5.5.1两角差的余弦公式第1课时 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦两角差的余弦公式，通过回顾三角函数诱导公式、验证特殊角公式不成立、利用单位圆坐标法推导公式的问题链，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解公式的形成过程。 其亮点在于以直观想象为基础，通过单位圆坐标推导公式，结合逻辑推理设计证明、求值、综合应用的探究活动，类题通法总结方法规律。学生能深化公式理解与应用能力，教师可依托结构化内容提升教学效率。

5.5　三角恒等变换 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 素养目标 思维导图 1.经历用坐标法推导出两角差的余弦 公式的过程,进一步体会向量的作用 (直观想象). 2.掌握两角差的余弦公式,并能利用 公式进行简单的三角函数式的求值、 化简和证明(逻辑推理). 课前自主学习 问题1.回顾三角函数的诱导公式: (1)cos(π-α)=cosπ-cos α能否成立? (2)cos(-α)=coscos α+sinsin α成立吗? 提示:(1)不成立.因为cos(π-α)=-cos α,cos π-cos α=-1-cos α,若cos(π-α)=cos π-cos α, 则-1=0矛盾,所以不成立. (2)成立.因为cos(-α)=sin α,cos cos α+sin sin α=sin α, 所以cos(-α)=coscos α+sinsin α成立. 问题2.我们知道,若α=,β=,则cos(α―β)=cos α―cos β,cos 45°=,cos 30°=, cos 15°=cos(45°-30°),等式cos(45°-30°)=cos 45°-cos 30°是不是成立呢? 提示:显然cos 15°>0,而cos 45°-cos 30°=<0, 所以cos 15°=cos 45°-cos 30°不成立. 问题3.如图,单位圆与x轴正半轴交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角α,β,α-β的 终边分别与单位圆交于点P1(cos α,sin α),A1(cos β,sin β),P(cos(α-β),sin(α-β)).易得 AP=A1P1, 所以= 两边平方,整理得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 【核心概念】 两角差的余弦公式 cos(α-β)=___________________.  cos αcos β+sin αsin β 课堂合作探究 探究点一　利用两角差的余弦公式证明等式 【典例1】证明下列等式: (1)cos(α-)=-sin α. (2)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos α. 【思维导引】利用两角差的余弦公式证明. 【证明】(1)cos(α-)=cos αcos+sin αsin=0·cos α+(-1)sin α=-sin α. (2)逆用两角差的余弦公式,得cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α. 【类题通法】证明三角恒等式的三个方向 根据三角恒等式的结构特点,联想运用数学公式进行证明,证明的方向通常有三种: (1)从左向右证明:如果三角恒等式的左边结构复杂,可以从左向右证明. (2)从右向左证明:如果三角恒等式的右边结构复杂,可以从右向左证明. (3)两边向中间证明:如果三角恒等式的左边与右边,联系不明显,可以从两边向中间 证明,即确定中间量,通过等量代换完成证明. 提醒:注意三角恒等式的应用方向:正用和逆用. 【定向训练】 证明下列各式: (1)cos α+sin α=cos (-α); (2)cos θ+sin θ=cos (-θ). 【证明】(1)cos (-α)=cos cos α+sin sin α=cos α+sin α. (2)cos (-θ)=(cos cos θ+sin sin θ) =(cos θ+sin θ)=cos θ+sin θ. 探究点二　利用两角差的余弦公式求值 【典例2】(1)已知sin (30°+α)=,60°<α<150°,则cos α的值为(　　) A. B. C. D. (2)cos 162°cos 132°+cos 72°cos 42°=(　　) A. B. C.- D.- 【思维导引】(1)根据平方关系式求出cos (30°+α),再根据cos α=cos (30°+α-30°)及 两角差的余弦公式可求出结果. (2)逆用两角差的余弦公式化简即可. 【解析】(1)选B.因为60°<α<150°, 所以90°<30°+α<180°, 又因为sin (30°+α)=,所以cos (30°+α)=-=-=-, 所以cos α=cos (30°+α-30°)=cos (30°+α)cos 30°+sin (30°+α)sin 30°=- =. (2)选A.cos 162°cos 132°+cos 72°cos 42°=cos(90°+72°)cos(90°+42°)+cos 72°cos 42° =-sin 72°(-sin 42°)+cos 72°cos 42°=cos 72°cos 42°+sin 72°sin 42°=cos(72°-42°) =cos 30°=. 【类题通法】两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值,利用两角差的余弦公式直接展开求解;逆用公式时先利 用诱导公式化成公式右边的形式而后运用公式. (2)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利用两角差 的余弦公式求解. 【定向训练】 1.在平面直角坐标系Oxy中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于x 轴对称.若cos α=-,则cos(α-β)=(　　) A. B.- C.1 D. 【解析】选B.角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于x轴对称. 则cos α=cos β=-,sin α=-sin β,且sin2α=1-cos2α=,sin αsin β=-sin2α=-, 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β==-. 2.已知cos α+cos β=,sin α+sin β=,则cos(α-β)=(　　) A.1 B.0 C.-1 D.- 【解析】选D.已知cos α+cos β=,sin α+sin β=,则有cos2α+2cos αcos β +cos2β=,sin2α+2sin αsin β+sin2β=, 两式相加得1+2cos αcos β+2sin αsin β+1=1,则2cos(α-β)=-1, 所以cos(α-β)=-. 探究点三　两角差的余弦公式的综合应用 【典例3】(规范解答) (13分)已知函数f(x)=sin x+cos x,且f(α)=-,α∈(0,π). (1)求f(-α)的值; (2)若cos (α-β)=,β∈(0,,求cos β. 【思维导引】(1)利用平方的方法,结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. (2)利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【解析】(1)由题意f(α)=sin α+cos α=-,α∈(0,π), 因为sin α>0,所以cos α<0.……2分 故由 解得sin α=,cos α=-. ……5分 所以f(-α)=-sin α+cos α=-. ……6分 (2)由(1)可知,α∈(,π),β∈(0,),则α-β∈(0,π), ……8分 因为cos (α-β)=, 所以sin (α-β)==, ……10分 所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos α·cos (α-β)+sin α·sin (α-β)=. ……13分 【类题通法】已知三角函数值求差角余弦值的方法技巧 (1)已知角的三角函数值,求相关角的余弦值时,要找到这些角之间的联系,通过构造 两角差的余弦的形式,利用公式进行计算. (2)由于和差角与单角是相对的,因此做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼 角的变换,常见的角的变换有: ①β=; ②2β=(α+β)-(α-β); ③2α=(α+β)+(α-β); ④=(α+)-(α-). 【定向训练】 1.求值:sin +cos . 【解析】原式=2(sin cos =2(sin sin +cos cos =2cos( =2cos =. 2.已知sin α=,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求cos β的值. 【解析】由sin α=和α为锐角可得cos α==. 由cos(α+β)=-和0<α+β<180°, 可得sin(α+β)==. 于是cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-=. 课堂练习 1.化简cos(+θ)cos θ+sin(+θ)sin θ等于(　　) A. B. C. D.1 【解析】选A.由两角差的余弦公式,得 cos(+θ)cos θ+sin(+θ)sin θ= cos[(+θ)-θ]=cos=. √ 2.cos 56°cos 26°+sin 56°cos 64°的值为 (　　) A. B.- C. D.- 【解析】选C.由cos 56°cos 26°+sin 56°cos 64° =cos 56°cos 26°+sin 56°sin 26° =cos(56°-26°)=cos 30°=. √ 3.已知cos α=,α∈(-,0),则cos(α-的值为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.因为α∈(-,0),所以sin α=-, 所以cos(α-=cos αcos +sin αsin =+(-×=. √ 4.计算cos 165°=　　　　　　　.  【解析】cos 165°=cos(180°―15°)=―cos 15°= ―cos(45°―30°)=―cos 45° cos 30°― sin 45°sin 30°=-=. 答案: 5.已知cos α=,α∈(0,),则cos(α-)=　　　　　　.  【解析】因为cos α=,α∈(0,), 所以sin α===, 所以cos(α-)=cos αcos+sin αsin==. 答案: 谢 谢 $