1.3 集合的基本运算 11题型分类（讲+练）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集、全集、补集的定义、性质及运算律，从概念辨析（如“x∈A或x∈B”的三种情况）到运算方法（列举法、描述法、数轴/Venn图工具），再到11类题型应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料亮点在于题型分类系统，通过“思考”“特别提醒”深化概念理解，结合Venn图、数轴培养数学眼光与直观想象，通过求参数范围、新定义问题等训练数学思维的逻辑性，课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习查漏补缺。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.3 集合的基本运算11题型分类 一、并集 【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示． 【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 二、交集 【特别提醒】 交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅。 三、全集 1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 2.记法：全集通常记作 U. 【思考】全集一定是实数集R吗？ 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式， 全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 四、补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【特别提醒】 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②表示一个集合，且()⊆U； ③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即＝{x|x∈U，且x∉A}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈，二者必居其一． 五、运算律 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. （一） 并集的运算 1、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 2、集合并集运算应注意： (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个． (3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 题型1：求两个集合的并集 1．已知集合 ， ，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·陕西商洛·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合， 则 （    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合，，集合满足，则集合可以是（     ） A． B． C． D． 7．【多选】（2026高一·广东惠州·阶段检测）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 8．（2026高三·广东·阶段检测）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 题型2：利用并集运算求参数 9．已知集合，.若，求m的取值范围. 10．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·贵州黔西南·阶段检测）设已知集合，若，求实数a的取值范围. 12．（2026·上海·模拟预测）若，，且，则实数取值的集合是____________. 13．（2026高一·全国·专题练习）集合，，若，则 __． 14．（2026高一·上海·阶段检测）满足的集合的个数为________个． （二） 交集的运算 1、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 2、求集合A∩B的步骤： (1)搞清集合A，B的代表元素是什么； (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来； (3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅) 题型3：求两个集合的交集 15．（2026高二·天津河北·期末）已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 16．（2026高一·广东广州·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 17．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026高一·江苏连云港·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026高一·甘肃定西·期末）若集合，，则_______． 题型4：利用交集运算求参数 20．（2026高一·山西吕梁·期末）集合，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 21．（2026高一·江苏无锡·阶段检测）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．已知集合，或.若，求实数的取值范围. 23．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 24．已知集合.，求实数m的取值范围. （三） 补集的基本运算 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 题型5：求两个集合的补集 25．（2026·北京大兴·模拟预测）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 26．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 27．（河南驻马店市青铜鸣2025-2026学年高二学期5月阶段检测数学试题（A卷））设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 28．（2026高三·山东·阶段检测）已知全集，集合，则集合元素的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型6：利用补集运算求参数 29．（2026高一·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 30．（2026高二·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 31．（2026·山东威海·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 32．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 33．（2026高一·广东汕头·阶段检测）设集合，，，若，则_____. （四） 集合交、并、补集的综合运算 1、解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到. 题型7：利用集合的交并补运算求集合 34．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 35．（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 36．（2026高一·重庆·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 37．（2026·山东·模拟预测）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 38．（2026高一·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 题型8：利用集合的交并补集运算求参数范围 39．（2026高一·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 40．（2026高一·江苏南京·阶段检测）已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 41．（2026高二·重庆·阶段检测）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（2026高一·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （五） Venn图的应用及集合的新定义问题 1、韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 2、集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 题型9：韦恩图的应用 43．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 44．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 45．（2026高一·上海·期中）若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 46．（2026高一·陕西·期中）设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 题型10：容斥原理 47．（2026高二·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 48．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 49．（2026高一·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 50．（2026高一·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 题型11：集合新定义问题 51．（2026高二·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 52．（2026高一·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 53．（2026高一·江苏南通·期中）已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则________. 54．（2026高一·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 55．（2026·辽宁·模拟预测）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 1．（2026高一·山东济宁·期中）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·江西·期中）设集合，，且，则的子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 5．（2026高一·全国·专题练习）已知集合 则 （    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设全集 ，集合 ，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·四川成都·模拟预测）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 9．【多选】（2026高一·安徽·阶段检测）设集合，，集合中所有元素之和为7，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．【多选】（2026高一·辽宁·阶段检测）已知集合为全集，集合，是的子集，且满足，则（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高一·辽宁·阶段检测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，则集合_________． 13．（2026高一·福建厦门·阶段检测）设集合，且，则值是____或____. 14．（2026高一·山东潍坊·阶段检测）已知，若，则的取值范围为__________. 15．（2026高一·上海·期末）已知集合，，若，则______． 16．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）设全集，，，则集合__________． 17．（2026高一·福建漳州·期中）设集合，集合，若中恰有2个元素，且定义，则的子集个数是__________． 18．（2026高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 19．（2026高一·安徽亳州·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 20．（2026高一·河南周口·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 21．（2026高一·北京·阶段检测）已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 22．（2026高一·浙江宁波·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若且，求的取值范围． 23．（2026高一·浙江杭州·期中）已知，集合，， (1)当时，求，； (2)若，求m的取值范围． 24．（2026高一·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 25．（2026高一·天津滨海新区·期中）已知集合. (1)当时，求； (2)若集合为非空集合且，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.3 集合的基本运算11题型分类 一、并集 【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示． 【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 二、交集 【特别提醒】 交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅。 三、全集 1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 2.记法：全集通常记作 U. 【思考】全集一定是实数集R吗？ 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式， 全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 四、补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【特别提醒】 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②表示一个集合，且()⊆U； ③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即＝{x|x∈U，且x∉A}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈，二者必居其一． 五、运算律 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. （一） 并集的运算 1、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 2、集合并集运算应注意： (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个． (3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 题型1：求两个集合的并集 1．已知集合 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的知识求得正确答案. 【详解】因为集合 ， ，所以 . 2．（2026高三·陕西商洛·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，再求集合并集运算即可. 【详解】因为，， 所以 故选：D 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合，， 由上图可得． 4．已知集合， 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 5．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 所以. 6．（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合，，集合满足，则集合可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，，不含 ， 不满足，故选项A错误； 选项B，，不含， ， 不满足，故选项B错误； 选项C，，不含， ， 不满足，故选项C错误； 选项D，，同时含， ， 满足，故选项D正确. 7．【多选】（2026高一·广东惠州·阶段检测）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】， 则，，则AB正确. 8．（2026高三·广东·阶段检测）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】由题意得，当时，无解；当时，即；当时，即；当时，即，故， 根据并集的概念可得，共6个元素. 题型2：利用并集运算求参数 9．已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 10．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可. 【详解】因为中恰有三个元素，所以或或， 结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或. 故选：D． 11．（2026高二·贵州黔西南·阶段检测）设已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由题意得，分类讨论集合是否为空集并将结果取并集即可. 【详解】由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即， 所以，解得； 所以实数的取值范围是. 12．（2026·上海·模拟预测）若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【分析】根据并集的定义可得是集合中的元素，再结合集合元素的互异性排除，即可得到实数的取值集合. 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 13．（2026高一·全国·专题练习）集合，，若，则 __． 【答案】0或 【分析】根据集合并集的性质，结合方程解的情况分类讨论进行求解即可. 【详解】集合， 因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，，则， 解得， 综上所述，或． 故答案为：0或． 14．（2026高一·上海·阶段检测）满足的集合的个数为________个． 【答案】 【分析】根据并集、子集的定义求出满足条件的集合M. 【详解】由于， 则，设集合的子集为， 则，由于集合的子集有个， 所以满足条件的集合的个数为个. 故答案为： （二） 交集的运算 1、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 2、求集合A∩B的步骤： (1)搞清集合A，B的代表元素是什么； (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来； (3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅) 题型3：求两个集合的交集 15．（2026高二·天津河北·期末）已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以. 因此. 16．（2026高一·广东广州·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知集合，， 故. 17．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. 18．（2026高一·江苏连云港·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知两集合均为点集，则两集合的交集即为两直线的交点. 【详解】联立两个直线方程得方程组，解得， 所以. 故选：D. 19．（2026高一·甘肃定西·期末）若集合，，则_______． 【答案】 【详解】因为，，所以，集合是所有大于的实数构成的集合， ，不满足集合的条件，，，，均满足集合的条件，因此． 题型4：利用交集运算求参数 20．（2026高一·山西吕梁·期末）集合，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的结果可得出关于的等式，然后检验即可. 【详解】因为，集合，，则，解得， 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意. 故选：A. 21．（2026高一·江苏无锡·阶段检测）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，解得， 当时，则，解得：． 综上所述，的取值范围为. 故选：A． 22．已知集合，或.若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 23．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用交集的性质可知点同时属于集合A和B，将该点代入两个集合对应的方程求解即可得到b的值. 【详解】由可得，点同时满足集合、的对应函数方程， 将代入的方程，得，解得； 将和代入的方程， 得，解得， 因此. 24．已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. （三） 补集的基本运算 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 题型5：求两个集合的补集 25．（2026·北京大兴·模拟预测）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 所以． 26．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】由正整数集的定义结合补集的运算即可求解. 【详解】由题意得 则共5个元素. 27．（河南驻马店市青铜鸣2025-2026学年高二学期5月阶段检测数学试题（A卷））设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 28．（2026高三·山东·阶段检测）已知全集，集合，则集合元素的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题集合， 所以， 所以集合元素的个数是4. 题型6：利用补集运算求参数 29．（2026高一·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以，，. 故选：C 30．（2026高二·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据补集的定义，先确定集合 ，再比较集合中的元素求出 . 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 31．（2026·山东威海·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的性质以及补集的定义即可求解. 【详解】已知集合， 由补集的定义可知，即， 因此必有且，解得，故A正确. 32．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 33．（2026高一·广东汕头·阶段检测）设集合，，，若，则_____. 【答案】 【分析】根据补集的运算可得，即可列等式求解. 【详解】由可得，由于，所以，所以，解得， 故答案为： （四） 集合交、并、补集的综合运算 1、解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到. 题型7：利用集合的交并补运算求集合 34．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，故. 35．（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， 由得，所以， 所以. 36．（2026高一·重庆·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，又，所以， 因为全集，所以. 37．（2026·山东·模拟预测）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的值域，即集合，再根据集合的交并补运算即可确定选项. 【详解】当时，，即，则， 又，故. 故选：B. 38．（2026高一·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由补集、交集和并集定义依次求出、、和，再由子集定义结合交集和并集定义即可逐项判断各选项得解. 【详解】由题，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 题型8：利用集合的交并补集运算求参数范围 39．（2026高一·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 40．（2026高一·江苏南京·阶段检测）已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据集合运算的性质，得出，而集合中的元素为方程的根，所以分两种情况讨论集合中的元素分别是和的根，解出的值，进而求出两个方程的所有根，即可确定集合. 【详解】设的根为，，则，； 设的根，，则. 因为，所以，即， 当1是的根，2是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素； 当2是的根，1是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素. 故选：B. 41．（2026高二·重庆·阶段检测）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 42．（2026高一·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. （五） Venn图的应用及集合的新定义问题 1、韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 2、集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 题型9：韦恩图的应用 43．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 44．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 45．（2026高一·上海·期中）若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据给定的韦恩图，利用并集、补集的定义求解. 【详解】由集合，或，得或， 由韦恩图得图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B 46．（2026高一·陕西·期中）设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图直接得出结果. 【详解】由图可知，图中阴影的部分表示集合. 故选：A 题型10：容斥原理 47．（2026高二·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 48．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 49．（2026高一·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 50．（2026高一·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【分析】设学生中同时参加径赛和射击的有人，应用容斥原理列方程求，进而求出只参加一项比赛的人数. 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D 题型11：集合新定义问题 51．（2026高二·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 52．（2026高一·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【答案】010101 【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解. 【详解】由，，得，则， 因此此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0， 所以表示的6位字符串是010101. 故答案为：010101 53．（2026高一·江苏南通·期中）已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则________. 【答案】27 【分析】利用列举法，结合并集的定义即可求解. 【详解】时，，则满足的有: 当时，， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或或或或或， 综上可得. 故答案为：27 54．（2026高一·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 55．（2026·辽宁·模拟预测）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 1．（2026高一·山东济宁·期中）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集和补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 3．（2026高一·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 4．（2026高一·江西·期中）设集合，，且，则的子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件求出a，b的值，再求出即可得解. 【详解】因，则，，于是得，解得，因此，， 即，，则有， 所以的子集个数为. 故选：D 5．（2026高一·全国·专题练习）已知集合 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设全集 ，集合 ，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知全集 ，集合 ， 则共6个元素. 7．（2026·四川成都·模拟预测）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，所以. 8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以，又，所以. 9．【多选】（2026高一·安徽·阶段检测）设集合，，集合中所有元素之和为7，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】根据一元二次方程的解法，结合集合并集的定义进行求解即可. 【详解】. ，或， 当时，，，因为，所以符合题意； 当时，，显然中必含有， 因为，所以， 综上所述：实数a的值为， 故选：ABC 10．【多选】（2026高一·辽宁·阶段检测）已知集合为全集，集合，是的子集，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意作出Venn图，结合图形逐一判断各选项即可得解. 【详解】由题意作出如图所示的Venn图，    由，知，没有共同元素， 所以，所以，A项正确； 而，仅才有成立，B项错误； 由图可知，仅才有成立，此外皆有，C项错误； 而，D项正确． 故选：AD． 11．【多选】（2026高一·辽宁·阶段检测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用补集、交集、并集的定义逐项计算判断即得. 【详解】全集，集合，， 则或， 对于A，，A不是； 对于B，，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D是. 故选：BD 12．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，则集合_________． 【答案】 【详解】已知集合，， ． 13．（2026高一·福建厦门·阶段检测）设集合，且，则值是____或____. 【答案】 0 【分析】根据，建立元素关系，验证集合中元素的互异性是否成立，可得到结论. 【详解】∵，∴， ∴或，解得或1或0， 当时，，，满足； 当时，中元素为，不满足集合元素的互异性，应舍去； 当时，，，满足， ∴或0. 故答案为：或0. 14．（2026高一·山东潍坊·阶段检测）已知，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由，可得，求解即可． 【详解】由，可得，则，解得， 综上，的取值范围为 故答案为： 15．（2026高一·上海·期末）已知集合，，若，则______． 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，此时，即； 当时，，此时，所以成立； 当时，，此时，即. 16．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）设全集，，，则集合__________． 【答案】 【分析】由集合的交并补混合运算关系得到即可； 【详解】因为，， 所以集合中没有0,1,8,9， 又，所以集合中有2,4，同时 ，说明集合中没有5,7,10， 综上，集合， 故答案为：. 17．（2026高一·福建漳州·期中）设集合，集合，若中恰有2个元素，且定义，则的子集个数是__________． 【答案】 【分析】首先求出集合，即可求出，，再根据所给定义求出，即可求出的子集个数. 【详解】因为集合且中恰有2个元素， 则，所以， 又，所以，， 又， 所以， 所以的子集有个. 故答案为： 18．（2026高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【详解】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 19．（2026高一·安徽亳州·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选条件①或②，都有，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，所以，或， 当时，， 因此，. （2）解：选条件①或②，都有，     当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上：，因此，实数的取值范围为. 20．（2026高一·河南周口·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求额吉；或. （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 21．（2026高一·北京·阶段检测）已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，求出集合中的元素，进而判断其中的整数； （2）根据集合补集和交集的概念，判断集合之间的包含关系，分类讨论集合的情况，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）由题意可得，即，解得，即， 所以集合中的所有整数为. （2）当时，可知， 当时，，解得； 当时，即时，可得，解得， 综上，当时，. 22．（2026高一·浙江宁波·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）运用并集的概念和运算法则计算求出，先求出，再利用交集的运算法则计算； （2）利用已知条件得出，，进而列不等式求解． 【详解】（1）当时，集合， 已知集合， ， 或， ． （2）已知且，故，， ，解得， ，故，解得， ，即的取值范围为． 23．（2026高一·浙江杭州·期中）已知，集合，， (1)当时，求，； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）由题设，，则或， 所以，； （2）由，若，则，满足题意； 若，则，可得， 综上，或. 24．（2026高一·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由元素与集合的关系得到，求解即可； （2），集合中有且仅有3个整数元素，得到，构造不等式求解即可. 【详解】（1）因为 所以， 即，解得， 所以的取值范围是 （2）因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 25．（2026高一·天津滨海新区·期中）已知集合. (1)当时，求； (2)若集合为非空集合且，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）当时，得到，结合集合交集，并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，得到，列出不等式组，即可求解； （3）由，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得集合，因为， 所以，或， 则. （2）解：由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （3）解：由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $