第07课 基本不等式（一）同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学基本不等式新授课同步练，以“概念巩固-分层应用-综合测评”为主线，梯度化设计实现从基础到能力进阶，培养数学抽象、运算推理与模型应用素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念基础层|基本不等式概念、成立条件及算术几何平均数|概念填空强化数学抽象，夯实知识本源| |技能应用层|求积与和的最值（含对勾函数）|分层最值题（一/二/三）提升运算能力，梯度衔接紧密| |综合提升层|证明与综合问题|证明题与选择填空结合，培养推理与模型意识，适配课堂测评|

第07课 基本不等式（一） 一、概念填空 1、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件：________________． （2）等号成立的条件：当且仅当 ________时取等号． （3）其中，________叫做正数的算术平均数，________叫做正数的几何平均数．基本不等式表明：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 【答案】 （1）； （2）； （3）； ； 2、 重要不等式 ，都有①______，当且仅当②______时，等号成立 基本不等式 如果，则有③______，当且仅当④______时，等号成立 常用推论 ⑤______ 三个正数的算术—几何平均不等式： 如果，那么，当且仅当时，等号成立． 最值定理 已知都是正数，那么： （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值⑥______，此时⑦______（用表示） （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值⑧______，此时⑨______（用表示） 应用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正”“二定”“三相等”． 【答案】 ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨ 3、对勾函数： 解析式 图像 注意 ①基本不等式，其中， 当且仅当时取等号，即时，有最小值； ②基本不等式，其中， 当且仅当时取等号，即时，有最大值； 【答案】 4、设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 二、根据基本不等式求积的最值 5、根据基本不等式求积的最值（一）： （1）已知，且，则的最大值为__________． （2）已知，且，则的最大值为___________． （3）已知，且，则的最大值为___________． （4）已知，且，则的最大值为___________． 【答案】 （1） （2）0.5 （3） （4）12 【解析】 （1）（当且仅当时，取等号），所以的最大值为； （2）因为为正实数，， 已知，则，所以. 当且仅当时取等号，此时，，满足正实数条件. 所以的最大值为； （3）根据题意， 所以，（当且仅当，即时取等号）， 即最大值为； （4）由，得， 所以，当且仅当，时等号成立； 6、根据基本不等式求积的最值（二）： （1）若，则的最大值为________． （2）若实数，则的最大值________. （3）若，则的最大值是__________. （4）若，则的最大值为______． （5）若时，的最大值为______． （6）若，则的最大值为__________. 【答案】 （1） （2） （3）3 （4） （5） （6） 【解析】 （1）因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为； （2）当时，， 当时，， 当且仅当时，取等号，故最大值为； （3）因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是3； （4）因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为； （5）因为，， 当且仅当，即时，等号成立， 故所求最大值为； （6）由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为； 三、根据基本不等式求和的最值 7、求和的最小值（一）： （1）若，，且，则的最小值为_______． （2）若，，且，则的最小值为_______． （3）若，，且，则的最小值为_______． （4）若，且，则的最小值为___________． （5）若，，且，则的最小值为__________. （6）若，，且，则的最小值是______________． （7）若，且，则的最小值为___________． 【答案】 （1） （2）7 （3）11 （4） （5） （6） （7） 【解析】 （1）因为，，且， 所以，当且仅当，即时等号成立； （2）因为，，且， 所以， 当且仅当时，即时等号成立； （3）因为，，且， 所以， 当且仅当时，即时等号成立； （4）； 当且仅当，即时等号成立，的最小值为； （5）∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为； （6）因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． （7）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值； 8、求和的最小值（二）： （1）已知，且，则的最小值为______． （2）已知，且，则的最小值是___________． （3）已知，且，则的最小值为_________． （4）已知，且，则的最小值为_____. 【答案】 （1） （2）3 （3） （4）31 【解析】 （1）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，且，即时等号成立． 故的最小值为． （2）因为，且， 所以 ， 当且仅当时取等号； （3）因为，所以， 而， 当且仅当时等号成立，由，解得， 当时，取得最小值为， 此时取得最小值为； （4）因为得， 所以 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为； 9、求和的最小值（三）： （1）若正实数，满足，则的最小值为______． （2）若正实数，满足，则的最大值为___________． 【答案】 （1）6 （2） 【解析】 （1）因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6； （2）令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为； 四、对勾函数求最值 10、根据对勾函数求最值（一）： （1）已知，则的最小值为______________. （2）已知，则的最小值为 ________________ ． （3）已知，则的最小值是__________. （4）已知，则的最小值为_____. （5）已知，则的最大值为________. 【答案】 （1）1 （2） （3） （4）10 （5） 【解析】 （1）已知，则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为1； （2）当时， ， 当且仅当，即x时,等号成立，所以最小值为； （3）， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （4）若，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为； （5）因为，则， 所以≤， 当且仅当，即时等号成立，所以最大值为； 11、根据对勾函数求最值（二）： （1）若，则的最小值为______. （2）若，则的最小值为______. （3）若，则的最大值是______． （4）若，则的最大值是______ 【答案】 （1） （2）4 （3） （4） 【解析】 （1）由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为； （2）当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4； （3）令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立； （4），则， 所以， 当且仅当时，因为，即当时，等号成立， 所以的最大值为； 12、根据对勾函数求最值（三）： （1）若，则的最大值为______． （2）若，则的最大值为__________． （3）若，则的最大值为______. 【答案】 （1） （2） （3） 【解析】 （1），∴，当且仅当时取等号， 所以当时，的最大值为； （2）当，， ，当且仅当，即时等号成立， 此时，当且仅当，即时等号成立； （3）令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为； 四、根据基本不等式证明 13、根据基本不等式证明： （1）已知且为正数，求证：； （2）已知证明：； （3）已知证明：； （4）已知都是正数，求证：； （5）已知，，，证明：； （6）已知，都是正数．证明：； （7）已知实数，，求证：； （8）已知均为正实数，求证：； （9）已知，且，求证：； （10）已知，且，求证： ； （11）已知，求证：； （12）已知均为正数，且，求证：； （13）已知都是正数，且，求证：． 【答案】 证明：（1）， ， ，当且仅当，即时取等号， 但，因此不能取等号，； （2）因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （3）因为，所以． ，当且仅当时，等号成立． （4）因为都是正数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 所以， 当且仅当时，等号成立，故，得证； （5）由题设，及基本不等式知， ； 同理，，， ，即， 即：； （6）由于，都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立，所以，得证； （7）证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立； （8）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （9）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （10）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（9）可知成立， 所以成立； （11）因为, 则， 因为，，由得， 当且仅当时等号成立， 所以； （12）由题设均为正数，， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，得证； （13），且， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故． 五、小节测试 （1）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. （2）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． （3）若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 【答案】A 【解析】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. （4）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【解析】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. （5）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. （6）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【解析】 设，且，则， ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以 所以当时，有最小值. （7）（多选）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【解析】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则． 当，随的增大而减小， 所以的最小值为当时，． 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． （8）已知，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】已知，因此，， 根据基本不等式可得： 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为. （9）已知，则的最大值为______________; 【答案】 【解析】当时，，，当且仅当即时等号成立. 故答案为：. （10）函数的最小值为___________. 【答案】9 【解析】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. （11）设，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由， 得， 当且仅当，即时取等号． （12）当时，的最小值为15，则______ 【答案】 【解析】因为，则， ， 当且仅当时，等号成立， 即，故. （13）求的最小值为__________． 【答案】 【解析】因为，则，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. （14）已知正数满足． ①求的最小值； ②求的最小值． 【答案】①8；② 【解析】 ①因为，且，则， 即，所以. 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8． ②解1：因为，，且，则， 可得， 当且仅当，即，即，时等号成立； 所以的最小值为． 解2：由得． 所以 当且仅当时，即时等号成立． 所以的最小值为． 解3：由,得， ，又可得. 当且仅当，时等号成立． （15）求下列函数的最小值 ①； ②； ③． 【答案】①3；②；③10. 【解析】 ① ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； ②令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为； ③令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=”，即y的最小值为10． 16．已知，，证明：； 【答案】 证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. 试卷第4页，共24页 试卷第1页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07课 基本不等式（一） 一、概念填空 1、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件：________________． （2）等号成立的条件：当且仅当 ________时取等号． （3）其中，________叫做正数的算术平均数，________叫做正数的几何平均数．基本不等式表明：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、 重要不等式 ，都有①______，当且仅当②______时，等号成立 基本不等式 如果，则有③______，当且仅当④______时，等号成立 常用推论 ⑤______ 三个正数的算术—几何平均不等式： 如果，那么，当且仅当时，等号成立． 最值定理 已知都是正数，那么： （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值⑥______，此时⑦______（用表示） （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值⑧______，此时⑨______（用表示） 应用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正”“二定”“三相等”． 3、对勾函数： 解析式 图像 注意 ①基本不等式，其中， 当且仅当时取等号，即时，有最小值； ②基本不等式，其中， 当且仅当时取等号，即时，有最大值； 4、设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 二、根据基本不等式求积的最值 5、根据基本不等式求积的最值（一）： （1）已知，且，则的最大值为__________． （2）已知，且，则的最大值为___________． （3）已知，且，则的最大值为___________． （4）已知，且，则的最大值为___________． 6、根据基本不等式求积的最值（二）： （1）若，则的最大值为________． （2）若实数，则的最大值________. （3）若，则的最大值是__________. （4）若，则的最大值为______． （5）若时，的最大值为______． （6）若，则的最大值为__________. 三、根据基本不等式求和的最值 7、求和的最小值（一）： （1）若，，且，则的最小值为_______． （2）若，，且，则的最小值为_______． （3）若，，且，则的最小值为_______． （4）若，且，则的最小值为___________． （5）若，，且，则的最小值为__________. （6）若，，且，则的最小值是______________． （7）若，且，则的最小值为___________． 8、求和的最小值（二）： （1）已知，且，则的最小值为______． （2）已知，且，则的最小值是___________． （3）已知，且，则的最小值为_________． （4）已知，且，则的最小值为_____. 9、求和的最小值（三）： （1）若正实数，满足，则的最小值为______． （2）若正实数，满足，则的最大值为___________． 四、对勾函数求最值 10、根据对勾函数求最值（一）： （1）已知，则的最小值为______________. （2）已知，则的最小值为 ________________ ． （3）已知，则的最小值是__________. （4）已知，则的最小值为_____. （5）已知，则的最大值为________. 11、根据对勾函数求最值（二）： （1）若，则的最小值为______. （2）若，则的最小值为______. （3）若，则的最大值是______． （4）若，则的最大值是______ 12、根据对勾函数求最值（三）： （1）若，则的最大值为______． （2）若，则的最大值为__________． （3）若，则的最大值为______. 五、根据基本不等式证明 13、根据基本不等式证明： （1）已知且为正数，求证：； （2）已知证明：； （3）已知证明：； （4）已知都是正数，求证：； （5）已知，，，证明：； （6）已知，都是正数．证明：； （7）已知实数，，求证：； （8）已知均为正实数，求证：； （9）已知，且，求证：； （10）已知，且，求证： ； （11）已知，求证：； （12）已知均为正数，且，求证：； （13）已知都是正数，且，求证：． 六、小节测试 （1）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 （2）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 （3）若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． （4）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 （5）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． （6）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 （7）（多选）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． （8）已知，则的最小值为_________． （9）已知，则的最大值为______________; （10）函数的最小值为___________. （11）设，则的最小值为__________． （12）当时，的最小值为15，则______ （13）求的最小值为__________． （14）已知正数满足． ①求的最小值；②求的最小值． （15）求下列函数的最小值 ①；②；③． 16．已知，，证明：； 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $