第二十五章 一元二次方程 ——十字相乘法讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版·九年级上册·第二十一章 一元二次方程 十字相乘法解一元二次方程 ——因式分解法的核心技巧 一、知识要点 知识点1：十字相乘法的基本原理 对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0），如果能将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，即 ax² + bx + c = (px + q)(rx + s)，则由零因律（两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式等于0），可得 px + q = 0 或 rx + s = 0，从而求出方程的两个根。 十字相乘法的核心：找两数，使其积等于常数项 c（当 a=1 时），或积等于 ac（当 a≠1 时），和等于一次项系数 b。 知识点2：二次项系数为1的情形（a = 1） 当 a = 1 时，方程为 x² + bx + c = 0。 步骤：找两个数 m、n，使得 m × n = c（积等于常数项），m + n = b（和等于一次项系数）。 则 x² + bx + c = (x + m)(x + n) = 0，解得 x₁ = −m，x₂ = −n。 💡 快速判断：c > 0 → m、n 同号（与 b 同号）；c < 0 → m、n 异号。 知识点3：二次项系数不为1的情形（a ≠ 1） 当 a ≠ 1 时，方程为 ax² + bx + c = 0，需使用十字交叉法。 步骤： ● 将二次项系数 a 分解为 a₁ × a₂，常数项 c 分解为 c₁ × c₂； ● 交叉相乘：计算 a₁c₂ + a₂c₁； ● 若 a₁c₂ + a₂c₁ = b，则分解成功：ax² + bx + c = (a₁x + c₁)(a₂x + c₂)； ● 由零因律：a₁x + c₁ = 0 或 a₂x + c₂ = 0，求出两个根。 知识点4：使用十字相乘法的注意事项 ● 首项系数为负：先把方程两边同乘 −1，使二次项系数变为正数，再进行十字相乘。 ● 有公因数先提取：若各项有公因数，先提取公因数后再分解。 ● 整理为标准形式：移项整理为 ax² + bx + c = 0（a > 0）后，再使用十字相乘法。 ● 解完必须验根：将求得的根代入原方程，验证等式两边是否相等。 ● 不是所有方程都能用十字相乘法：当无法找到合适的整数分解时，需改用公式法或配方法。 二、典型例题 【基础】 基础例题 ——二次项系数为1的十字相乘法 例1 解方程：x² + 5x + 6 = 0 【分析】a = 1，c = 6，b = 5。找两个数，积为 6，和为 5。 【解】因为 2 × 3 = 6，2 + 3 = 5， 所以 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0 由零因律：x + 2 = 0 或 x + 3 = 0 ∴ x₁ = −2，x₂ = −3 【验根】x₁ = −2：(−2)² + 5×(−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓ x₂ = −3：(−3)² + 5×(−3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓ 例2 解方程：x² − 7x + 12 = 0 【分析】a = 1，c = 12 > 0，b = −7 < 0 → 两个数同负。积为 12，和为 −7。 【解】因为 (−3) × (−4) = 12，(−3) + (−4) = −7， 所以 x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0 ∴ x₁ = 3，x₂ = 4 【验根】3² − 7×3 + 12 = 9 − 21 + 12 = 0 ✓；4² − 7×4 + 12 = 16 − 28 + 12 = 0 ✓ 例3 解方程：x² + 2x − 15 = 0 【分析】c = −15 < 0 → 两个数异号。积为 −15，和为 2。 【解】因为 (−3) × 5 = −15，(−3) + 5 = 2， 所以 x² + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5) = 0 ∴ x₁ = 3，x₂ = −5 【验根】3² + 2×3 − 15 = 9 + 6 − 15 = 0 ✓；(−5)² + 2×(−5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 ✓ 例4 解方程：x² − 6x + 9 = 0 【分析】c = 9 > 0，b = −6 < 0 → 两个数同负。积为 9，和为 −6。 【解】因为 (−3) × (−3) = 9，(−3) + (−3) = −6， 所以 x² − 6x + 9 = (x − 3)² = 0 ∴ x₁ = x₂ = 3（方程有两个相等的实数根，即重根） 【验根】3² − 6×3 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0 ✓ 提高例题 ——二次项系数不为1的十字相乘法 例5 解方程：2x² + 7x + 3 = 0 【分析】a = 2，c = 3。分解 a：2 = 2×1；分解 c：3 = 1×3。 交叉验证：2×3 + 1×1 = 6 + 1 = 7 = b ✓ 【解】2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) = 0 ∴ 2x + 1 = 0 或 x + 3 = 0 ∴ x₁ = ，x₂ = −3 【验根】x₁ = ：2× + 7×() + 3 = − + 3 = 0 ✓ x₂ = −3：2×9 + 7×(−3) + 3 = 18 − 21 + 3 = 0 ✓ 例6 解方程：3x² − 10x + 3 = 0 【分析】a = 3，c = 3。分解 a：3 = 3×1；分解 c：3 = (−1)×(−3)。 交叉验证：3×(−3) + 1×(−1) = −9 − 1 = −10 = b ✓ 【解】3x² − 10x + 3 = (3x − 1)(x − 3) = 0 ∴ 3x − 1 = 0 或 x − 3 = 0 ∴ x₁ = ，x₂ = 3 【验根】x₁=：3× − 10× + 3 = − + 3 = 0 ✓； x₂=3：27 − 30 + 3 = 0 ✓ 例7 解方程：3x² + 8x − 3 = 0 【分析】a = 3，c = −3。分解 a：3 = 3×1；分解 c：−3 = 1×(−3) 或 (−1)×3。 尝试 3×(−3) + 1×1 = −9 + 1 = −8 ≠ 8，不符。 尝试 3×1 + 1×(−3) = 3 − 3 = 0 ≠ 8，不符。 尝试 3×3 + 1×(−1) = 9 − 1 = 8 = b ✓ 【解】3x² + 8x − 3 = (3x − 1)(x + 3) = 0 ∴ x₁ = ，x₂ = −3 【验根】：3× + 8× − 3 = + − 3 = 0 ✓；−3：27 − 24 − 3 = 0 ✓ 例8 解方程：−x² + 5x − 6 = 0 【分析】首项系数为负，先变号。方程两边同乘 −1：x² − 5x + 6 = 0 【解】找两个数，积为 6，和为 −5。因为 (−2)×(−3) = 6，(−2)+(−3) = −5， 所以 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 ∴ x₁ = 2，x₂ = 3 【验根】代入原方程 −x² + 5x − 6：x=2 时 −4+10−6 = 0 ✓；x=3 时 −9+15−6 = 0 ✓ 例9 解方程：2x² − 4x + 2 = 0 【分析】各项有公因数 2，先提取。2x² − 4x + 2 = 2(x² − 2x + 1) = 0 【解】即 x² − 2x + 1 = 0 找两个数，积为 1，和为 −2。因为 (−1)×(−1) = 1，(−1)+(−1) = −2， 所以 x² − 2x + 1 = (x − 1)² = 0 ∴ x₁ = x₂ = 1（重根） 【验根】2×1² − 4×1 + 2 = 2 − 4 + 2 = 0 ✓ 拓展例题 ——换元法与十字相乘法的综合应用 例10 解方程：(x + 2)² − 5(x + 2) + 6 = 0 【分析】含 (x+2) 的整体结构，用换元法。 【解】设 t = x + 2，原方程化为 t² − 5t + 6 = 0 找两个数，积为 6，和为 −5：(−2) 和 (−3) 所以 (t − 2)(t − 3) = 0，t = 2 或 t = 3 当 t = 2 时，x + 2 = 2，x = 0 当 t = 3 时，x + 2 = 3，x = 1 ∴ x₁ = 0，x₂ = 1 【验根】x=0：4 − 10 + 6 = 0 ✓；x=1：9 − 15 + 6 = 0 ✓ 三、练习题 A组·基础练习 ——用十字相乘法解下列方程（二次项系数为1） 1. x² + 6x + 8 = 0 2. x² − 5x + 6 = 0 3. x² + 3x − 10 = 0 4. x² − 4x + 4 = 0 5. x² − 9 = 0 B组·提高练习 ——用十字相乘法解下列方程（二次项系数不为1） 6. 2x² + 5x + 3 = 0 7. 3x² − 7x + 2 = 0 8. 5x² + 8x + 3 = 0 9. −x² + 4x − 3 = 0 10. 2x² − 8x + 6 = 0 C组·拓展练习 ——综合运用 11. −2x² + 5x − 3 = 0 12. 4x² − 12x + 9 = 0 13. (x − 1)² − 2(x − 1) − 15 = 0（换元法） 14. x² − (a + 1)x + a = 0（用含 a 的式子表示根） 四、参考答案 A组 1. x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) = 0，∴ x₁ = −2，x₂ = −4 2. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0，∴ x₁ = 2，x₂ = 3 3. x² + 3x − 10 = (x − 2)(x + 5) = 0，∴ x₁ = 2，x₂ = −5 4. x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0，∴ x₁ = x₂ = 2 5. x² − 9 = (x + 3)(x − 3) = 0，∴ x₁ = −3，x₂ = 3 B组 6. 2x² + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1) = 0，∴ x₁ = ，x₂ = −1 7. 3x² − 7x + 2 = (3x − 1)(x − 2) = 0，∴ x₁ =，x₂ = 2 8. 5x² + 8x + 3 = (5x + 3)(x + 1) = 0，∴ x₁ =，x₂ = −1 9. 两边同乘−1：x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = 0，∴ x₁ = 1，x₂ = 3 10. 提取2：2(x² − 4x + 3) = 2(x − 1)(x − 3) = 0，∴ x₁ = 1，x₂ = 3 C组 11. 两边同乘−1：2x² − 5x + 3 = (2x − 3)(x − 1) = 0，∴ x₁ = ，x₂ = 1 12. 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)² = 0，∴ x₁ = x₂ = 13. 设 t = x − 1，t² − 2t − 15 = (t − 5)(t + 3) = 0，t = 5 或 t = −3，∴ x = 6 或 x = −2 14. 找两个数积为 a，和为 −(a+1)：即 −1 和 −a。∴ (x − 1)(x − a) = 0，∴ x₁ = 1，x₂ = a 五、小结与易错点 本节小结 ● 十字相乘法是因式分解法中最重要的技巧，适用于能分解为整系数因式的一元二次方程。 ● a = 1 时：找两数，积 = c，和 = b。 ● a ≠ 1 时：分解 a 和 c，交叉验证 a₁c₂ + a₂c₁ = b。 ● 换元法可以将复杂方程转化为基础形式，降低解题难度。 易错警示 ● 首项系数为负时忘记变号——必须先乘 −1 使首项系数为正。 ● 有公因数时忘记先提取——如 2x²−4x+2 应先提取 2 再分解。 ● 分解时符号出错——常数项为正时两数同号，常数项为负时两数异号。 ● 十字交叉验证时搞混位置——牢记 a₁c₂ + a₂c₁ = b，不要搞反。 ● 忘记验根——养成代入原方程验算的好习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $