专题06 函数的应用（一）（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数模型应用为主线，系统整合一次、二次、分段、分式、幂函数模型，提炼解题策略与实际场景应用逻辑，强化数学建模与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数模型|1典例+2变式|待定系数法求解析式，关注单调性与定义域|从直线特征到实际优惠、税率问题，体现数学眼光观察现实世界| |二次函数模型|1典例+3变式|配方法、单调性求最值，验证实际意义|从利润最大到面积优化，培养数学思维解决最值问题| |分段函数模型|1典例+3变式|分段定义域划分，逐段分析函数关系|结合阶梯电价、公交票价，用数学语言表达分段计费规则| |分式函数模型|1典例+3变式|分离常数转化，基本不等式或单调性求最值|通过建筑造价、污水处理池问题，强化模型意识| |幂函数模型|1典例+3变式|正比例与根式函数建模，换元法求最值|联系投资利润、流量问题，发展应用意识与创新思维|

专题06 函数的应用（一） （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数模型 1 题型02 二次函数模型 3 题型03 分段函数模型 5 题型04 分式函数模型 7 题型05 幂函数模型 10 ▌题型01 一次函数模型 一次函数模型应用问题的关注点 (1)特点:图象是一条直线; (2)方法:求一次函数解析式的常用方法是待定系数法; (3)单调性:当一次项系数为正时,一次函数为增函数;当一次项系数为负时,一次函数为减函数. 提醒:建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围. 【典例1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠.某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为__________元. 【答案】590 【详解】设此人这次在该商场购物不优惠，共花费元，显然， 若，则最多优惠元，小于60元， 故，所以，解得， 所以此人这次在该商场购物实际所付金额为元. 故答案为：590 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·期中）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时， 由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误， 故选：ABC. 【变式1-2】（2025高一上·福建厦门·专题练习）某社区为提升居民生活便利性，在中心广场旁开设了一家便民超市，超市内售卖两种不同规格的饮用水，分别是适合日常随身携带的“小瓶装”饮用水和适合家庭囤积的“大瓶装”饮用水.其中，小瓶装饮用水每瓶的标准容量为300毫升，为鼓励居民按需购买，超市对小瓶装饮用水的售价实行分段定价策略：当居民一次性购买小瓶装饮用水的数量（为正整数，且）不超过10瓶时，按照每瓶2元的单价计费；当购买数量超过10瓶时，前10瓶仍按每瓶2元计费，超出10瓶的部分则按照每瓶1.5元的优惠单价计费.而大瓶装饮用水每瓶的标准容量为500毫升，由于进货成本相对稳定，其售价实行统一固定定价，无论居民一次性购买多少瓶（购买数量为正整数，且），每瓶售价均为3元，不额外设置数量折扣.在一个周末的上午，该社区居民王先生打算为家里储备一批饮用水，他来到这家便民超市后，首先在小瓶装饮用水货架前确定了购买数量，结账时支付了26元；随后他又转到大瓶装饮用水货架前，根据家庭一周的饮水量估算了购买数量，结账时支付了18元.假设王先生在购买过程中，两种规格饮用水的每瓶实际容量与标准容量完全一致，且将购买的所有小瓶装饮用水和大瓶装饮用水全部倒入一个事先准备好的、足够大的空水桶中时，没有发生任何洒漏、损耗等情况.那么，此时这个水桶中所装饮用水的总容量为________毫升. 【答案】7200 【详解】小瓶装饮用水的数量，当时，最多花费元，而王先生支付了26元，， 设购买小瓶装水瓶，则，解得， 故小瓶装水总容量为毫升， 大瓶装饮用水的数量，已知大瓶每瓶元，支付元，则瓶， 故大瓶装水总容量为毫升， 此时这个水桶中所装饮用水的总容量为毫升. 故答案为：. ▌题型02 二次函数模型 二次函数模型应用的关注点 (1)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 【典例2】（25-26高一上·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式2-1】（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【答案】公里小时 【详解】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 【变式2-2】（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为________（围墙厚度不计）． 【答案】2500 【详解】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为， 故矩形面积， 所以当时，，即最大面积是． 故答案为：2500． 【变式2-3】（25-26高二下·上海·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【答案】(1) (2)使用7年后年平均盈利额最大，最大值为22万元 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. ▌题型03 分段函数模型 分段函数模型应用的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 【典例3】（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 【变式3-1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【答案】A 【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 【变式3-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 【答案】元 【详解】因为，又，由题知5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）， 所以小王购买车票的票价为元， 故答案为：元. ▌题型04 分式函数模型 解题策略：分离常数转化为反比例型函数，结合单调性、基本不等式求解最值；应用题先列出分式关系式。 必备条件：分母不为0，确定实际问题自变量取值范围；用均值不等式需满足一正二定三相等。 注意事项：区分分式函数值域与实际定义域；检验不等式等号能否取到；求解最值后回归实际场景验证合理性。 【典例4】（25-26高一上·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-1】（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【答案】 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 故答案为： 【变式4-2】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【答案】(1)； (2)污水处理池长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【详解】（1）依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【变式4-3】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)； (2)，且时元. 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得，所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以，则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. ▌题型05 幂函数模型 幂函数模型中除了常见的正比例函数、反比例函数、二次函数模型外，根式函数模型的应用也较为广泛，其中对于偶次根式特别要注意隐含条件：被开方数不小于0. 【典例5】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 【变式5-1】（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【详解】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 【变式5-2】（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的应用（一） （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数模型 1 题型02 二次函数模型 2 题型03 分段函数模型 4 题型04 分式函数模型 5 题型05 幂函数模型 8 ▌题型01 一次函数模型 一次函数模型应用问题的关注点 (1)特点:图象是一条直线; (2)方法:求一次函数解析式的常用方法是待定系数法; (3)单调性:当一次项系数为正时,一次函数为增函数;当一次项系数为负时,一次函数为减函数. 提醒:建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围. 【典例1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠.某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为__________元. 【答案】590 【详解】设此人这次在该商场购物不优惠，共花费元，显然， 若，则最多优惠元，小于60元， 故，所以，解得， 所以此人这次在该商场购物实际所付金额为元. 故答案为：590 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·期中）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高一上·福建厦门·专题练习）某社区为提升居民生活便利性，在中心广场旁开设了一家便民超市，超市内售卖两种不同规格的饮用水，分别是适合日常随身携带的“小瓶装”饮用水和适合家庭囤积的“大瓶装”饮用水.其中，小瓶装饮用水每瓶的标准容量为300毫升，为鼓励居民按需购买，超市对小瓶装饮用水的售价实行分段定价策略：当居民一次性购买小瓶装饮用水的数量（为正整数，且）不超过10瓶时，按照每瓶2元的单价计费；当购买数量超过10瓶时，前10瓶仍按每瓶2元计费，超出10瓶的部分则按照每瓶1.5元的优惠单价计费.而大瓶装饮用水每瓶的标准容量为500毫升，由于进货成本相对稳定，其售价实行统一固定定价，无论居民一次性购买多少瓶（购买数量为正整数，且），每瓶售价均为3元，不额外设置数量折扣.在一个周末的上午，该社区居民王先生打算为家里储备一批饮用水，他来到这家便民超市后，首先在小瓶装饮用水货架前确定了购买数量，结账时支付了26元；随后他又转到大瓶装饮用水货架前，根据家庭一周的饮水量估算了购买数量，结账时支付了18元.假设王先生在购买过程中，两种规格饮用水的每瓶实际容量与标准容量完全一致，且将购买的所有小瓶装饮用水和大瓶装饮用水全部倒入一个事先准备好的、足够大的空水桶中时，没有发生任何洒漏、损耗等情况.那么，此时这个水桶中所装饮用水的总容量为________毫升. ▌题型02 二次函数模型 二次函数模型应用的关注点 (1)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 【典例2】（25-26高一上·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式2-1】（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【变式2-2】（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为________（围墙厚度不计）． 【变式2-3】（25-26高二下·上海·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） ▌题型03 分段函数模型 分段函数模型应用的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 【典例3】（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 【变式3-1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【变式3-2】（25-26高一上·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【变式3-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. ▌题型04 分式函数模型 解题策略：分离常数转化为反比例型函数，结合单调性、基本不等式求解最值；应用题先列出分式关系式。 必备条件：分母不为0，确定实际问题自变量取值范围；用均值不等式需满足一正二定三相等。 注意事项：区分分式函数值域与实际定义域；检验不等式等号能否取到；求解最值后回归实际场景验证合理性。 【典例4】（25-26高一上·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-1】（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【变式4-2】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【变式4-3】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. ▌题型05 幂函数模型 幂函数模型中除了常见的正比例函数、反比例函数、二次函数模型外，根式函数模型的应用也较为广泛，其中对于偶次根式特别要注意隐含条件：被开方数不小于0. 【典例5】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 【变式5-1】（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的应用（一） ▌题型01 一次函数模型 【典例1】590 【详解】设此人这次在该商场购物不优惠，共花费元，显然， 若，则最多优惠元，小于60元， 故，所以，解得， 所以此人这次在该商场购物实际所付金额为元. 【变式1-1】ABC 【详解】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时，由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误，故选：ABC. 【变式1-2】7200 【详解】小瓶装饮用水的数量，当时，最多花费元，而王先生支付了26元，， 设购买小瓶装水瓶，则，解得，故小瓶装水总容量为毫升， 大瓶装饮用水的数量，已知大瓶每瓶元，支付元，则瓶，故大瓶装水总容量为毫升， 此时这个水桶中所装饮用水的总容量为毫升. ▌题型02 二次函数模型 【典例2】BC 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式2-1】公里小时 【详解】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 【变式2-2】2500 【详解】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为， 故矩形面积， 所以当时，，即最大面积是． 故答案为：2500． 【变式2-3】 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. ▌题型03 分段函数模型 【典例3】D 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 【变式3-1】C 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 【变式3-2】A 【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 【变式3-3】元 【详解】因为，又，由题知5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）， 所以小王购买车票的票价为元， ▌题型04 分式函数模型 【典例4】 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 【变式4-1】 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 【变式4-2】 (1)； (2)污水处理池长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【详解】（1）依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【变式4-3】 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. ▌题型05 幂函数模型 【典例5】 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 【变式5-1】D 【分析】设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【详解】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得，故选：D. 【变式5-2】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在．故选：A. 【变式5-3】 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $