11.5.2公式法教学设计 2026-2027学年 华东师大版 八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“公式法分解因式”核心知识点，涵盖平方差公式和完全平方公式的结构特征及运用。课堂通过“99²-1²”简便计算情境导入，复习乘法公式并逆用引出课题，搭建新旧知识联系的学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过探究活动抽象公式结构特征，如平方差公式“两项平方异号”、完全平方公式“首尾平方中间2倍”，培养数学抽象和逻辑推理能力。分层练习设计基础题巩固公式判断、提高题训练综合运用、辨析题突破易错点，结合整体换元思想，助力学生养成分解彻底的运算习惯，为教师提供清晰教学路径和分层资源，提升课堂效率。

XX中学教案 学科 数学 教师 班级 课题 11.5.2 公式法 课型 新授 教学 目标 知识 目标 1. 理解公式法分解因式的意义，掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征； 2. 能熟练运用平方差公式和完全平方公式分解因式； 3. 能综合运用提公因式法和公式法分解因式，做到分解彻底。 能力 目标 1. 经历公式法的探究过程，培养观察、分析和判断能力； 2. 通过公式的逆用，体会互逆思想，提升逆向思维能力； 3. 培养先观察、再选择方法、最后分解彻底的良好运算习惯。 核心 素养 目标 1. 数学运算：能准确、灵活地运用公式法分解因式，提升运算素养； 2. 逻辑推理：经历“观察—判断—选择—分解”的推理过程； 3. 数学抽象：从公式的结构特征中抽象出适用条件； 4. 数学建模：能运用因式分解解决简便计算和几何问题。 教学 重点 难点 重点：平方差公式和完全平方公式的结构特征及运用。 难点：准确判断多项式是否符合公式特征、综合运用多种方法分解因式、分解彻底。 教学 方法 启发式教学、探究式学习、讲练结合、类比迁移法 教学 手段 多媒体课件、学案 课时 1 教学 环节及时间 教师活动 学生活动 设计意图 （一）情境导入，导入新课（5分钟） 【创设情境】 问题：你能快速算出 99²-1² 吗？ 引导：99²-1² = (99+1)(99-1) = 100×98 = 9800 【温故知新】 ①平方差公式：(a+b)(a-b) = ________ ②完全平方公式：(a+b)² = ________，(a-b)² = ________ ③把上面公式反过来写，得到什么？ 【引出课题】把乘法公式反过来，就可以用来分解因式，这就是公式法。（板书） 1. 尝试简便计算，体会公式逆用的价值； 2. 口答乘法公式； 3. 写出公式的逆用形式； 4. 明确学习目标。 以简便计算引入，体现公式法的应用价值； 复习乘法公式，为逆用做铺垫； 通过互逆关系自然引出课题。 （二）合作探究，构建新知（15分钟） 【探究活动一】平方差公式分解因式 乘法公式：(a+b)(a-b) = a²-b² 反过来：a²-b² = (a+b)(a-b) 【结构特征】板书： ①两项式；②两项都是平方项（或能化成平方项）；③两项符号相反。 口诀：两项平方异号，底数和差相乘。 【例题精讲】 例1 把下列多项式分解因式： (1) x²-4y² (2) 25x²-16y² 解：(1) x²-4y² = x²-(2y)² = (x+2y)(x-2y) (2) 25x²-16y² = (5x)²-(4y)² = (5x+4y)(5x-4y) 强调：先确定a和b，再套用公式。 【探究活动二】完全平方公式分解因式 乘法公式：(a+b)² = a²+2ab+b²，(a-b)² = a²-2ab+b² 反过来：a²+2ab+b² = (a+b)²，a²-2ab+b² = (a-b)² 【结构特征】板书： ①三项式；②首尾两项是平方项且同号；③中间项是两底数乘积的2倍（可正可负）。 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 【例题精讲】 例2 把下列多项式分解因式： (1) m²+6mn+9n² (2) x²+4xy+4y² (3) 4a²-12ab+9b² 解：(1) m²+6mn+9n² = m²+2·m·3n+(3n)² = (m+3n)² (2) x²+4xy+4y² = x²+2·x·2y+(2y)² = (x+2y)² (3) 4a²-12ab+9b² = (2a)²-2·2a·3b+(3b)² = (2a-3b)² 【探究活动三】综合运用 例3 分解因式：(1) 3ax²+6axy+3ay² (2) (a+b)²-12(a+b)+36 解：(1) 3ax²+6axy+3ay² = 3a(x²+2xy+y²) = 3a(x+y)² （先提公因式，再用完全平方公式） (2) 设a+b=m，则原式= m²-12m+36=(m-6)² = (a+b-6)² （整体换元思想） 强调：分解因式的一般步骤——先提公因式，再用公式，分解要彻底。 1. 观察平方差公式的结构特征； 2. 跟随教师板演例1，学会确定a和b； 3. 观察完全平方公式的结构特征； 4. 跟随教师板演例2，注意中间项符号； 5. 学习综合运用，体会先提公因式再用公式； 6. 理解整体换元思想。 让学生经历公式逆用的探究过程； 结构特征分析帮助学生准确判断； 例题由浅入深：直接运用→综合运用→整体换元； 强调分解步骤，培养分解彻底的习惯。 （三）课堂练习 ，内化新知（约10分钟） 【分层练习】 ★ 基础题（全员完成） 1. 下列多项式能否用平方差公式分解？能的分解： (1) x²-9 (2) x²+9 (3) 4x²-25 (4) -x²+y² 【(1)(x+3)(x-3) (2)不能（两项同号） (3)(2x+5)(2x-5) (4)(y+x)(y-x)】 2. 下列多项式能否用完全平方公式分解？能的分解： (1) x²+6x+9 (2) x²-4x+4 (3) x²+2x+4 (4) 4a²-4a+1 【(1)(x+3)² (2)(x-2)² (3)不能（中间项不是2倍） (4)(2a-1)²】 ★★ 提高题（选做） 3. 分解因式：(1) 2x²-8 (2) 3a³-6a²+3a (3) (x+y)²-4(x+y)+4 【(1)2x²-8=2(x²-4)=2(x+2)(x-2) (2)3a³-6a²+3a=3a(a²-2a+1)=3a(a-1)² (3)(x+y)²-4(x+y)+4=(x+y-2)²】 4. 利用因式分解简便计算：99²-1² 【99²-1²=(99+1)(99-1)=100×98=9800】 ★★★ 辨析题 5. 下列分解因式是否正确？错误的请改正： (1) x²-4=(x-2)² (2) x²+2x+1=x(x+2)+1 (3) 4x²-9=(4x+3)(4x-3) 【(1)×，改正：x²-4=(x+2)(x-2)（误用完全平方公式）(2)×，改正：x²+2x+1=(x+1)²（结果不是积的形式） (3)×，改正：4x²-9=(2x+3)(2x-3)（a、b确定错误）】 教师巡视，选取典型错误投影点评。 1. 独立完成基础题，同桌互查； 2. 学有余力的同学完成提高题； 3. 辨析题先判断再改正，小组交流错因； 4. 主动板演，参与讲评。 分层练习满足不同层次需求； 基础题巩固公式判断和直接运用； 提高题训练综合运用和简便计算； 辨析题针对常见易错点设计，强化突破。 （四）课堂小结 （约3分钟） 今天你学到了什么？ 师生共同梳理： 1. 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)（两项、平方、异号）； 2. 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²（三项、首尾平方、中间2倍）； 3. 分解步骤：先提公因式，再用公式，分解要彻底； 4. 注意：整体换元思想、检验结果。 作业 检测 基础作业 【基础作业】 1. 教材课后习题（对应新教材11.5.2练习）； 2. 把下列多项式分解因式：(1) x²-16 (2) 9a²-4b² (3) x²-10x+25 (4) 4x²+12xy+9y² 【(1)(x+4)(x-4) (2)(3a+2b)(3a-2b) (3)(x-5)² (4)(2x+3y)²】 4. 分解因式：(1) 2x²-18 (2) a³-2a²+a 【(1)2x²-18=2(x²-9)=2(x+3)(x-3) (2)a³-2a²+a=a(a²-2a+1)=a(a-1)²】 提高作业 【提高作业】 1. 分解因式：(1) (x²+y²)²-4x²y² (2) a⁴-2a²b²+b⁴ 【(1)(x²+y²)²-4x²y²=(x²+y²+2xy)(x²+y²-2xy)=(x+y)²(x-y)² (2)a⁴-2a²b²+b⁴=(a²-b²)²=(a+b)²(a-b)²】 2. 利用因式分解简便计算：2024²-2023² 【2024²-2023²=(2024+2023)(2024-2023)=4047×1=4047】 3. 已知 x+y=5，xy=6，求 x²+y² 的值。 【x²+y²=(x+y)²-2xy=25-12=13】 拓展预习 作业 【拓展预习作业】 1. 思考：本章学习了哪些整式的乘除和因式分解内容？请梳理知识结构图； 2. 复习本章内容，准备单元测试。 板书设计 【情境引入】 简便计算： 99²-1² =(99+1)(99-1) =9800 【平方差公式】 a²-b²=(a+b)(a-b) 特征：两项、平方、异号 例1：x²-4y² =(x+2y)(x-2y) 【完全平方公式】 a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 特征：三项、首尾平方、中间2倍 例2：m²+6mn+9n² =(m+3n)² 【分解步骤】 先提公因式 再用公式 分解要彻底 【综合运用】 例3(1) 3ax²+6axy+3ay² =3a(x²+2xy+y²) =3a(x+y)² 例3(2) 整体换元 (a+b)²-12(a+b)+36 =(a+b-6)² 学科网（北京）股份有限公司 $