第21章 二次函数与反比例函数 单元测试卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年九上数学沪科版第21章单元卷，以二次函数与反比例函数为核心，通过喷灌系统、实心球投掷等真实情境，融合基础巩固与综合应用，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|函数图像识别、点坐标特征、交点个数|结合图像辨析，考查抽象能力与几何直观| |填空题|8|顶点坐标、k值范围、增减性|聚焦性质应用，强化符号意识与推理意识| |解答题|5|解析式转化、综合应用（正方形与反比例函数、抛物线与坐标轴交点、实心球轨迹）|23题以体育训练数据构建二次函数模型，体现数据意识与应用意识，契合中考命题趋势|

2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元测试卷 一、单选题 1．如图，函数的图象大致是下图的 A． B． C． D． 2．点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知反比例函数的图像上有两点A，B，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 6．如图，在反比例函数的图象上，过作轴的垂线，垂足为，点在轴上，若的面积为1，则的值为（    ）    A．2 B． C．1 D． 7．随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，关于一元二次方程的近似解，（）的范围，有下列说法：①；②；③；④．其中正确说法的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9．方程的解，可看成以下两个函数图象交点的横坐标，其中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知二次函数的图象经过点，与x轴的左交点为．若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣5的顶点坐标是_____． 12．如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．    13．抛物线位于轴左侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”） 14．如果一条抛物线的形状与的形状和开口方向均相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为 ____________________． 15．王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线相吻合，那么他能跳过的最大高度为________． 16．已知双曲线与直线有一交点为．则_________． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转后，得到，交于点，若双曲线经过点，则的值为______． 18．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是___________． 三、解答题 19．已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 20．已知点在反比例函数的图象上． (1)求a的值； (2)点，在反比例函数的图象上，比较，的大小，并说明理由． 21．正方形在平面直角坐标系中如图所示，已知，反比例函数的图象经过中点E，交于点F． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的周长． 22．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，O为原点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一点，连接，，若，求符合要求的点P的坐标． 23．体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元测试卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D D B C B A C 1．B 【详解】试题分析：y=2x（3-x）=-2x2+6x ∵a=-2＜0， ∴开口向下， ∵b=6＞0， ∴对称轴在y轴的右侧， ∵c=0， ∴经过原点， ∴B选项符合， 故选B． 考点: 二次函数的图象. 2．D 【分析】先将已知点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标乘积等于k，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标满足， ，A不符合； ，B不符合； ，C不符合； ，D符合； ∴在此函数图象上． 3．B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 4．D 【分析】首先根据函数关系式画出图象，再根据，可比较出y1、y2的大小，进而得到答案． 【详解】解：如图， 若，则． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，关键是根据函数关系式画出草图，可以直观的得到y1、y2的大小． 5．D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，把题目中的函数解析式化为顶点式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，即可作出判断．解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数的性质． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次项系数，则图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时取得最大值，故选项C不符合题意； 顶点坐标是，故选项D符合题意． 故选：D． 6．B 【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，便可求得结果． 【详解】解：连接，如图，   轴， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 7．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式． 先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围，再根据和时，的值都是，得出抛物线的对称轴为直线，再结合二次函数的性质，得出的范围，即可作答． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 当和时，的值都是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵方程的一个近似根的范围是， ∴ ∴①④是符合题意； 故选：B 9．A 【分析】由于一个方程组的解即是组成方程组的两个函数的图象的交点坐标，所以抛物线可看作两个函数组合而成，所以方程的解还可以看成是两函数图象交点的横坐标． 【详解】解：方程可以变形为或或或， ∴方程的解，可看成以下两个函数图象交点的横坐标， ∴①；②；③；④，都是正确的， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，及方程的解与函数图象的交点的关系． 10．C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，由已知函数解析式可得二次函数图象的对称轴是直线，由已知把点代入函数解析式可得，从而二次函数可以为，再由已知可知:此函数图象开口向上，则时，时，即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，对称轴为直线， ∴它的图象也经过点，， ∵函数图象与x轴的左交点为，， ∴此函数图象开口向上， ∴时，即， 解得； 当时，即， 解得， ∴a的取值范围：， 故选C． 【点睛】 11．(1，﹣5） 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2﹣5的顶点坐标是(1，﹣5)． 故答案为(1，﹣5）． 【点睛】本题考查了顶点式对应的顶点坐标，顶点式的理解是解题的关键 12．4（答案不唯一，满足均可） 【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可． 【详解】解：当反比例函数图像过时，； 当反比例函数图像过时，； ∴k的取值范围为 ∴k可以取4． 故答案为4（答案不唯一，满足均可）． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键． 13．上升 【分析】根据二次函数图象的性质解答即可． 【详解】解：∵二次项系数-1<0， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴是直线y=0， ∴抛物线位于轴左侧的部分是上升的． 故答案为：上升． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 14． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．先把解析式设为顶点式，再根据抛物线形状相同，则二次项系数相同，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设该抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与的形状相同， ∴， ∴该抛物线解析式为， 故答案为：． 15．. 【分析】利用配方法确定二次函数的最值即为所求. 【详解】∵ = = = ∴抛物线的最大值为， 故他能跳过的最大高度为. 【点睛】本题考查了配方法求抛物线的最值，熟练进行配方是解题的关键. 16．/ 【分析】由双曲线与直线的交点为可知分别满足两个解析式，即、，代入到原式可得答案． 【详解】解：双曲线与直线的交点坐标为， ，， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据交点坐标知、满足两解析式，从而得到、的值是解题的关键． 17． 【分析】根据题意先求出AE的长，再由反比例函数k的几何意义进行求解即可得解. 【详解】∵，， ∴，由旋转性质得， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了含有角的直角三角形的性质，反比例函数k的几何意义，熟练掌握相关性质是解决本题的关键. 18．（1）（4） 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况，函数的增减性，特殊点的函数值等进行推理，进而对所求结论进行判断． 【详解】解：∵称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故（1）正确， ∵二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故（2）错误， ∵点，点，点在该函数图象上，对称轴为直线，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小 ∴，故（3）错误， ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故（4）正确， 故答案为：（1）（4）． 19．(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 20．(1) (2) 解：，理由如下： 由（1）得反比例函数的表达式为． ∵， ∴在每个象限中，y的值随x的增大而增大， ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴． 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反比例函数增减性是解题的关键． （1） 把代入，运用待定系数法计算即可求解； （2）由解析式可得在每个象限中，y的值随x的增大而增大，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴把点代入， 得， 解得； （2）略 21．(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和点B的坐标求出点C的坐标，进而根据中点坐标公式求出点E的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点F的坐标，再利用两点间的距离公式求出的三边长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴点E的坐标为，即， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴点F的横坐标为4， 在中，当时，， ∴， ∴， 由（1）得点E的坐标为， ∴，， ∴， ∴的周长为． 22．(1) (2)或或或 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何的综合，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）首先得出，，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据求出，然后分情况分别代入表达式求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴将，代入得， 解得 ∴； （2）当时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时， 解得或 ∴点P的坐标为或； 当时， 解得或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，符合要求的点P的坐标为或或或． 23．(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $