26.1 二次函数的概念（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数概念核心知识点，系统梳理定义（形如y=ax²+bx+c，a≠0）、各项名称及判断方法，通过思维导图构建与一次函数、正比例函数的联系，为后续图像性质学习搭建支架。 资料以分题型设计为亮点，含识别、求参数等七类题型，解题贴士明确步骤（如求参数“先定次数再卡系数”），结合销售利润、几何问题等实际案例，培养抽象能力、推理意识和模型观念，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 课标要点 1.理解二次函数定义：形如是常数，的函数叫做二次函数，其中x是自变量； 2.分清各项名称：为二次项系数，为一次项系数，为常数项；重点牢记二次项系数可以为0； 3.会判断一个函数是否为二次函数：先化为整式一般形式，看最高次数为2，且二次项系数不为0。 4.能根据实际问题列二次函数解析式，注意实际问题中自变量x的取值范围。 学习重难点 重点： 1.牢记二次函数一般形式，抓住核心条件。 2.识别二次项、一次项、常数项，准确读出对应系数。 3.辨析二次函数，区分二次函数、一次函数、正比例函数。 难点： 1.忽略这个前提，当题目含参数时，既要保证最高次数是2，同时二次项系数不能等于0。 2.函数没有整理化简就直接判断是不是二次函数，要先化成整式一般形式再判断。 3.实际应用问题，容易漏掉自变量的实际取值范围。 知识点二次函数的概念 1.二次函数定义 一般地，形如(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，x是自变量。 2.各项名称 ①a：二次项系数，a≠0是二次函数必不可少的条件 ②b：一次项系数 ③c：常数项 随学随练 1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 4．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为，是的函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为，是的函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为，是的函数． 拓展根据几何变化写二次函数关系式（常考） 题型特征：几何图形边长增加/减少，求周长、面积关于变化量c的函数，判断是一次还是二次函数。 1.写出新的边长 原边长±变化量，把新的长、宽用含x代数式表示。 2.套用几何公式 ·周长：，周长展开后不会出现x²项，一般是一次函数。 ·面积：S=长×宽，两个含x式子相乘会出现x²,一般是二次函数。 3.整理化成标准形式 ：一次函数；才是正比例函数； ：二次函数。 活学活用 1．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 题型一 二次函数的识别-关系式 解题贴士 一般地，形如，的函数叫做二次函数。 关键点： ①自变量最高次数是2次； ②二次项系数 ③等式右边是整式(分母、根号里面不能含有x); ④b、c可以等于0。 ▌例1（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 二次函数的识别-文字叙述 ▌例2（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ ▌对点练2-1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x ▌对点练2-2．（25-26九年级上·浙江·单元复习）下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 题型三 根据二次函数的定义求参数的值 解题贴士 标准解题思路(固定两步法) 步骤1：根据“最高次数=2”列方程，解出参数所有候选解 看x右上角的指数，令指数=2，解方程，得到参数的可能取值。 步骤2：根据“二次项系数≠0”进行取舍 把上面算出来的每一个解，代入二次项系数； 如果代入后系数等于0，这个解要舍去；系数不等于0才保留。 口诀：先定次数，再卡系数；算完一定要检验系数! ▌例3（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． ▌对点练3-1．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）若是二次函数，则的值为______． 题型四 列二次函数解析式-销售利润问题 解题贴士 第1步：设未知数 两种常见设元方式： 方式①：设每件涨价(或降价)x元(中考最常用) 方式②：设每件售价为x元 优先选①：涨价/降价为x,列式简单，不容易出错。 第2步：翻译题目，写出两个代数式 ①单件利润：原来每件利润±变化的钱 涨价x元：单件利润=原单件利润+x 降价x元：单件利润=原单件利润—x ②销售量：涨价卖得少，降价卖得多 涨价x元，每涨1元，少卖多少件：销售量=原销售量一每涨1元减少销量·x 降价x元，每降1元，多卖多少件：销售量=原销售量+每降1元增加销量·x 关键点：涨价→销量减；降价→销量加。不要搞反加减! 第3步：总利润=单件利润×销售量，列出关系式 W=(单件利润)(销售量) 展开、合并同类项，得到W=ax²+bx+c,就是二次函数解析式。 第4步：写出自变量x实际取值范围(大题必写) 要满足现实： 1.单件利润不能是负数； 2.销售量不能是负数；解不等式，得到x的取值。 ▌例4 （25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． ▌对点练4-1．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． ▌对点练4-2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 题型五 列二次函数解析式-增长率问题 解题贴士 ①连续两次增长 设初始基数为,平均增长率为,两次之后的总量为。 第一次增长后： 连续增长两次后： 展开整理：，属于二次函数。 ②连续两次下降 基数为,平均下降率为,两次之后总量为。 展开整理： ▌例5（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是______． ▌对点练5-2．（2025九年级·全国·专题练习）报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 题型六 列二次函数解析式-几何问题 ▌例6（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（） A． B． C． D． ▌对点练6-1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-2．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． ▌对点练6-3．（2025九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 题型七 二次函数的识别解答题综合 ▌例7（2026·河南周口·二模）某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨元，物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元．经市场调研：当售价定为每吨元时，每日可售出吨；售价每提高元，每日销量减少吨．设每吨售价提高元． (1)写出每日销售量与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少? ▌对点练7-1．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ ▌对点练7-2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 基础通关 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 5．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 7．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______． 8．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 10．（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，一块直角三角形铁皮，,现要从这块铁皮上剪出一个矩形，且满足点D，E，F分别在上． (1)设，请用含x的代数式表示矩形的面积S． (2)当剪出的矩形面积最大时，求的长以及矩形面积． 素养提升 1．（2025·辽宁·一模）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京朝阳·期末）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 3．（2025九年级·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 5．（2026·云南楚雄·二模）如图，在中，，．点D在边上，线段交于M，连接，． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)若D为的中点，四边形是平行四边形，，试求出四边形的面积与的函数关系式． 6．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）春节时，家家户户挂红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼已成为我国的一种传统文化．某超市在春节前购进一批成本为30元/对的灯笼，经市场调查发现，若灯笼每对售价40元时，每天可售出120对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对72元，设灯笼每对涨价元，超市一天售出灯笼获得利润元． (1)求与之间的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 7．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，风筝的骨架由3条竹棒组成，其中E，F分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： (1)设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（），求s关于x的函数关系式； (2)在图3中画出（1）中s关于x的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 迁移创新 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示： 年度 2017 2018 2019 2020 2021 年度纯收入（万元） 若记2017年度为第1年度，2018年度为第2年度，……，在直角坐标系中用点表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2017年度开始的年度纯收入变化趋势：，，，以便估算甲农户2022年度的纯收入． (1)能否选用函数进行模拟？请说明理由； (2)你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由； (3)甲农户准备在2022年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农户2022年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求． 2．（25-26九年级上·吉林·期末）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出与，与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则，两点间的距离为________． 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 课标要点 1.理解二次函数定义：形如是常数，的函数叫做二次函数，其中x是自变量； 2.分清各项名称：为二次项系数，为一次项系数，为常数项；重点牢记二次项系数可以为0； 3.会判断一个函数是否为二次函数：先化为整式一般形式，看最高次数为2，且二次项系数不为0。 4.能根据实际问题列二次函数解析式，注意实际问题中自变量x的取值范围。 学习重难点 重点： 1.牢记二次函数一般形式，抓住核心条件。 2.识别二次项、一次项、常数项，准确读出对应系数。 3.辨析二次函数，区分二次函数、一次函数、正比例函数。 难点： 1.忽略这个前提，当题目含参数时，既要保证最高次数是2，同时二次项系数不能等于0。 2.函数没有整理化简就直接判断是不是二次函数，要先化成整式一般形式再判断。 3.实际应用问题，容易漏掉自变量的实际取值范围。 知识点二次函数的概念 1.二次函数定义 一般地，形如(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，x是自变量。 2.各项名称 ①a：二次项系数，a≠0是二次函数必不可少的条件 ②b：一次项系数 ③c：常数项 注：b、c可以等于0，只有a绝对不能为0。 随学随练 1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如(a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【答案】0或 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 4．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为，是的函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为，是的函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为，是的函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 拓展根据几何变化写二次函数关系式（常考） 题型特征：几何图形边长增加/减少，求周长、面积关于变化量c的函数，判断是一次还是二次函数。 1.写出新的边长 原边长±变化量，把新的长、宽用含x代数式表示。 2.套用几何公式 ·周长：，周长展开后不会出现x²项，一般是一次函数。 ·面积：S=长×宽，两个含x式子相乘会出现x²,一般是二次函数。 3.整理化成标准形式 ：一次函数；才是正比例函数； ：二次函数。 活学活用 1．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分别根据题意得，即可得与满足的函数关系． 【详解】解：矩形的面积为，线段的长为，的长为， ， ， 正方形的面积为， ， 与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系， 故选：． 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 题型一 二次函数的识别-关系式 解题贴士 一般地，形如，的函数叫做二次函数。 关键点： ①自变量最高次数是2次； ②二次项系数 ③等式右边是整式(分母、根号里面不能含有x); ④b、c可以等于0。 ▌例1（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． ▌对点练1-1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（、、为常数，）的整式函数为二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．将展开得，符合二次函数定义，是二次函数； B．当时，是一次函数，故该函数不一定是二次函数； C．是一次函数，不符合二次函数定义 D．中含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选A． 题型二 二次函数的识别-文字叙述 ▌例2（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：①由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ②由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． ▌对点练2-1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如(a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． ▌对点练2-2．（25-26九年级上·浙江·单元复习）下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A．关系式为：，故A错误； B．关系式为：，故B错误； C．关系式为：，故C错误； D．关系式为：，故D正确． 故选：D． 题型三 根据二次函数的定义求参数的值 解题贴士 标准解题思路(固定两步法) 步骤1：根据“最高次数=2”列方程，解出参数所有候选解 看x右上角的指数，令指数=2，解方程，得到参数的可能取值。 步骤2：根据“二次项系数≠0”进行取舍 把上面算出来的每一个解，代入二次项系数； 如果代入后系数等于0，这个解要舍去；系数不等于0才保留。 口诀：先定次数，再卡系数；算完一定要检验系数! ▌例3（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. ▌对点练3-1．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 题型四 列二次函数解析式-销售利润问题 解题贴士 第1步：设未知数 两种常见设元方式： 方式①：设每件涨价(或降价)x元(中考最常用) 方式②：设每件售价为x元 优先选①：涨价/降价为x,列式简单，不容易出错。 第2步：翻译题目，写出两个代数式 ①单件利润：原来每件利润±变化的钱 涨价x元：单件利润=原单件利润+x 降价x元：单件利润=原单件利润—x ②销售量：涨价卖得少，降价卖得多 涨价x元，每涨1元，少卖多少件：销售量=原销售量一每涨1元减少销量·x 降价x元，每降1元，多卖多少件：销售量=原销售量+每降1元增加销量·x 关键点：涨价→销量减；降价→销量加。不要搞反加减! 第3步：总利润=单件利润×销售量，列出关系式 W=(单件利润)(销售量) 展开、合并同类项，得到W=ax²+bx+c,就是二次函数解析式。 第4步：写出自变量x实际取值范围(大题必写) 要满足现实： 1.单件利润不能是负数； 2.销售量不能是负数；解不等式，得到x的取值。 ▌例4 （25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， ▌对点练4-1．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． ▌对点练4-2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】(1)； (2) (3)销售单价应为元 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）根据题意列出关系式即可； （3）将代入（2）中的关系式，解方程求出的值，并根据题意进行取舍． 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价定为每千克55元，月销售量为（千克）， 月利润为（元）； （2）解：根据题意可得，； （3）解：将代入，得， ， 整理，得， 解得，， 当时，月销售量为（千克）； 当时，月销售量为（千克）； ∵， 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：销售单价应为元． 题型五 列二次函数解析式-增长率问题 解题贴士 ①连续两次增长 设初始基数为,平均增长率为,两次之后的总量为。 第一次增长后： 连续增长两次后： 展开整理：，属于二次函数。 ②连续两次下降 基数为,平均下降率为,两次之后总量为。 展开整理： ▌例5（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故答案为：． ▌对点练5-2．（2025九年级·全国·专题练习）报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数的关系式，掌握年均增长率下的增长公式，通过逐年推导得出函数关系式是解题的关键． 根据增长率模型，从初始值经过两年增长，利用年均增长率公式求解． 【详解】解：年收入为亿美元，年均增长率为， 年收入为亿美元， 年收入为亿美元， 因此与之间的函数关系式为． 故答案为：． 题型六 列二次函数解析式-几何问题 ▌例6（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． ▌对点练6-1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． ▌对点练6-2．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． ▌对点练6-3．（2025九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 题型七二次函数的识别解答题综合 ▌例7（2026·河南周口·二模）某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨元，物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元．经市场调研：当售价定为每吨元时，每日可售出吨；售价每提高元，每日销量减少吨．设每吨售价提高元． (1)写出每日销售量与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)（且为整数） (2)当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）先根据“每提高元，销量减少吨”，写出销量关于的表达式为；再根据“售价不低于进价不高于元”结合“表示售价提高的次数”确定的取值范围即可； （2）设每日销售利润为元，根据“总利润=单吨利润×销量”得到利润的二次函数表达式；再利用二次函数的对称轴公式找到顶点横坐标，验证其在的取值范围内后，代入求得最大利润和对应售价即可． 【详解】（1）解：∵当每吨售价提高元时，每日销量减少吨，原销量为吨， ∴每日销售量与之间的函数关系式为：； ∵物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元， ∴，解得， ∵表示售价提高的次数， ∴且为整数， ∴的取值范围为：且为整数； 综上，函数关系式为：（且为整数）； （2）解：设每日销售利润为元， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴为，满足且为整数， ∴当时，， 元． 答：当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元． ▌对点练7-1．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)应将价格定为元/千克 【分析】（1）利用利润＝（售价-成本）×销售量可得出关于的函数关系式； （2）令，求出的值，再根据题意对的值进行取舍即可． 【详解】（1）解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝千克， ， 整理得； （2）解：令，代入函数表达式得：， 解得：， 要让顾客得到实惠，售价应尽可能低， ∴， ∴此时荔枝定价为（元/千克）． 答：应将价格定为元/千克． ▌对点练7-2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 【答案】(1) (2) (3)绿化带的面积最大时，边长为 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，掌握根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据意义可知，根据矩形面积公式，即可列出函数解析式，根据的长不超过墙长，即可得到自变量x的取值范围； （2）将代入（1）中的解析式，解方程，即可求解； （3）把（1）中的函数解析式用配方法化简，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据意义可知， 则． （2）解：令，得， 化简得， 解得，（不合题意舍去）， 当绿化带的面积为时，边长为． （3）解：， ， 函数开口向下， 又， 当时，面积y有最大值． 答：绿化带的面积最大时，边长为． 基础通关 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 3．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 4．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时的条件求出常数，再代入计算的值． 【详解】∵，且当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴． 故选：C． 5．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查二次函数的应用，根据题意得出R和t为常数，且均大于0，即可求解． 【详解】解：∵定值电阻R，限定时间t， ∴R和t为常数，且均大于0， ∴为二次函数，开口向上，， 故选：B． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数，正方形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据面积增加的定义，等于新正方形面积减去原正方形面积 【详解】解：原正方形边长为，面积为． 边长增加后，新边长为，新面积为． 因此，面积增加，即． ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 9．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 10．（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数,再利用二次函数的性质结合为整数的条件,求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：（且为整数）； （2）解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，一块直角三角形铁皮，,现要从这块铁皮上剪出一个矩形，且满足点D，E，F分别在上． (1)设，请用含x的代数式表示矩形的面积S． (2)当剪出的矩形面积最大时，求的长以及矩形面积． 【答案】(1)； (2)当，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 【分析】熟练掌握二次函数的最值，勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形性质，直角三角形性质，以及勾股定理求出，进而求出，再结合矩形的面积公式求解，即可解题； （2）根据二次函数的最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 则， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴． ∴矩形的面积； （2）解：∵矩形的面积； ∴当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 素养提升 1．（2025·辽宁·一模）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，由图ⅰ可知时，，将代入各项函数解析式中求解并判断，即可解题． 【详解】解：由图ⅰ可知时，， 时，，，， 选项A、C、D不是与的函数关系式，不符合题意； 时，， 选项B是与的函数关系式， 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京朝阳·期末）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出与，与的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为，即扇形的弧长； 圆锥的侧面积，即扇形的面积， 所以是的一次函数，是的二次函数， 故选：C． 3．（2025九年级·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 【答案】10或11 【分析】本题考查了二次函数的概念和三角形三边关系，根据二次函数的特点，得到，且，求得后，再根据三角形三边关系确定三角形周长． 【详解】解：由题意，得，且， 由得， 解得，， ∵， ∴， ． ①若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为； ②若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 5．（2026·云南楚雄·二模）如图，在中，，．点D在边上，线段交于M，连接，． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)若D为的中点，四边形是平行四边形，，试求出四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形内角和得到，根据垂线的定义得到，可知，根据可知四边形是平行四边形； （2）先证明是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，进而可知平行四边形是菱形，得到，根据三角函数得到，根据菱形面积公式即可求出与的函数关系式． 【详解】（1）证明：中，，， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形 （2）解：中，，， ， 是直角三角形， 为的中点， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形 ， 中，， ， 四边形的面积y与x的函数关系式为． 6．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）春节时，家家户户挂红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼已成为我国的一种传统文化．某超市在春节前购进一批成本为30元/对的灯笼，经市场调查发现，若灯笼每对售价40元时，每天可售出120对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对72元，设灯笼每对涨价元，超市一天售出灯笼获得利润元． (1)求与之间的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当时，一天获得利润最大，最大利润是2450元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，找准关系，列出关系式是解题的关键． （1）根据题意，每对涨价x元，则售价为元，每天可售出，再由利润=每对的利润×销售量即可求解； （2）由二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：若灯笼每对售价40元时，每天可售出120对，售价每提高1元，则每天少售出2对． 设灯笼每对涨价元，则售价为元，每天可售出对， 所以利润； （2）解：由（1）知， ， 为关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为， 时，取得最大值，最大值， 答：当时，一天获得利润最大，最大利润是2450元． 7．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，风筝的骨架由3条竹棒组成，其中E，F分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： (1)设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（），求s关于x的函数关系式； (2)在图3中画出（1）中s关于x的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 【答案】(1) (2) 函数的图象，如图即为所求； (3) 【分析】（1）根据题意可知是的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可； （3）根据筝面的面积为，即，求出x的值，结合骨架长度必须大于长度且筝面的面积超过确定x的值可得． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴是的垂直平分线， ∵E，F分别是和的中点， ∴， 设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（）， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）（）， ∴当时，s取最大值675； 当时，得：， 解得： （3）当时，， 解得或48， 由得，， 解得， ∴当时，筝面的面积超过． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的几何应用，垂直平分线的性质，画二次函数图象，求二次函数的值，结合题意列出方程根据长度间关系取舍是解答本题的关键． 迁移创新 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示： 年度 2017 2018 2019 2020 2021 年度纯收入（万元） 若记2017年度为第1年度，2018年度为第2年度，……，在直角坐标系中用点表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2017年度开始的年度纯收入变化趋势：，，，以便估算甲农户2022年度的纯收入． (1)能否选用函数进行模拟？请说明理由； (2)你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由； (3)甲农户准备在2022年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农户2022年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求． 【答案】(1) 不能选用函数进行模拟，理由如下： ∵， ∴， 即的乘积不确定， ∴不能选用函数进行模拟； (2) 选用，理由如下， 由（1）可知不能选用函数， 由可知， x每增大1个单位，y的变化不均匀， ∴不能选用函数， 故只能选用函数模拟； (3)能满足 【分析】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的函数值问题．本题解题的关键是熟练判断出图象符合的函数种类，要求学生牢记各类函数图象的特征并能与实际题目结合应用． （1）计算后判断即可； （2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理； （3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2022年即第6年度的纯收入y万元，然后比较可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：把代入， 得：， 解得：， ∴， 当年度为2022即时，， ∵， ∴甲农户2022年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求． 2．（25-26九年级上·吉林·期末）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出与，与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则，两点间的距离为________． 【答案】(1) 图象如图所示， ①一次；②二次 (2)，当时，；，当时， (3)65 【分析】（1）描出图象后，根据图象判断函数关系即可； （2）使用待定系数法求出解析式，并代入一组数据进行验证； （3）用（2）中的二次函数模型计算出小球运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即得结果． 【详解】（1）解：①由图2可知，与近似一次函数； ②与近似二次函数． 故答案为：一次；二次． （2）解：设， 将，；，代入，得， ， 解得， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致； 设， 将，；，；，代入，得， ， 解得，， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致． （3）解：由（2）可知，， 当时，，即小球运动了， 同一时间，电动小车运动的路程为， ∴，两点间的距离为． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键． 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $