26.4实际问题与二次函数第2课时 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在销售问题中的应用，课堂导入通过复习总价、单价、数量及利润相关关系，搭建从基础数量关系到实际问题建模的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点是以商品定价、电商助农等实际问题为载体，引导学生用数学眼光抽象函数模型，通过分情况讨论和区间最值求解培养数学思维，用规范表达式和顶点式分析强化数学语言。实例贴近生活，助力学生发展应用意识，教师可借助结构化流程提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 课时2 能根据销售问题中的数量关系确定二次函数解析式，并能结合实际意义确定自变量的取值范围，在自变量范围内确定实际问题的最值，发展应用意识. 学习目标 2 复习 利润问题几个量之间的关系： 1.总价、单价、数量的关系： 2.利润、售价、进价的关系： 3.总利润、单件利润、数量的关系： 总价＝单价×数量 利润＝售价－进价 总利润＝单件利润×数量 课堂导入 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况. (1) 设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润 y 随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式. 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 每件涨价x元时，每星期少卖_____件，实际卖出_________件， 销售额为________________元，买进商品需付______________元． 因此，所得利润________________________________， 即 ， 其中，______________________. 10x (300-10x) (60+x)(300-10x) 40(300－10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) y＝－10x2＋100x＋6 000 0≤x≤30，x 为整数 由于每涨价1元，每星期要少卖出10件，而每星期可卖出300件，因此最多涨价30元. 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 根据上面的函数，填空： 当x＝______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元， 即定价_____元时，利润最大，最大利润是___________． y＝－10x2＋100x＋6 000 ＝－10(x-5)2+6 250. 5 5 65 6 250元 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 解：设降价x′元时利润最大，则每星期可多卖20x′件，实际卖出(300+20x′)件， 每星期售出商品的利润y′=(60-40-x′)(300+20x′)， 即 y′=-20x′2+100x′+6 000=-20(x′-2.5)2+6 125，其中0≤ x′ ≤20， x′ 为整数， ∵ x′为整数， ∴在降价2元或3元,即定价58元或57元时,利润最大,最大利润是6 120元. 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论求解． 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 思考：由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ 综合上述两种情况，可知定价65元时，利润最大. 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 某电商平台助力乡村振兴，采购某村甲品种优质农产品进行销售，将所得全部利润用于资助该村基础建设，打造美丽乡村. 具体销售相关信息梳理如下表： 例1 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 解：设该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润为w元， 当22≤x≤30时，w=(x-18-2)y=(x-20)(-x+70)=-x2+90x-1 400=-(x-45)2+625. ∵ -1<0,对称轴为直线x=45, ∴ 当x<45时，w随x的增大而增大. ∵ 22≤x≤30， ∴当x=30时，w取得最大值，w最大值=-(30-45)2+625=400. 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售量 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售量 当30<x≤45时，w=(x-18-2)y=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2 000=-2(x-35)2+450. ∵ -2<0，对称轴为直线x=35，30<x≤45， ∴当x=35时，w取得最大值，w最大值=450. ∵ 450>400, ∴当销售价格定为35元/kg时，每天获得的销售利润最大，最大利润是450元. 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 1. 旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2 100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 解：设旅行团的人数为x,旅行社可获得的营业额为W元. 当0≤x≤20时，W=2 100x. ∵W随x的增大而增大， ∴当x=20时，W取得最大值，最大值为42 000； 当x>20时，W=[-30(x-20)+2 100]x=-30(x-45)2+60 750, ∴当x=45时，W取得最大值，最大值为60 750. ∵60 750>42 000, ∴当x=45时，W取得最大值60 750. 答：当旅行团的人数为45时，旅行社可获得最大营业额，最大营业额是60 750元. 随堂练习 2. 生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元.预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 解：设该商品的产量为x件，生产这种商品的利润为W元. 根据题意，得W=(50-10﹣)x-500=﹣(x-160)2+2 700. ∵50-10﹣>0，∴0<x<320. ∵﹣<0, ∴当x=160时，W取得最大值，W最大值=2 700. 答：当产量为160件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是2 700元. 随堂练习 3. 2026年马年春晚，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盏驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1) 请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 解：(1)由题意，设一次函数关系式为y=kx+b (k≠0)， ∵当x=50时，y=40；当x=40时，y=50， ∴ ∴ 所求函数关系式为y=-x+90. 随堂练习 解：(2)由题意，设每天的销售利润为W元， ∵单件利润为(x-30)元，销售量为 y=-x+90， ∴W=(x-30)y=(x-30)(-x+90) =-x2+120x-2 700 =-(x-60)2+900． ∵-1＜0， ∴当x=60时，利润W取最大值，最大值为900． 答：利润最大时的销售单价应定为60元，最大利润为900元． 3. 2026年马年春晚，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盏驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (2) 若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 随堂练习 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 $