2.3二次函数与一元二次方程、不等式的应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础全面练”与“综合应用练”分层设计，覆盖二次函数与不等式应用全知识点，从概念理解到综合应用梯度递进，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|不等式解集、恒成立问题、简单实际应用（销售、刹车距离）|选择/填空/解答题结合，聚焦单一知识点巩固，如分式不等式求解、二次函数恒成立参数范围，培养数学眼光观察现实世界| |综合应用练|含参数不等式、复杂实际问题（航行、几何最值）|多选与解答题为主，强调跨知识点综合，如航行时间不等式模型、矩形扩建面积最值问题，发展数学思维解决问题与数学语言表达应用能力|

　　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)(2026·乌鲁木齐高一检测)不等式≤0的解集为 (　　) A.{x|x≤-2或x≥3}　 B. C.{x|x≤-2或x>3}　 D. 2.(5分)若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4},则实数a的值为 (　　) A.-4 B.-1 C.1 D.4 3.(5分)(2026·赣州高一检测)已知“∀x∈R,不等式x2+4>ax恒成立”为假命题,则a的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 4.(5分)某商店购进一批纪念章,每枚的最低售价为15元,若每枚按最低售价销售,每天能卖出45枚,每枚售价每提高1元,日销售量将减少3枚,为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额,则这批纪念章的销售单价x(单位:元)的取值范围是 (　　) A.{x|10<x<20} B.{x|15≤x<20} C.{x|16<x<20} D.{x|15≤x<25} 5.(5分)(多选)(2026·宁德高一检测)不等式2tx2+tx-<0对于一切实数x都成立,则实数t的取值可以为 (　　) A.-3　 B.- C.0　 D.1 6.(5分)(多选)某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为(30-R)万件,要使附加税不少于128万元,则R的值可以是 (　　) A.3 B.4 C.7 D.8 7.(5分)不等式≥1的解集为　　.  8.(5分)已知不等式x2-2x+5-2a≥0对于任意实数x恒成立,实数a的取值范围为　　.  9.(5分)某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车速v(单位:km/h)之间有如下关系:s=0.21v+0.006v2,在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于39 m,则这辆汽车刹车前的车速至少为　　km/h.  10.(10分)不等式ax2-ax+2≥0对一切实数x都成立,求实数a的取值范围. 【综合应用练】 11.(5分)某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头,停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头.如果水流速度为4 km/h,该船要在5 h内(包含5 h)完成整个航行任务,那么船的速度至少要达到 (　　) A.45 km/h B.46 km/h C.47 km/h D.48 km/h 12.(5分)(多选)(2026·永州高一检测)已知关于x的不等式ax2+bx-1>0,下列关于此不等式的解集结论正确的是 (　　) A.解集可以是⌀ B.解集可以是R C.解集可以是 D.解集可以是 13.(5分)设x2-2x+a-8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,则a的取值范围是　　.  14.(10分)解关于x的不等式:≤0. 15.(10分)如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过点C,已知AB长为4米,AD长为3米,设AN=x米. (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米,则AN的长应在什么范围内? (2)要在矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石,则当AN的长度是多少时,用料最省? 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)(2026·乌鲁木齐高一检测)不等式≤0的解集为 (　　) A.{x|x≤-2或x≥3}　 B. C.{x|x≤-2或x>3}　 D. 【解析】选B.由≤0⇔⇔-2≤x<3,故解集为. 2.(5分)若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4},则实数a的值为 (　　) A.-4 B.-1 C.1 D.4 【解析】选D.由题意知,不等式的解集为{x|x<-1或x>4},则(x-a)(x+1)>0⇔(x+1)(x-4)>0,故a=4. 3.(5分)(2026·赣州高一检测)已知“∀x∈R,不等式x2+4>ax恒成立”为假命题,则a的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.假设“∀x∈R,不等式x2+4>ax恒成立”为真命题,即x2-ax+4>0恒成立, 则Δ=a2-16<0⇔-4<a<4. 所以若“∀x∈R,不等式x2+4>ax恒成立”为假命题, 则a的取值范围为. 4.(5分)某商店购进一批纪念章,每枚的最低售价为15元,若每枚按最低售价销售,每天能卖出45枚,每枚售价每提高1元,日销售量将减少3枚,为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额,则这批纪念章的销售单价x(单位:元)的取值范围是 (　　) A.{x|10<x<20} B.{x|15≤x<20} C.{x|16<x<20} D.{x|15≤x<25} 【解析】选B.由题意,得x[45-3(x-15)]>600,即x2-30x+200<0,所以(x-10)(x-20)<0,解得10<x<20,又每枚的最低售价为15元,所以x的取值范围为{x|15≤x<20}. 5.(5分)(多选)(2026·宁德高一检测)不等式2tx2+tx-<0对于一切实数x都成立,则实数t的取值可以为 (　　) A.-3　 B.- C.0　 D.1 【解析】选BC.当t=0时,-<0成立,当t≠0时,不等式2tx2+tx-<0对于一切实数x都成立, 可知t<0,且Δ=t2+3t<0,解得-3<t<0,综上:-3<t≤0. 6.(5分)(多选)某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为(30-R)万件,要使附加税不少于128万元,则R的值可以是 (　　) A.3 B.4 C.7 D.8 【解析】选BCD.根据题意,要使附加税不少于128万元,需(30-R)×160×R%≥128, 整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8,所以R的值可以是4,7,8. 7.(5分)不等式≥1的解集为　{x|1<x≤3}　.  【解析】由≥1得-1≥0,得≥0,得≥0⇔≤0,得1<x≤3. 8.(5分)已知不等式x2-2x+5-2a≥0对于任意实数x恒成立,实数a的取值范围为　{a|a≤2}　.  【解析】由不等式x2-2x+5-2a≥0对于任意实数x恒成立,可得Δ≤0,即4-4(5-2a)≤0,解得a≤2. 9.(5分)某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车速v(单位:km/h)之间有如下关系:s=0.21v+0.006v2,在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于39 m,则这辆汽车刹车前的车速至少为　65　km/h.  【解析】设这辆汽车刹车前的车速为v km/h(v>0), 根据题意,有s=0.21v+0.006v2≥39,整理得6v2+210v-39×1 000≥0, 解得v≥65或v≤-100(舍去),所以这辆汽车刹车前的速度至少为65 km/h. 10.(10分)不等式ax2-ax+2≥0对一切实数x都成立,求实数a的取值范围. 【解析】当a=0时,不等式等价于2≥0,恒成立,所以a=0符合条件. 当a≠0时,不等式等价于即解得0<a≤8, 所以a的取值范围是{a|0≤a≤8}. 【综合应用练】 11.(5分)某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头,停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头.如果水流速度为4 km/h,该船要在5 h内(包含5 h)完成整个航行任务,那么船的速度至少要达到 (　　) A.45 km/h B.46 km/h C.47 km/h D.48 km/h 【解析】选B.设船速为x km/h,则由题意得+≤(x>4),所以150(x-4)+252(x+4)≤9(x+4)(x-4),化简得9x2-402x-552≥0,所以(9x+12)(x-46)≥0,解得x≤-(舍去),或x≥46, 所以船速至少为46 km/h. 12.(5分)(多选)(2026·永州高一检测)已知关于x的不等式ax2+bx-1>0,下列关于此不等式的解集结论正确的是 (　　) A.解集可以是⌀ B.解集可以是R C.解集可以是 D.解集可以是 【解析】选ACD.选项A: 当a=0,b=0时,-1>0不成立, 此时不等式ax2+bx-1>0的解集为⌀,故A正确; 选项B:当a≤0时,不等式的解集不可能为R, 当a>0时,Δ=b2+4a>0恒成立,无法满足Δ<0,所以函数y=ax2+bx-1必与x轴有2个交点, 所以不等式ax2+bx-1>0的解集不能为R,故B错误; 选项C:当a=0,b=1时,不等式ax2+bx-1>0变为x-1>0,解得x>1, 此时不等式ax2+bx-1>0的解集是,故C正确; 选项D:若解集为,则方程ax2+bx-1=0的两个根为1和2, 所以,解得, 此时不等式为-x2+x-1>0,整理得x2-3x+2<0,即(x-1)(x-2)<0, 解得1<x<2,满足题意,故D正确. 13.(5分)设x2-2x+a-8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,则a的取值范围是　{a|a≤5}　.  【解析】原不等式x2-2x+a-8≤0转化为a≤-x2+2x+8对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立, 设y=-x2+2x+8,易知y在x∈{x|1≤x≤3}上的最小值为5,所以a≤5. 14.(10分)解关于x的不等式:≤0. 【解析】≤0等价于, 当a=a2时,a=0或1,x∈⌀; 当a<a2时,a>1或a<0,a≤x<a2; 当a>a2时,0<a<1,a2<x≤a. 综上所述:当a=0或1时,解集为⌀; 当a>1或a<0时,解集为{x|a≤x<a2}; 当0<a<1时,解集为{x|a2<x≤a}. 15.(10分)如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过点C,已知AB长为4米,AD长为3米,设AN=x米. (1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米,则AN的长应在什么范围内? 【解析】(1)由DC∥AM,可得,则,则AM=,花坛AMPN的面积等于AM·AN=>54,由题意得x>3,可得2x2-27x+81>0,即(2x-9)(x-9)>0, 解得3<x<或x>9,所以AN的长应在的范围为{x|3<x<或x>9}. (2)要在矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石,则当AN的长度是多少时,用料最省? 【解析】(2)根据题意,可得扩建部分面积S=-12, 令t=x-3>0,可得S=-12=4(t++6)-12≥4(2+6)-12,当且仅当t=,即t=3时,等号成立,即AN=x=6米时,用料最省. 学科网（北京）股份有限公司 $