第二章 有理数的运算 章末测试题 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 人教版七年级上有理数运算单元卷，以苏超冠军、新能源汽车等现实情境及《九章算术》、国际数学教育大会等文化素材为载体，覆盖基础运算与创新应用，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|相反数倒数、科学记数法、程序框图|结合泰州游客量等社会热点，融入八进制转换等创新题| |填空题|5|绝对值运算、数轴中点、幻圆游戏|设置非零有理数符号讨论等开放性问题| |解答题|8|拆项法、倒数法、除方新定义|设计新能源汽车费用计算等项目式学习，数轴格距点探究培养推理意识|

第二章 有理数的运算 章末测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上学期 一、单选题 1．的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 2．《九章算术》中最早提出了正负数加减法的法则．计算=（     ） A． B． C． D． 3．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 4．2026年河南外贸开局良好，一季度我省进出口额2631.5亿元，同比增长28.7%，继续稳居全国第一方阵．数据“2631.5亿”用科学记数法表示为（     ） A． B．2.6315×1010 C．2.6315×1011 D． 5．如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为(     ) A． B． C． D． 6．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 7．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 8．安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 9． 第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 10．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 二、填空题 11．若，，且，则_________ ． 12．计算：________． 13．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 14．已知a、b、c为非零有理数，的值为________． 15．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____ 三、解答题 16．计算 (1)； (2)； (3)． 17．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 18．项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 19．方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 20．近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 21．学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 22．慧慧学习了“有理数的乘方”后，她就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫作除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作5③，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．请你根据慧慧的规定解决下列问题： (1)直接写出计算结果： ， ； (2)将aⓝ的运算结果写成有理数的乘方的幂的形式： ； (3)计算：． 23．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C B C D D D A 1．D 【分析】按照定义先求出的相反数，再计算该相反数的倒数即可得到结果． 【详解】解：的相反数为， 的倒数为， ∴的相反数的倒数是． 2．B 【分析】根据有理数加法法则计算即可．有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴结果的符号为负，计算得， ∴． 3．C 【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位有效数字所在的数位． 【详解】解：∵万 ∴原数中末位数字9位于千位 ∴万精确到千位． 4．C 【详解】解：2631.5亿． 5．B 【分析】将冷藏室温度减去冷冻室温度即可解答． 【详解】解：， 答：这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为． 6．C 【分析】根据标注计算温度的最低值和最高值，即可得到合适温度范围． 【详解】解：表示保存温度的最低值为， 最高值为：， 最合适的温度范围是． 7．D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 8．D 【分析】先计算得水箱底面积，水的体积；正方体棱长，水箱一层最多可放个正方体，底层6个恰好填满的高度空间，剩余1个放在第二层，此时水的有效底面积为，可得水位再次上升的高度，即可得总水位高度． 【详解】解：由题意得，水箱底面积为， 水的初始体积为， 单个正方体体积为，单个底面积， 由题意得，水箱内长方向可放个，宽方向可放个，一层最多可放个正方体， ∵6个正方体的总体积为，而水箱高度的总容积为， ∴底层6个正方体刚好填满的空间，此高度内没有水， ∵第7个正方体放在第二层， ∴水的底面积水箱底面积第7个正方体的底面积为， ∵水的体积仍为， ∴以上的水位高度为：， ∴总水位高度． 9．D 【分析】本题考查有理数乘方逆运算的应用，根据题意得，即可求得的值．熟练掌握该运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵一个进制数， 换算成十进制数是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的值为． 故选：D． 10．A 【分析】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可． 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 11．7或 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴时；时， 则或． 12． 【分析】根据有理数乘方法则、绝对值的性质、有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 13． 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 14．4或或0 【分析】本题考查有理数的运算，分三个有理数同正，同负，一正两负，一负两正，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当a、b、c同正时，原式； 当a、b、c同负时，原式； 当a、b、c一正两负时，不妨设a为正，则原式； 当a、b、c一负两正时，不妨设a为负，则原式； 综上：的值为4或或0； 故答案为：4或或0． 15．或 【分析】求得横、竖以及内外两圈上的个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 16．(1)8 (2)34 (3)0 【分析】（1）根据有理数的加减法运算计算即可； （2）使用乘法运算律求解即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 18． 【分析】本题考查了倒数、有理数的除法、乘法分配律，理解“倒数法”是解题的关键． 仿照题意的“倒数法”进行计算即可． 【详解】解：原式的倒数： ， 故原式． 19．(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）方方第一步在计算时出错了，结果应为；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算； （2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解． 【详解】（1）解：∵方方第一步在计算时出错了，结果应为， ∴方方开始出错的是第①步， ∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算， ∴圆圆开始出错的是第②步． （2）解： 20．(1)/天 (2)元 【分析】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可； （2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案． 【详解】（1）解：总路程：，平均：/天； 所以这七天平均每天行驶了60千米； （2）解：燃油车费用：元， 电动车费用：元； 节省：元， 所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元． 21．(1)C (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据乘法对加法的分配律进行求解即可； （2）利用拆项法和乘法对加法的分配律，进行计算即可． 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； （2）解： ． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据新定义结合有理数的除法法则和有理数幂的定义，进行求解即可； （3）根据新定义结合有理数的混合运算法则进行计算即可. 【详解】（1）解：；； （2）； （3）原式 . 23．(1)5 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，或7 (4)点P表示的数为或，或15 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点P到点A的距离与点B到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点P在线段上，从而得出整点所表示的数； （3）由题意可求出点P表示的数是2或4，进而即可求出n的值； （4）分两种情况讨论：当P在之间时，，点P表示的数为，此时；当P在点A左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴点P到点A的距离为4，到点B的距离为1， ∴点P到点A的距离与点B到点的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5． （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6． （3）解：∵点P到点B的距离为1， ∴点P表示的数为2或4， ①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； ②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离为，到点B的距离为， 点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； 点P表示的数为2或4，或7． （4）解：①当P在之间时，，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，点P表示的数为：，此时． 点P表示的数为或，或15． 学科网（北京）股份有限公司 $