第二章《有理数的运算》培优测试题 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 新人教版数学七年级上册《有理数的运算》单元复习同步练，以“基础巩固-综合应用-创新拓展”分层设计，覆盖运算能力、推理意识与应用意识培养，适配课时目标与阶段测评需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（56分）|有理数基本运算、科学记数法、相反数/倒数概念|选择/填空题聚焦单一知识点，如第1-4题考查运算规则，第12题结合概念辨析| |中档层（60分）|混合运算、数轴应用、简单实际问题|递等式计算（15-19题）强化步骤规范，解答题20-23题结合出租车计费等生活情境，培养应用意识| |拔高层（34分）|新定义运算、规律探究、动态数轴问题|第24题新运算定义与推理，第25题数轴移动游戏融合分类讨论，发展创新意识与推理能力|

新人教版数学七年级上册《有理数的运算》培优测试题 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 等级 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上。 2.答案全部写在试卷指定位置，答题字迹工整、卷面整洁。 3.考试结束后，直接上交本试卷。 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列运算中，①；②；③；④；⑤结果为负数的个数是 （ ） A. 0个 B. 3个 C.4个 D. 5个 2一个数用科学记数法表示为，这个数是一个 （ ） A. 6位数 B. 7位数 C. 8位数 D. 9位数 3.下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 4.计算 的结果是 （ ） A. B. C. D. 5.有理数a，b满足．则 的值为 （ ） A. B.78 C. D.80 6. 有理数a，b在数轴上的位置如图1所示，在下列结论中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 7. 数学老师在黑板上写下了如下的等式：，则（ ）． A. B. C. 2500 D. 2650 8.下列各组数中，计算结果互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 9. 计算：时，老师了提示如下：根据裂项后，计算即可。根据提示，计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“共生有理数对”，记为根据上述定义，判断下列四对有理数中不是“共生有理数对“的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有4小题，每小题4分，满分16分） 11.已知，则_______． 12. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则的值是_____________． 13.在大数据与人工智能时代，十六进制被广泛用于计算机编程、数据存储和颜色编码（如网页设计中红色代码为＃FF0000）．十六进制的计数规则是“满十六进一”，数位上用、依次表示（其中字母A对应10.字母B对应11、字母C对应12、字母D对应13、字母E对应14、字母F对应15）．如：将人工智能算法参数中的十六进制数转换为十进制数，计算方法为，结果是108．请将人工智能算法参数中的十六进制数转换为十进制数，结果是___________． 14. 如图2所示的运算程序中，若开始输入的x的值为14，则第一次物出的结果为7，第2次输出的结果为10，…，则第2025次输出的结果为___________． 三、递等式计算题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分） 要求：写出完整计算步骤，步骤规范、过程清晰 15. 16. 17. 18. ； 19. 四、解答题（本大题共6小题，满分64分） 解答应写出必要的文字说明、演算步骤，规范作答 20.（本小题满分6分） 若，且，求的值． 21. （本小题满分7分） 对于任意的两个有理数a、b，定义． （1）计算的结果 （2）计算的结果． 22. （本小题满分9分） 从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n S 1 2 3 4 5 （1）若时，求的值 （2）根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为：___________． （3）根据上题的规律计算的值． 23. （本小题满分10分） 出租车司机李师傅一天上午的某个时段从A地出发，在东西方向的公路上行驶运营，下表是每次行驶的里程（单位：千米，规定向东走为正，向西走为负，表示空客，表示载客，且乘客都不相同）： 次数 1 2 3 4 5 6 里程 载客 （1）李师傅走完第6次里程后，他在A地的什么方向，离A地有多少千米？ （2）已知出租车每千米耗油0.05升，李师傅开始运营前油箱里有4升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明李师傅这个时段在中途是否可以不加油； （3）已知载客时2千米内收费10元，超过2千米后每千米加收2元，问李师傅这天上午走完6次里程后总收入为多少？ 24. （本小题满分12分） 我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题： ； ； ； ． （1）请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子；_____． （2）补全定义内容：_____，（用含、的代数式表示） （3）计算 （4）当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 25. （本小题满分20分） 如图3，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度；q ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … （1）从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； （2）若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ （3）从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； （4）从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 参考答案： 一、选择题 1.A 2B 3.C 4.A 5.C 6. A 7.C 8.D. 9.A 10.C 二、填空题（本大题共有4小题，每小题4分，满分16分） 11. 0 12. 5或 13. 303 14. 2 三、 15. 解法1：原式 ； 解法2：原式 ； 16. 解： ． 17. 解： ． ． 18.解：原式 （或）． 19. 解：原式 . 四、解答题 20.解：∵， ∴， 解得； ∵， ∴或， 当，时， ； 当，时， ； 故的值为或3． 21. （1）解：根据， 得 ； （2）解：根据， 得， ； 故； 22. （1）解：根据题意，得1个加数时，和为；2个加数时，和为；3个加数时，和为；由此发现，当有n个加数时，它们的和为， 当时， ． （2）解：根据题意，1个加数时，和为；2个加数时，和为；3个加数时，和为；由此发现，当有n个加数时，它们的和为，即， 故答案为：． （3）解： ． 23. （1）解：∵， ∴李师傅走完第6次里程后，他在A地的西面，离A地有14千米． （2）解：∵千米， ∴耗油量为：（升），剩油量为：， ∴李师傅这个时段在中途可以不加油． （3）解：根据题意，载客4次， ∴一共收费为：（元）． 24.（1）解：根据题意，答案如下： ， 故答案为：，不唯一． （2）解：根据式子的特点，得到， 故答案为：． （3）解： ． （4）解：根据题意，得，， 由， 故， 故新定义的运算不满足交换律． 25. （1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5． （2） 解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度． （3） 解；乙赢了n次，则乙输了次 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4） 解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，根据题意，得， 故或， 解得或， 所以k的值为7或5． 学科网（北京）股份有限公司 $