第二十五章 一元二次方程 复习讲义 2026-2027学年人教版九年级上册数学

该初中数学讲义以“一元二次方程”为核心，通过分板块结构化梳理知识体系，将定义、解法、根与系数关系及实际应用按逻辑递进呈现，用★标注重点、⚠提示易错点、◆归纳方法，形成清晰知识脉络，突出各板块内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如“两根之积计算”夯实运算能力，新定义题如“倍根方程判断”培养推理意识，应用题如“价格增长率问题”强化模型意识。方法指导含步骤拆解和易错提醒，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

初中数学（RJ）九年级上册 第二十五章　一元二次方程 教师版 一、全章知识清单 板块 1 　一元二次方程 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（次）的整式方程叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0 （a、b、c 为常数，a≠0；a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项）。 3.一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 ★ 重点　一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的 4 个必备条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为 2；④二次项系数 a≠0。 ⚠ 易错　a=0 时方程退化为 bx+c=0（一元一次方程），不再是一元二次方程；判别时必须先验证 a≠0。 ◆ 方法　整理为一般形式时，先去分母、去括号、移项、合并同类项；注意 b、c 可为 0（但 a 不可）。 ★ 注意　一元二次方程最多 2 个实数根。 ⚠ 易错　"方程无解" 与 "方程无实数根" 是不同概念：解可能在复数范围内存在；初中阶段默认在实数范围内讨论。 板块 2　　解一元二次方程 1.核心思想：降次 2.直接开方法： （1）核心思想：对于形如 x²=p的一元二次方程可通过平方根的意义直接开方。 （2）基本步骤：①二次项系数化为 1（方程两边同除以系数）；②开方求解。 ★ 重点　直接开方法的核心是平方根的意义。 ⚠ 易错　当p＞0时，方程有两个不相等的实数根；当p=0时，方程有两个相等的实数根；当p＜0时，方程无实数根。 3.配方法： （1）核心思想：把方程 ax²+bx+c=0 化为 (x+m)²=n 的形式，再两边开方求解。 （）@基本步骤：①移项（常数项移到等号右边）；②二次项系数化为 1（方程两边同除以 a）；③配方（两边加一次项系数一半的平方）；④开方求解。 ★ 重点　配方法的核心是"配完全平方式"：x²+bx → (x + b/2)² - (b/2)²，最终化为 (x+m)²=n。 ⚠ 易错　①忘记在等号两边同除以 a（必须先把二次项系数化为 1）；②配方时漏加一次项系数一半的平方；③只对右边的常数项配方，忘了对左边也加同样项。 ◆ 方法　配方变形 (x+m)² = n 后，n≥0 才能在实数范围内继续开方；n<0 时方程无实数根。 4.公式法： （1）核心思想：用配方法把 ax²+bx+c=0 （a≠0）化为的一般形式，求出求根公式的一般形式。 （2）根的判别式 Δ = b² - 4ac：Δ>0 ⟹ 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 ⟹ 两个相等的实数根；Δ<0 ⟹ 没有实数根。 （3）求根公式：当Δ≥0时，方程 ax²+bx+c=0 （a≠0）的实数根可写为。 （4）基本步骤：①将一元二次方程化成一般形式；②确定二次项系数、一次项系数、常数项；③确定根的判别式正负；④代入根据求根公式求解。 ★ 重点　求根公式，使用前提是 a≠0 且根号内 Δ=b²-4ac ≥ 0。 ⚠ 易错　①分子分母记反；②忘记 Δ<0 时无实数根；③含字母系数时未讨论a=0。 ◆ 方法　Δ=b²-4ac 是判别式：Δ>0 两不等根，Δ=0 两等根，Δ<0 无实数根；解含参字母系数的方程时，常用"先化一般式 → 代入 Δ 讨论 → 再求根"三步走。 5.因式分解法： （1）核心思想：把 ax²+bx+c=0 化为两个一次式乘积为0（ (mx+n)(px+q)=0） 的形式，再由"两个因式之积为 0 ⟺ 至少一个为 0"得根。 （2）常用分解手段：①提取公因式；②公式法（完全平方公式/ 平方差公式）；③十字相乘法（x 项系数为 1 时尤其快捷）。 （3）解法步骤：①将方程右边化为 0；②将左边因式分解；③令每个因式分别为 0，得到一元一次方程求解。 ★ 重点　因式分解法：将 ax²+bx+c=0 化为 (mx+n)(px+q)=0，由"AB=0 ⟹ A=0 或 B=0"求根。 ⚠ 易错　①右边没有化为 0（必须先移项使右边=0，再因式分解左边）；②分解后只写一个因式=0；③含字母系数时忽略"a≠0"前提。 ◆ 方法　常用手段：提公因式、平方差 (a²-b²)、完全平方 (a±b)²、十字相乘。x 项系数为 1 时十字相乘最快；系数为 2/3/-1 等简单整数时优先考虑。 板块 3　　根与系数的关系（韦达定理） 1.定理：若 x₁、x₂ 是一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的两个根，则 x₁+x₂ =，x₁·x₂ =。 2.逆定理：若两数 x₁、x₂ 满足x₁+x₂ =，x₁·x₂ =，则 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0 的两根。 3.常见应用：①不解方程求 x₁+x₂、x₁·x₂ 及对称式的值；②已知一根求另一根及方程中的参数；③构造以已知两数为根的一元二次方程；④由根的符号求参数范围。 4.判别式与韦达定理联用：根的存在性（Δ≥0）必须先判断，否则讨论无意义。 ★ 重点　若 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的两根，则 x₁+x₂ =，x₁·x₂ =。其推导过程基于公式法求出两个根。 ⚠ 易错　①使用韦达定理前必须验证 Δ≥0（否则两根不存在）；②符号易混（，）；③由"已知和与积反推原方程"时易忘记 a 的处理。 ◆ 方法　常见应用三件套：①求 x₁+x₂、x₁·x₂ 的对称式；②已知一根求另一根及参数；③求与根有关的参数范围（结合根的判别式与根的符号）。 板块 4　　实际应用 审题：明确已知量、未知量及所求量，理清数量关系。 设元：设直接未知数（一般为所求量），注意单位。 列方程：抓住等量关系，列出一元二次方程。 解方程：选择合适方法（直接开平/配/公式/因式分解）求解。 检验与作答：①检验根是否满足实际意义（正数、整数、是否在定义域内等）；②写出完整答案。 ★ 重点　五步走：①审题（明已知/未知/所求）→ ②设元（设所求量为 x）→ ③列方程（找等量关系）→ ④解方程（配/公式/因式）→ ⑤检验与作答（检验实际意义）。 ⚠ 易错　列方程后未化"一般式"或未把右边化为 0 就用因式分解法；解出根后未代入实际背景检验（负数、超界、非整等）。 ◆ 方法　列方程的关键是找等量关系：把未知量用 x 表示后，其余量用含 x 的代数式表达，再列等式。 二、综合训练 1．（2026•南充模拟）一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，利用计算即可． 【解答】解：方程的两根之积为． 故选：B． 2．（2026•钦北区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），若方程的两个根为 x1，x2，则 ，据此求解即可． 【解答】解：∵a＝1，c＝﹣5， ∴． 故选：A． 3．一元二次方程x2﹣1＝3x的常数项是﹣1，则二次项和一次项分别是（　　） A．x2和3x B．x2和﹣3x C．1和﹣3 D．1和3 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），其中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项． 【解答】解：一元二次方程x2﹣1＝3x化成一般式为x2﹣3x﹣1＝0，则二次项、一次项分别是：x2，﹣3x， 故选：B． 4．（2025秋•吴江区校级月考）方程x（3﹣x）＝0的根是（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3 【答案】C 【分析】将方程转换为两个一元一次方程求解即可 【解答】解：由条件可得：x＝0或3﹣x＝0， ∴x1＝0，x2＝3， 故选：C． 5．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①x2﹣2xy+1＝0； ②0； ③3x22＝0； ④x（x+3）＝x2﹣1； ⑤x2＝6； ⑥x3﹣x+4＝0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：①x2﹣2xy+1＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程； ②0，是一元二次方程； ③3x22＝0，含有分式，不是一元二次方程； ④x（x+3）＝x2﹣1，x2+3x＝x2﹣1，3x＝﹣1，未知数的次数是1，不是一元二次方程； ⑤x2＝6，是一元二次方程； ⑥x3﹣x+4＝0，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程； 所以一元二次方程有2个， 故选：B． 6．（2026春•长兴县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣1）（mx+2）＝0是倍根方程，则m＝﹣1； ③若p、q满足pq＝8，则关于x的方程px2﹣6x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】利用因式分解法解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2，则利用新定义可对①进行判断；先解方程（x﹣1）（mx+2）＝0得到x1＝1，x2，利用“倍根方程”的定义得到1＝2×（）或2×1，于是可出m＝﹣4或m＝﹣1，从而可对②进行判断；若p、q满足pq＝8，则q，关于x的方程px2﹣6x+q＝0化为p2x2﹣6px+8＝0，利用因式分解法解方程得到x1，x2，于是利用“倍根方程”的定义可对③进行判断；利用关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则可设方程的两根分别为t，2t，于是根据根与系数的关系得t+2t，t•2t，然后消去t得到2×（）2，从而可对④进行判断． 【解答】解：解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2，则方程x2﹣3x+2＝0为“倍根方程”，所以①正确； 若（x﹣1）（mx+2）＝0，则x1＝1，x2， ∵方程是倍根方程， ∴1＝2×（）或2×1， 解得m＝﹣4或m＝﹣1，所以②错误； 若p、q满足pq＝8，则q， 关于x的方程px2﹣6x+q＝0化为px2﹣6x0， 即p2x2﹣6px+8＝0， 解得x1，x2， ∴关于x的方程px2﹣6x+q＝0是倍根方程，所以③正确； 关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程， 设方程的两根分别为t，2t， 根据根与系数的关系得t+2t，t•2t， ∴t， ∴2×（）2， ∴2b2＝9ac，所以④正确． 故选：C． 7．（2026•通州区一模）已知关于x的方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，可得出＝22﹣4×1×（﹣c）＝0，解之即可得出c的值． 【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×1×（﹣c）＝0， 解得：c＝﹣1， ∴c的值为﹣1． 故选：A． 8．（2026•六安一模）已知关于x的一元二次方程x2+2ax＝2（a﹣1）．若x1，x2是该方程不相等的两个实数根，如果，那么a的值为（　　） A．2或﹣4 B．﹣2或4 C．3或﹣4 D．﹣3或4 【答案】A 【分析】先结合x1，x2是该方程不相等的两个实数根，得出a2+2a﹣2＞0，以及x1+x2＝﹣2a，x1x2＝﹣2（a﹣1），再整理得，然后将用a表示的x1+x2与的代数式代入该展开式中计算，最后验算，当a＝2时，则22+2×2﹣2＝6＞0；当a＝﹣4时，则（﹣4）2+2×（﹣4）﹣2＝6＞0，即可作答． 【解答】解：原方程整理得x2+2ax﹣2（a﹣1）＝0， ∵x1，x2是该方程不相等的两个实数根， ∴Δ＝（2a）2﹣4×1×[﹣2（a﹣1）]＞0， ∴a2+2a﹣2＞0， 则， ∴， ∵， ∴， 则， ∴4a2+4a﹣4+2a×（﹣2a）+2a2＝12， ∴4a2+4a﹣4﹣4a2+2a2＝12， ∴a2+2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）＝0， 解得a1＝2，a2＝﹣4， 当a＝2时，则22+2×2﹣2＝6＞0； 当a＝﹣4时，则（﹣4）2+2×（﹣4）﹣2＝6＞0； ∴a的值为2或﹣4． 故选：A． 9．（2026春•城区校级期末）关于x的方程x2+2x﹣3k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 ． 【答案】k＞0． 【分析】已知方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，根据根的判别式的意义，可得根的判别式大于0，据此建立关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围． 【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即22﹣4×1×（1﹣3k）＞0， 解得k＞0． 故答案为：k＞0． 10．（2026春•台州期中）若是方程x4+ax2+b＝0的两根，则关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根分别是 　 ． 【答案】x或x． 【分析】依据题意，由是方程x4+ax2+b＝0的两根，则，从而a＝﹣10，b＝1，进而方程ax2+bx+2＝0为﹣10x2+x+2＝0，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵是方程x4+ax2+b＝0的两根， ∴， ∴a＝﹣10，b＝1． ∴方程ax2+bx+2＝0为﹣10x2+x+2＝0， ∴（2x﹣1）（5x+2）＝0． ∴2x﹣1＝0或5x+2＝0． ∴x或x． 故答案为：x或x． 11．（2026•溧阳市校级模拟）已知：一元二次方程x2﹣8x+d＝0（d为常数）有一个根为3，则另一根为　 　 ． 【答案】5． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，据此直接求出另一根． 【解答】解：设方程x2﹣8x+d＝0的另一个根为x2，已知一根为3， 根据韦达定理，两根之和为： 3+x28， 解得： x2＝8﹣5， ∴另一个根为5． 故答案为：5． 12．（2026•淄川区一模）若关于x的方程x2﹣x﹣n＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是 　 ． 【答案】n． 【分析】由方程有两个不等的实数根结合根的判别式，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n）＝1+4n＞0， ∴n． 故答案为：n． 13．（2026春•东阳市月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ②若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立． 其中正确的有 　 ． 【答案】①②． 【分析】对每个说法逐一验证：①通过判别式Δ1＝﹣4ac＞0推导Δ＝b2﹣4ac＞0；②由a+b+c＝0得x＝1是根，故判别式非负；③代入根c，分c＝0和c≠0两种情况验证．结合一元二次方程根的定义、判别式的性质，判断每个说法的正误，最终确定正确结论． 【解答】解：①若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根对于ax2+c＝0，判别式Δ1＝02﹣4•a•c＝﹣4ac＞0，即﹣4ac＞0； 对于ax2+bx+c＝0，判别式Δ＝b2﹣4ac，因为b2≥0且﹣4ac＞0，所以Δ＝b2+（﹣4ac）＞0，因此方程必有两个不相等的实根，①正确．②若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0当a+b+c＝0时，x＝1是方程ax2+bx+c＝0的根，一元二次方程有实根，故判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，②正确．③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立将x＝c代入方程，得a•c2+b•c+c＝0，即c（ac+b+1）＝0．当c＝0时，等式恒成立，但ac+b+1＝b+1不一定为 0（如方程x2+x＝0，c＝0是根，但ac+b+1＝1+1＝2≠0），因此③错误．综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 14．（2026•立山区模拟）小明给Deepseek发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？Deepseek给出的答案是　 　 ． 【答案】2． 【分析】设这个数为x，根据题意，列出方程，即可求解． 【解答】解：设这个数为x， 根据题意得：x2﹣3x+4＝x， 解得x1＝x2＝2， 即Deepseek给出的答案是2， 故答案为：2． 15．（2025秋•高新区校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2025﹣x1﹣x2的值为　 　 ． 【答案】2026． 【分析】先利用根与系数的关系求出x1+x2的值，再代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：由条件可知：， ∴2025﹣x1﹣x2＝2025﹣（x1+x2）＝2025﹣（﹣1）＝2025+1＝2026， 故答案为：2026． 16．（2026•校级三模）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是　 ． 【答案】． 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此可得Δ＝（﹣3）2﹣4×2k≥0，解之即可得到答案． 【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣3）2﹣4×2k≥0， ∴， 故答案为：． 17．（2026春•亳州期末）某种无公害农产品六月份与五月份相比，价格下降20%，六月份购买500kg该种农产品与五月份购买500kg该种农产品相比少花1250元． （1）求该农产品六月份的价格； （2）预测该种农产品七、八月份的价格将上涨，八月份价格达到12.1元/kg．求该种农产品七、八两个月价格的平均增长率． 【答案】（1）10元/kg；（2）10%． 【分析】（1）设该农产品六月份的价格为x元/kg，则五月份的价格为，根据题意得出，解方程求出x的值即可得答案； （2）设这两个月该农产品价格的月平均增长率为y，利用该农产品八月份的价格＝六月份的价格×（1+y）2，得出关于y的一元二次方程，解方程取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该农产品六月份的价格为x元/kg， ∵六月份与五月份相比，价格下降20%， ∴五月份的价格为， ∴， 解得：x＝10， 答：该农产品六月份的价格为10元/kg． （2）设七、八两个月价格的平均增长率为y， ∵六月份的价格为10元/kg，八月份价格达到12.1元/kg， ∴10（1+y）2＝12.1， 解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（舍去）， ∴七、八两个月价格的月平均增长率为10%． 18．（2026春•蚌埠期末）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件． （1）若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ （2）平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由． 【答案】（1）售价应定为70元；（2）不能 【分析】（1）设每件降价2x元，根据销售这种服装平均每天盈利1000元，列出方程，解方程即可； （2）根据每天盈利达到1250元，列出方程，判断方程是否有解即可． 【解答】解：（1）设每件降价2x元，根据题意可得： （90﹣50﹣2x）（20+3x）＝1000， 解得x1＝10，， 要使顾客得到较多实惠，取x＝10，售价为90﹣20＝70元， 答：售价应定为70元． （2）当（40﹣2x）（20+3x）＝1250， 整理得：3x2﹣40x+225＝0， 判别式Δ＝（﹣40）2﹣4×3×225＝﹣1100＜0，方程无实数根， 答：平均每天盈利不能达到1250元． 19．一次会议上，每两个参加会议的人之间都要握一次手，经统计所有人一共握了66次手．则参加这次会议的有多少人？ 【答案】参加这次会议的有12人． 【分析】设参加这次会议的有x人，利用握手总次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设参加这次会议的有x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝66， 整理得：x2﹣x﹣132＝0， 解得：x1＝12，x2＝﹣11（不符合题意，舍去）． 答：参加这次会议的有12人． 20．（2026春•会泽县期末）某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． （1）设售价为x（x＞50）元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； （2）若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 【答案】（1）y＝200﹣2x（x＞50，且x为整数）； （2）售价定为70元． 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件，得出y＝200﹣2x（x＞50，且x为整数），即可作答； （2）分别表示出单件利润为（x﹣40）元，销售量为（200﹣2x）件，再结合利润＝单件利润×销售量进行列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）依题意，y＝100﹣2（x﹣50）＝200﹣2x（x＞50，且x为整数）； （2）依题意，（x﹣40）（200﹣2x）＝1800， ∴（x﹣70）2＝0， 解得 x＝70， ∴售价定为70元． 21．（2025秋•赣州校级月考）在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 【答案】南区共有6支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛． 【分析】设南区共有x支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，根据“所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛”建立方程求解即可． 【解答】解：设南区共有x支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛， 由题意得，x（x﹣1）＝30， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（舍）， 答：南区共有6支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 第二十五章　一元二次方程 学生版 一、全章知识清单 板块 1 　一元二次方程 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（次）的整式方程叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0 （a、b、c 为常数，a≠0；a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项）。 3.一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 ★ 重点　一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的 4 个必备条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为 2；④二次项系数 a≠0。 ⚠ 易错　a=0 时方程退化为 bx+c=0（一元一次方程），不再是一元二次方程；判别时必须先验证 a≠0。 ◆ 方法　整理为一般形式时，先去分母、去括号、移项、合并同类项；注意 b、c 可为 0（但 a 不可）。 ★ 注意　一元二次方程最多 2 个实数根。 ⚠ 易错　"方程无解" 与 "方程无实数根" 是不同概念：解可能在复数范围内存在；初中阶段默认在实数范围内讨论。 板块 2　　解一元二次方程 1.核心思想：降次 2.直接开方法： （1）核心思想：对于形如 x²=p的一元二次方程可通过平方根的意义直接开方。 （2）基本步骤：①二次项系数化为 1（方程两边同除以系数）；②开方求解。 ★ 重点　直接开方法的核心是平方根的意义。 ⚠ 易错　当p＞0时，方程有两个不相等的实数根；当p=0时，方程有两个相等的实数根；当p＜0时，方程无实数根。 3.配方法： （1）核心思想：把方程 ax²+bx+c=0 化为 (x+m)²=n 的形式，再两边开方求解。 （）@基本步骤：①移项（常数项移到等号右边）；②二次项系数化为 1（方程两边同除以 a）；③配方（两边加一次项系数一半的平方）；④开方求解。 ★ 重点　配方法的核心是"配完全平方式"：x²+bx → (x + b/2)² - (b/2)²，最终化为 (x+m)²=n。 ⚠ 易错　①忘记在等号两边同除以 a（必须先把二次项系数化为 1）；②配方时漏加一次项系数一半的平方；③只对右边的常数项配方，忘了对左边也加同样项。 ◆ 方法　配方变形 (x+m)² = n 后，n≥0 才能在实数范围内继续开方；n<0 时方程无实数根。 4.公式法： （1）核心思想：用配方法把 ax²+bx+c=0 （a≠0）化为的一般形式，求出求根公式的一般形式。 （2）根的判别式 Δ = b² - 4ac：Δ>0 ⟹ 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 ⟹ 两个相等的实数根；Δ<0 ⟹ 没有实数根。 （3）求根公式：当Δ≥0时，方程 ax²+bx+c=0 （a≠0）的实数根可写为。 （4）基本步骤：①将一元二次方程化成一般形式；②确定二次项系数、一次项系数、常数项；③确定根的判别式正负；④代入根据求根公式求解。 ★ 重点　求根公式，使用前提是 a≠0 且根号内 Δ=b²-4ac ≥ 0。 ⚠ 易错　①分子分母记反；②忘记 Δ<0 时无实数根；③含字母系数时未讨论a=0。 ◆ 方法　Δ=b²-4ac 是判别式：Δ>0 两不等根，Δ=0 两等根，Δ<0 无实数根；解含参字母系数的方程时，常用"先化一般式 → 代入 Δ 讨论 → 再求根"三步走。 5.因式分解法： （1）核心思想：把 ax²+bx+c=0 化为两个一次式乘积为0（ (mx+n)(px+q)=0） 的形式，再由"两个因式之积为 0 ⟺ 至少一个为 0"得根。 （2）常用分解手段：①提取公因式；②公式法（完全平方公式/ 平方差公式）；③十字相乘法（x 项系数为 1 时尤其快捷）。 （3）解法步骤：①将方程右边化为 0；②将左边因式分解；③令每个因式分别为 0，得到一元一次方程求解。 ★ 重点　因式分解法：将 ax²+bx+c=0 化为 (mx+n)(px+q)=0，由"AB=0 ⟹ A=0 或 B=0"求根。 ⚠ 易错　①右边没有化为 0（必须先移项使右边=0，再因式分解左边）；②分解后只写一个因式=0；③含字母系数时忽略"a≠0"前提。 ◆ 方法　常用手段：提公因式、平方差 (a²-b²)、完全平方 (a±b)²、十字相乘。x 项系数为 1 时十字相乘最快；系数为 2/3/-1 等简单整数时优先考虑。 板块 3　　根与系数的关系（韦达定理） 1.定理：若 x₁、x₂ 是一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的两个根，则 x₁+x₂ =，x₁·x₂ =。 2.逆定理：若两数 x₁、x₂ 满足x₁+x₂ =，x₁·x₂ =，则 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0 的两根。 3.常见应用：①不解方程求 x₁+x₂、x₁·x₂ 及对称式的值；②已知一根求另一根及方程中的参数；③构造以已知两数为根的一元二次方程；④由根的符号求参数范围。 4.判别式与韦达定理联用：根的存在性（Δ≥0）必须先判断，否则讨论无意义。 ★ 重点　若 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的两根，则 x₁+x₂ =，x₁·x₂ =。其推导过程基于公式法求出两个根。 ⚠ 易错　①使用韦达定理前必须验证 Δ≥0（否则两根不存在）；②符号易混（，）；③由"已知和与积反推原方程"时易忘记 a 的处理。 ◆ 方法　常见应用三件套：①求 x₁+x₂、x₁·x₂ 的对称式；②已知一根求另一根及参数；③求与根有关的参数范围（结合根的判别式与根的符号）。 板块 4　　实际应用 审题：明确已知量、未知量及所求量，理清数量关系。 设元：设直接未知数（一般为所求量），注意单位。 列方程：抓住等量关系，列出一元二次方程。 解方程：选择合适方法（直接开平/配/公式/因式分解）求解。 检验与作答：①检验根是否满足实际意义（正数、整数、是否在定义域内等）；②写出完整答案。 ★ 重点　五步走：①审题（明已知/未知/所求）→ ②设元（设所求量为 x）→ ③列方程（找等量关系）→ ④解方程（配/公式/因式）→ ⑤检验与作答（检验实际意义）。 ⚠ 易错　列方程后未化"一般式"或未把右边化为 0 就用因式分解法；解出根后未代入实际背景检验（负数、超界、非整等）。 ◆ 方法　列方程的关键是找等量关系：把未知量用 x 表示后，其余量用含 x 的代数式表达，再列等式。 二、综合训练 1．（2026•南充模拟）一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D． 2．（2026•钦北区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．2 D．﹣2 3．一元二次方程x2﹣1＝3x的常数项是﹣1，则二次项和一次项分别是（　　） A．x2和3x B．x2和﹣3x C．1和﹣3 D．1和3 4．（2025秋•吴江区校级月考）方程x（3﹣x）＝0的根是（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3 5．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①x2﹣2xy+1＝0； ②0； ③3x22＝0； ④x（x+3）＝x2﹣1； ⑤x2＝6； ⑥x3﹣x+4＝0． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026春•长兴县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣1）（mx+2）＝0是倍根方程，则m＝﹣1； ③若p、q满足pq＝8，则关于x的方程px2﹣6x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 7．（2026•通州区一模）已知关于x的方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 8．（2026•六安一模）已知关于x的一元二次方程x2+2ax＝2（a﹣1）．若x1，x2是该方程不相等的两个实数根，如果，那么a的值为（　　） A．2或﹣4 B．﹣2或4 C．3或﹣4 D．﹣3或4 9．（2026春•城区校级期末）关于x的方程x2+2x﹣3k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 ． 10．（2026春•台州期中）若是方程x4+ax2+b＝0的两根，则关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根分别是 　 ． 11．（2026•溧阳市校级模拟）已知：一元二次方程x2﹣8x+d＝0（d为常数）有一个根为3，则另一根为　 　 ． 12．（2026•淄川区一模）若关于x的方程x2﹣x﹣n＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是 　 ． 13．（2026春•东阳市月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ②若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立． 其中正确的有 　 ． 14．（2026•立山区模拟）小明给Deepseek发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？Deepseek给出的答案是　 　 ． 15．（2025秋•高新区校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2025﹣x1﹣x2的值为　 　 ． 16．（2026•校级三模）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是　 ． 17．（2026春•亳州期末）某种无公害农产品六月份与五月份相比，价格下降20%，六月份购买500kg该种农产品与五月份购买500kg该种农产品相比少花1250元． （1）求该农产品六月份的价格； （2）预测该种农产品七、八月份的价格将上涨，八月份价格达到12.1元/kg．求该种农产品七、八两个月价格的平均增长率． 18．（2026春•蚌埠期末）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件． （1）若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ （2）平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由． 19．一次会议上，每两个参加会议的人之间都要握一次手，经统计所有人一共握了66次手．则参加这次会议的有多少人？ 20．（2026春•会泽县期末）某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． （1）设售价为x（x＞50）元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； （2）若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 21．（2025秋•赣州校级月考）在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $