,且an+1=am十an+2(n为正整数)，则a2o29= 14.如图，点P,A,B,C均在球O的表面上，PA=PC=BC=1,AB=2,PB =√2，平面PAC⊥平面ABC,则球O的体积为 【高三数学第2页（共4页）】 7008C 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证阴过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,w√3b)与n=(cosA,sinB) 平行. (1)求A; (2)若a=√7，b=2,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动 是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下 列联表： 男性 女性 总计 爱好 30 不爱好 10 总计 100 (1)请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析爱好运动与 性别是否有关； (2)若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为 X,求X的分布列、数学期望， 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 n (ad-bc)2 参考公式：X=(a+b十)a千c)(6十D,其中n=a+b+c+d. 【高三数学第3页（共4页）】 7008C 17.(本小题满分15分) 设fx)=x-2x-2x+5. (1)求函数f(x)的单调递增、递减区间； (2)当x∈[一1,2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围. 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,AB∥CD,且AB=2CD =2AD=2BC=2AP=2. (1)证明：平面PAC⊥平面PBC; (2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C,若+带=1(a>6>0)的左顶点为A,上顶点为B,坐标原点0到直线AB的距 离为6 ,△A0B的面积为V5. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过椭圆C右焦点F且不与x轴重合的直线1与椭圆C交于M,N两点. (i)求△OMN面积的最大值以及此时直线l的方程； (i)若直线AM,AN分别与y轴交于P,Q两点，证明：|OP|·|OQI为定值， 【高三数学第4页（共4页）】 7008C