2.2 基本不等式3 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以基础应用为起点，通过实际情境问题过渡，最终实现综合证明与参数范围探究，分层梯度清晰，有效培养数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点直接应用|如选择1、4、8题，考查基本不等式求最值及比较大小，强化概念理解| |中档|实际情境应用与变形|如选择2、12题，结合利润、成本问题构建函数模型，培养模型意识| |提升|综合证明与参数范围|如解答13题证明及14(2)题参数范围，提升逻辑推理与运算能力|

基本不等式3 一、选择题 1.【2026·广东·质量检测】若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．4 B．4 C．9 D．18 【答案】D 【解析】因为m＞0，n＞0，mn＝81，所以m＋n≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，故m＋n的最小值是18. 2.【2026·河南·专题练习】为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s(单位：万元)与生产线运行的时间t(单位：年，t∈N*)满足二次函数关系：s＝－2t2＋30t－98，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为(　　) A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 【答案】C 【解析】依题意，年平均利润为＝＝－2t－＋30，t∈N*，由于t>0，所以2t＋≥2＝28，当且仅当2t＝，即t＝7时取等号，此时≤－28＋30＝2，所以当每条生产线运行的时间t＝7时，年平均利润最大． 3. 【2025·甘肃兰州·质量检测】若正实数a，b满足，则下列说法正确的是 A．ab有最小值 B．有最小值 C．有最小值4 D．有最小值 【答案】C 【解析】，，且；； ；有最大值，选项A错误； ，，即有最大值，B项错误. ，有最小值4，C正确； ,的最小值是，不是，D错误． 4．【2026·广东·质量检测】已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 【答案】D 【解析】∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b， ∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)， ∴2ab＜a2＋b2＜a＋b. 又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大． 5．【2026·河南·专题练习】已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　) A.　　　　B．4　　　　C.　　　　D．5 【答案】C 【解析】∵a＋b＝2，∴＝1. ∴＋＝ ＝＋≥＋2＝ . 故y＝＋的最小值为. 6． 【2025·甘肃兰州·质量检测】已知a，b是正实数，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≥ 【答案】D 【解析】由≥得a＋b≥2， ∴A成立； ∵＋≥2＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立． 7．【2026·广东·质量检测】已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【解析】∵，，，∴，当且仅当 时，即时取“”.故答案选C 8．【2026·广东·质量检测】设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－b<0　　　 B．0<<1 C.< D．ab>a＋b 【答案】C 【解析】∵a>b>0，由基本不等式知<一定成立． 9.(多选)【2026·河南·专题练习】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为(　　) A． ≥(a>0，b>0 B． B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C． ≥(a>0，b>0) D．≥(a>0，b>0) 【答案】ABC 【解析】由AC＋CB＝a＋b及射影定理，可知CD＝，又OD≥CD，所以≥(a>0，b>0)，A正确．因为CD≤AB，故AB2≥4CD2，即(a＋b)2≥4ab，即a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)，B正确．由射影定理得CD2＝DE·OD，即DE＝＝＝，又CD≥DE，故≥(a>0，b>0)，C正确．无法推出D选项，D错误． 二、填空题 10． 【2025·甘肃兰州·质量检测】当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________． ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 【答案】③　 【解析】根据≥xy，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．] 11．【2026·广西南宁·质量检测】设x，y均为正数，且x＋4y＝4，则xy的最大值为 ． 【答案】1 【解析】因为x，y均为正数，且x＋4y＝4，所以xy＝×x×4y≤×＝1，当且仅当x＝4y＝2时，取等号，所以xy的最大值为1. 12．【2026·四川内江·质量检测】某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－300x＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为 吨． 【答案】400 【解析】设每吨的平均处理成本为s元， 由题意可得s＝＝＋－300，其中300≤x≤600. 由基本不等式可得＋－300≥2－300＝100， 当且仅当＝，即x＝400时，每吨的平均处理成本最低． 3、 解答题 13．【2026·广西南宁·质量检测】已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7. 【解析】 由＋＝1，得b＝(a＞1)， 则a＋2b＝a＋＝a＋ ＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7 ≥2＋7， 当a－1＝时，即a＝1＋时，取等号． 14．【2026·四川内江·质量检测】(1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 【解析】 (1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＝即x＝2时等号成立． 故y＝(x>0)的最小值为9. (2)法一：∵0<x<，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x) ≤＝. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. 法二：∵0<x<，∴－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式3 一、选择题 1.【2026·广东·质量检测】若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．4 B．4 C．9 D．18 2.【2026·河南·专题练习】为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s(单位：万元)与生产线运行的时间t(单位：年，t∈N*)满足二次函数关系：s＝－2t2＋30t－98，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为(　　) A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 3. 【2025·甘肃兰州·质量检测】若正实数a，b满足，则下列说法正确的是 A．ab有最小值 B．有最小值 C．有最小值4 D．有最小值 4．【2026·广东·质量检测】已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 5．【2026·河南·专题练习】已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　) A.　　　　B．4　　　　C.　　　　D．5 6． 【2025·甘肃兰州·质量检测】已知a，b是正实数，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≥ 7．【2026·广东·质量检测】已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．9 D．10 8．【2026·广东·质量检测】设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－b<0　　　 B．0<<1 C.< D．ab>a＋b 9.(多选)【2026·河南·专题练习】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为(　　) A． ≥(a>0，b>0 B． B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C． ≥(a>0，b>0) D．≥(a>0，b>0) 二、填空题 10． 【2025·甘肃兰州·质量检测】当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________． ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 11．【2026·广西南宁·质量检测】设x，y均为正数，且x＋4y＝4，则xy的最大值为 ． 12．【2026·四川内江·质量检测】某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－300x＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为 吨． 3、 解答题 13． 【2026·广西南宁·质量检测】已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7. 14．【2026·四川内江·质量检测】(1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $