精品解析：贵州贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

北师大贵阳附中2024—2025学年第一学期第一次月考 高一数学 时间：120分钟 满分150分 出题人：刘丹 审题人：张志鹏 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A. 某班视力较好的同学 B. 长寿的人 C. 的近似值 D. 倒数等于它本身的数 2. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、二、三象限 3. 集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 4. 已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ） A. 3或－1 B. 3 C. －1 D. －3或1 5. 已知，为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有1人 7. 设全集为，非空真子集，，满足：，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 10. 已知集合，，则（ ） A. 集合有8个子集 B. 集合中有6个元素 C. D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 有理数集可表示为 B. 所有的素数不都是奇数 C. 设a，，，，，则 D. 已知，，，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 命题“，”的否定为：______. 13. 满足条件的集合A的个数为______． 14. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 四、解答题：（共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）． 15. （1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 16. 如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. （1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？ （2）若使每间虎笼面积为24，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 17. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 18. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于、两点，其中点的坐标为，点在轴上. （1）求的值及二次函数的关系式； （2）为线段上的一个动点（点与、不重合），过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点. （1）证明：若则. （2）A中的元素所对应的格点记作（），现将A中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以为顶点的三角形面积. （3）已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大贵阳附中2024—2025学年第一学期第一次月考 高一数学 时间：120分钟 满分150分 出题人：刘丹 审题人：张志鹏 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A. 某班视力较好的同学 B. 长寿的人 C. 的近似值 D. 倒数等于它本身的数 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义分析判断即可. 【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位， 不是明确的定义，故不能构成集合； 对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合； 故选：D. 2. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】先代入已知点求出值，再结合函数图象的平移及函数的性质分析平移后函数图象所在的象限. 【详解】将点代入，得，解得. 因此所求函数为， 该函数的图象可由反比例函数的图象向右平移个单位长度， 再向上平移个单位长度得到，渐近线为和. 分区间讨论： 当时，，则，故： 当趋近于时趋近于，当趋近于时趋近于，即由时，由. 因此该区间图象经过第一象限及第四象限. 当时，，则，故， 当趋近于时趋近于，当趋近于时趋近于，即由时，由. 因此该区间图象位于第一象限及第二象限. 如图： 综上，函数图象经过第一、二、四象限. 3. 集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】C 【解析】 【详解】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 4. 已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ） A. 3或－1 B. 3 C. －1 D. －3或1 【答案】B 【解析】 【详解】由题设分式有意义，得. 将题设等式两边同乘，得. 由韦达定理得，，所以 ， 即，解得或. 又因为方程有两个不相等的实数根，所以 . 当时条件成立；当时，不符合题意，因此. 5. 已知，为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用作差法，判断各选项即可. 【详解】对A，因为，所以，当时，，此时，故A错误； 对B，当时，，，则，此时，故B错误； 对C，因为，所以，所以，所以，故C正确 ； 对D，当时，，，此时，即，故D错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，另外本题也可取特殊值进行验证，属于基础题. 6. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【解析】 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 7. 设全集为，非空真子集，，满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设知、，根据，，为的非空真子集，结合韦恩图即可排除A、B、C，由且可判断D正确. 【详解】由知：，由知：， ∴可用如下韦恩图表示非空真子集，，的关系， ∴、不一定成立，不成立，而且， ∴成立. 故选：D. 8. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用不等式的性质求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，即，得， 将代入中，得，即，得， 所以. 二、多项选择题：（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】BC 【解析】 【分析】根据充分不必要条件确定正确答案. 【详解】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 10. 已知集合，，则（ ） A. 集合有8个子集 B. 集合中有6个元素 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出集合的子集判断A，求出集合判断B，并集运算判断C，根据集合关系判断D. 【详解】集合的子集为：共8个，所以选项A正确； 由集合，所以， 所以集合中有5个元素，所以选项B错误； 由及知，所以选项C正确； 因为，但是，所以不成立，所以选项D错误. 故选：AC. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 有理数集可表示为 B. 所有的素数不都是奇数 C. 设a，，，，，则 D. 已知，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题综合考查集合概念、命题真假判断、集合相等性质及不等式性质，需结合对应知识点逐项分析判断. 【详解】选项A中有理数包括正数，负数和0，而集合中不包含负数，故A错. 选项B中素数指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外没有其他因数的自然数，2是素数且2是偶数，所以所有的素数不都是奇数是真命题，故B对. 选项C中即得，所以，故C对. 选项D中，所以，所以，又因为，所以，故D对. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 命题“，”的否定为：______. 【答案】，使得 【解析】 【分析】根据特称命题的否定格式改写即可. 【详解】特称命题的否定改写格式为：特称量词改为全程量词，结论改为原来结论的反面. 故答案为:，使得 13. 满足条件的集合A的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意， ，， 所以，共个. 14. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 四、解答题：（共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）． 15. （1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 【解析】 【分析】（1）利用差比较法判断两者的大小关系. （2）利用差比较法判断两者的大小关系. 【详解】（1）略 （2）略 16. 如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. （1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？ （2）若使每间虎笼面积为24，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 【答案】（1）当长为，宽为时，面积最大，最大面积为；（2）当长为，宽为时，钢筋网总长最小，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值. （2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为， 则， 则，所以每间虎笼面积的最大值为，当且仅当即时等号成立. （2）设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为， 则钢筋网总长为，所以钢筋网总长最小为，当且仅当等号成立. 17. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【小问1详解】 解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 18. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于、两点，其中点的坐标为，点在轴上. （1）求的值及二次函数的关系式； （2）为线段上的一个动点（点与、不重合），过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）， （3）存在，此时 【解析】 【分析】（1）设二次函数的顶点式方程为，将点坐标代入直线方程与二次函数的顶点式方程为，解出，； （2）由图可知：，及自变量范围，化简即可； （3）根据平行四边形法则，可知，，证明，并根据求出相应的点坐标. 【小问1详解】 由题可知：是直线与二次函数的交点， 故直线经过点，，即. 二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式方程为，. 又二次函数经过点， ，即， 二次函数的关系式为，即. 【小问2详解】 ,且点在轴上，自变量， 由图可知：， 即，. 【小问3详解】 存在， 将代入得：，， 又，， 若四边形是平行四边形，则，且， 又轴，线为二次函数的对称轴， 又，解得：或， 又时，点与点重合，故舍去. 即，将代入得， 即. 19. 设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点. （1）证明：若则. （2）A中的元素所对应的格点记作（），现将A中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以为顶点的三角形面积. （3）已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围. 【答案】（1） 由题设， 则，且， 所以若则，得证. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据集合A的描述，令判断是否满足集合描述即可证； （2）根据题设定义写出的前6项，进而确定坐标，即可求三角形面积； （3）根据题意、一定属于，一定不属于，并求，结合即可求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如下表取，行为，列为， 0 1 2 3 由表格知：最小的6个数为分别为， 所以， 所以，则，以为顶点的三角形面积为. 【小问3详解】 同（2），将A中元素按下标小到大，从小到大排序， 由题设，又至少有2个元素，即、一定属于，故； 由最多有5个元素，即一定不属于，故； 综上，. 【点睛】关键点点睛：根据题设描述写出及对应，结合交集的结果确定参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $