1.1 集合的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念，系统梳理元素与集合的定义、元素的确定性互异性无序性、元素与集合的关系、常见数集记法及列举法描述法等表示方法，构建从基础概念到应用的学习支架。 资料按7大题型分类，含方法提炼与实例，如判断集合构成培养抽象能力（数学眼光），求参数问题锻炼逻辑推理（数学思维），助力课中教学与课后巩固，提升学生用数学语言表达的能力。

§1.1 集合的概念 目录 题型1：判断一组对象是否构成集合 3 题型2：集合的表示方法 5 题型3：元素与集合关系的判断 9 题型4：由元素与集合的关系求参数 11 题型5：集合中元素的个数及参数问题 13 题型6：根据集合相等求参数 15 题型7：集合概念中的创新问题 19 1. 集合与元素的概念 (1) 一般地，把研究对象统称元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）． 通常用大写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素. (2) 集合中元素的三个特性 ①确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了. ②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或者说是互异的），这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算集合的一个元素. ③无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分. (3) 元素与集合的关系 如果是集合的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作. 2. 常见的数集及其记法 非负整数集(或自然数集)：N； 正整数集：N*(或N＋)； 整数集：Z； 有理数集Q； 实数集：R. 3. 集合的表示方法 (1) 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. (2) 描述法 一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法. 注意 数集与点集的区分 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示，即通常表示数的集合，通常表示平面直角坐标系内点的集合. 题型1：判断一组对象是否构成集合 方法提炼 核心是检验确定性：对每个对象，能否明确判断它是否属于该组。若存在边界模糊、无法确定归属的对象，则不能构成集合。互异性、无序性一般不作为排除依据。 【例1.1.】 下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 【例1.2.】 下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】判断元素能否构成集合 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 【例1.3.】 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 【例1.4.】 下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】直接由集合的定义判断可得. 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 题型2：集合的表示方法 方法提炼 (1) 列举法与描述法互化 ①列举法描述法：找出元素共同特征； ②描述法列举法：根据条件求出所有满足条件的元素。 (2) 描述法 的代表元素是，的代表元素是有序数对，表示点集.代表元素不同，集合可能完全不同。做题时务必先看清代表元素是什么。 【例2.1.】 用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 【例2.2.】 把集合用列举法表示为________________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、常用数集或数集关系应用 【分析】当取时，对应的值为，再根据列举法即可求解. 【详解】当取时，对应的值为， 所以. 故答案为：. 【例2.3.】 用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 【例2.4.】 把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【难度】0.82 【知识点】自然语言表示集合、描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 题型3：元素与集合关系的判断 方法提炼 判断元素与集合关系的两种方法 (1) 直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的. (2) 推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件. 【例3.1.】 下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】常用数集或数集关系应用 【详解】①，正确；②，正确； ③，错误；④，错误. 故判断正确的共2个. 【例3.2.】 已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】对于A，当时，，所以，故A错误. 对于B，在内无解，所以，故B错误. 对于C，当时，，所以，故C正确. 对于D，由，得，故，故D错误. 【例3.3.】 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【详解】因为， 所以，，，. 【例3.4.】 设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 【例3.5.】 （多选）设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】若，，设，则 ，故A错误，B正确； 若，，设， 则 ，故C正确，D错误. 故选：BC. 题型4：由元素与集合的关系求参数 方法提炼 当时，若集合是用描述法表示的，则一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程（组）、不等式（组）等；若集合是用列举法表示的，则一定等于集合中的其中一个元素.利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意求得的参数一定要代回检验，确保满足集合中元素的互异性. 【例4.1.】 设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 【例4.2.】 设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】先求得集合，由此求得. 【详解】解方程，因式分解得， 解得或故. 由得或. 【例4.3.】 已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围. 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 【例4.4.】 已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 题型5：集合中元素的个数及参数问题 方法提炼 求集合元素个数 (1) 列举法：直接列出所有满足条件的元素。 (2) 方程法：将条件转化为方程，求方程不同解的个数。 (3) 利用互异性：注意去重。当集合含参数时，对参数取值分类讨论后逐一验证互异性。 【例5.1.】 由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案. 【详解】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 【例5.2.】 已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 【例5.3.】 已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 【例5.4.】 若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 题型6：根据集合相等求参数 方法提炼 若 ，则两集合元素完全相同。一般策略： (1) 确定哪个元素是哪个元素的对应（分类讨论）； (2) 列出方程组求解； (3) 务必用互异性检验，舍去导致重复元素的解。 【例6.1.】 下列说法正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．或 C．已知，，且，则 D．集合，或中有无数个元素 【答案】BCD 【难度】0.7 【知识点】描述法表示集合、判断命题的真假、根据集合相等关系进行计算、常用数集或数集关系应用 【分析】逐一分析各选项中集合的表示、运算及性质是否符合定义，判断出错误选项. 【详解】对于A：对于，若取，则是偶数，故A错误； 对于B，集合的补集为，但不存在同时等于2和的实数， 因此该补集为空集，原集合即为全体实数集，故B正确； 对于C：由，可分两种情况讨论： ① 若且，由得，两边同除以得，即； ② 若且，由得，两边同除以得，即； 两种情况均得，故C正确； 对于D：集合表示平面直角坐标系中轴、轴上所有点的集合， 因为坐标轴上的点有无数个，因此该集合的元素个数为无数个，故D正确. 【例6.2.】 设a，，若集合，则______． 【答案】0 【难度】0.7 【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 【例6.3.】 设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数、根据集合相等关系进行计算 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 【例6.4.】 已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数、根据集合相等关系进行计算 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【例6.5.】 已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.4 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【详解】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 题型7：集合概念中的创新问题 【例7.1.】 定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 【例7.2.】 定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】集合元素互异性的应用、集合新定义 【分析】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案. 【详解】， 由题意得. 故选：C 【例7.3.】 已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合新定义 【分析】用列举法列出集合、，再根据所给定义列出即可判断. 【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 【例7.4.】 (多选)若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（   ） A．集合是“完美集” B．“完美集”一定是无限集 C．实数集R是“完美集” D．若集合S是“完美集”，且，，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】A选项，举出反例可得A错误；B选项，推出“完美集”中含有所有的整数，由于整数集Z为无限集，故“完美集”为无限集，B正确；C选项，实数集R满足三个性质，C正确；D选项，先得到，又，则，D正确. 【详解】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，集合是“完美集”，因为，，则， 则，……，依次可得中含有所有的整数， 由于整数集Z为无限集，故“完美集”为无限集，B正确； C选项，实数集R满足（1），；（2）若，，则； （3）若，且，则，故实数集R是“完美集”，C正确； D选项，若集合S是“完美集”， ，则，， 又，则，D正确. 故选：BCD 【例7.5.】 根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； （2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【详解】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合，， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §1.1 集合的概念 目录 题型1：判断一组对象是否构成集合 3 题型2：集合的表示方法 3 题型3：元素与集合关系的判断 4 题型4：由元素与集合的关系求参数 5 题型5：集合中元素的个数及参数问题 6 题型6：根据集合相等求参数 7 题型7：集合概念中的创新问题 7 1. 集合与元素的概念 (1) 一般地，把研究对象统称元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）． 通常用大写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素. (2) 集合中元素的三个特性 ①确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了. ②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或者说是互异的），这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算集合的一个元素. ③无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分. (3) 元素与集合的关系 如果是集合的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作. 2. 常见的数集及其记法 非负整数集(或自然数集)：N； 正整数集：N*(或N＋)； 整数集：Z； 有理数集Q； 实数集：R. 3. 集合的表示方法 (1) 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. (2) 描述法 一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法. 注意 数集与点集的区分 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示，即通常表示数的集合，通常表示平面直角坐标系内点的集合. 题型1：判断一组对象是否构成集合 方法提炼 核心是检验确定性：对每个对象，能否明确判断它是否属于该组。若存在边界模糊、无法确定归属的对象，则不能构成集合。互异性、无序性一般不作为排除依据。 【例1.1.】 下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【例1.2.】 下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【例1.3.】 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【例1.4.】 下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 题型2：集合的表示方法 方法提炼 (1) 列举法与描述法互化 ①列举法描述法：找出元素共同特征； ②描述法列举法：根据条件求出所有满足条件的元素。 (2) 描述法 的代表元素是，的代表元素是有序数对，表示点集.代表元素不同，集合可能完全不同。做题时务必先看清代表元素是什么。 【例2.1.】 用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【例2.2.】 把集合用列举法表示为________________. 【例2.3.】 用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【例2.4.】 把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 题型3：元素与集合关系的判断 方法提炼 判断元素与集合关系的两种方法 (1) 直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的. (2) 推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件. 【例3.1.】 下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【例3.2.】 已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【例3.5.】 （多选）设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型4：由元素与集合的关系求参数 方法提炼 当时，若集合是用描述法表示的，则一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程（组）、不等式（组）等；若集合是用列举法表示的，则一定等于集合中的其中一个元素.利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意求得的参数一定要代回检验，确保满足集合中元素的互异性. 【例4.1.】 设，集合，若，则______. 【例4.2.】 设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【例4.3.】 已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5：集合中元素的个数及参数问题 方法提炼 求集合元素个数 (1) 列举法：直接列出所有满足条件的元素。 (2) 方程法：将条件转化为方程，求方程不同解的个数。 (3) 利用互异性：注意去重。当集合含参数时，对参数取值分类讨论后逐一验证互异性。 【例5.1.】 由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【例5.2.】 已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【例5.3.】 已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【例5.4.】 若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型6：根据集合相等求参数 方法提炼 若 ，则两集合元素完全相同。一般策略： (1) 确定哪个元素是哪个元素的对应（分类讨论）； (2) 列出方程组求解； (3) 务必用互异性检验，舍去导致重复元素的解。 【例6.1.】 下列说法正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．或 C．已知，，且，则 D．集合，或中有无数个元素 【例6.2.】 设a，，若集合，则______． 【例6.3.】 设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【例6.5.】 已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 题型7：集合概念中的创新问题 【例7.1.】 定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例7.2.】 定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例7.3.】 已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【例7.4.】 (多选)若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（   ） A．集合是“完美集” B．“完美集”一定是无限集 C．实数集R是“完美集” D．若集合S是“完美集”，且，，则 【例7.5.】 根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $