第四单元 圆（易错思维训练）数学人教版六年级上册（新教材）

**基本信息** 聚焦圆与多边形组合、动态滚动等易错点，通过梯度题型强化几何直观与空间观念，培养推理意识和应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题（如正六边形与正方形周长比、圆内接正方形面积）|图形组合的量比关系，考查空间想象|从圆的基本性质到与多边形内接外切的边长、面积推导| |填空|8题（如胶带捆圆柱、跑道起跑位置）|动态轨迹与实际应用，强化模型意识|从静态计算到动态滚动（圆心轨迹）、实际场景（跑道宽度）的逻辑延伸| |计算|2题（阴影部分周长面积）|组合图形量算，突出运算能力|综合圆与多边形的周长面积公式，培养分解与转化思维| |解答|8题（如套圈形状选择、机器人运动）|跨情境应用，发展应用意识|从数学模型到生活问题（公平性、优化设计）的迁移应用|

第四单元 圆（易错思维训练） 一、选择题 1．如图，在正方形内画一个最大的圆，圆内再画一个最大的正六边形，那么正六边形的周长是正方形周长的（    ）。 A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】设正方形的边长为2。因为正方形内最大圆的直径等于正方形边长，所以可得到圆的直径长度。因为圆内最大正六边形的边长等于圆的半径，所以可得到正六边形的边长。分别计算正方形周长和正六边形周长，再求两者的比值即可。 【解答】根据分析： 假设正方形边长是2，正方形的周长就是2×4＝8 正方形里画最大的圆，这个圆的直径刚好和正方形的边长相等 所以圆的直径是2，半径是2÷2＝1 圆内画最大的正六边形，圆里最大的正六边形，每条边的长度都等于圆的半径，也就是1 正六边形有6条边，它的周长是1×6＝6 正六边形周长÷正方形周长＝6÷8＝＝ 那么正六边形的周长是正方形周长的。 2．如图，小文在圆内画了一个最大的正方形。若正方形的面积是平方厘米，则圆的面积是（    ）平方厘米。 A．7.85 B．12.56 C．15.7 D．18.84 【答案】C 【分析】圆内最大的正方形面积等于圆的半径乘直径，据此计算出半径的平方，再根据求出圆的面积。 【解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米 3．在一个面积是113.04cm2的圆内画一个最大的正方形，继续在这个正方形内画一个最大的圆，正方形内的圆的面积是（    ）cm2。 A．56.52 B．36 C．28.26 D．14.13 【答案】A 【分析】根据圆的面积＝πr2（r为半径）求出外圆半径；外圆直径＝外圆半径×2。正方形对角线的长度等于外圆的直径，将正方形看作两个完全一样、底是外圆直径、高是外圆半径的直角三角形，正方形的面积＝三角形的面积×2＝底×高÷2×2；正方形的边长是内圆的直径，根据正方形的面积＝边长×边长求出内圆半径的平方；再代入圆的面积公式求出内圆面积。 【解答】113.04÷3.14＝36（cm2） 因为6×6＝36，所以外圆半径是6cm。 外圆直径是：6×2＝12（cm） 正方形的面积是： 12×6÷2×2 ＝72÷2×2 ＝36×2 ＝72（cm2） 设内圆的半径是cm。内圆的直径是正方形的边长，所以： 内圆面积是：3.14×18＝56.52（cm2） 正方形内的圆的面积是56.52cm2。 4．如图，长方形的面积和圆的面积相等，长方形的周长（    ）圆的周长。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法比较 【答案】A 【分析】由图可知圆的半径等于长方形的宽，根据圆的面积等于长方形的面积。圆的面积＝，长方形的面积＝长×宽，即可列方程求出半径的长度；再根据圆的周长＝和长方形的周长＝（长＋宽）×2即可计算并比较。 【解答】解：设圆的半径和长方形的宽为r厘米。 3.14r＝3.14×r2 r＝1 3.14×1×2＝6.28（厘米） （3.14＋1）×2 ＝4.14×2 ＝8.28（厘米） 8.28厘米＞6.28厘米 即长方形的周长大于圆的周长。 5．如图，等边三角形的边长为10cm，一个直径为2cm的小圆沿三角形的外围滚动了一周，圆心留下的轨迹长（    ）cm。 A．30 B．36.28 C．42.56 D．48.84 【答案】B 【分析】圆心留下的轨迹由等边三角形的周长和一个圆周长组成。小圆的圆心在三角形顶点时形成了3个圆心角是120°的扇形，这3个扇形正好可以拼成一个圆。圆的周长C＝πd。 【解答】10×3＋3.14×2 ＝30＋6.28 ＝36.28（cm） 所以，圆心留下的轨迹长36.28cm。 【点睛】圆心留下的轨迹由3条10cm线段和一个圆周长组成。 6．用一块长12米、宽8米的长方形铁皮，剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼），至多能做多少（    ）个。 A．11 B．10 C．8 D．13 【答案】C 【分析】先求出圆的直径，用长除以圆的直径，宽除以直径，去尾求得长和宽各自可剪出多少个小圆，再用长上的圆的个数，乘宽上圆的个数，即可求得总的圆的个数。 【解答】小圆的直径为1.5×2＝3（米） 长可以剪12÷3＝4（个） 宽可以剪8÷3＝2（个）……2（米） 至多可以剪4×2＝8（个）半径1.5米的小圆。 故答案为：C 【点睛】由于所剪小圆不能剪拼，所以不能用长方形的面积除以圆的面积。先求得圆的直径，用长和宽分别除以圆的直径，去尾后的结果再相乘即可。 7．从游乐场的过山车售票处到碰碰车售票处，红红沿大圆周①走，丫丫沿小圆周②走，她们所走的路程相比较，（    ）。 A．红红走的路程近 B．丫丫走的路程近 C．一样近 D．无法比较 【答案】C 【分析】红红走的路程是一个大半圆弧，假设这个半圆的直径是D，所以，她走的路程＝半圆周长＝ πD÷2。丫丫走的路程是三个小半圆弧的组合，设这三个小圆的直径分别为d1、d2、d3，从图中可以看出，这三个小圆的直径加起来正好等于大半圆的直径D，即d1＋d2＋d3＝D。丫丫走的总路程＝三个小半圆弧长度之和＝πd1÷2＋πd2÷2＋πd3÷2＝π（d1＋d2＋d3）÷2＝πD÷2。对比红红走的路程和丫丫走的路程，即可判断。 【解答】红红走的路程：πD÷2 丫丫走的路程：πd1÷2＋πd2÷2＋πd3÷2 ＝π（d1＋d2＋d3）÷2 ＝πD÷2 所以红红走的路程和丫丫走的路程一样近。 故答案为：C 【点睛】这道题的关键是：无论有几个小圆，只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径，那么大圆周长的一半就等于这些小圆周长一半的和，所以红红和丫丫走的路程一样近。 8．如图，《九章算术》中把圆环内圆周长称为“中周”，圆环外圆的周长称为“外周”，两个圆之间的宽度称为“径”。并给出了一种求圆环面积的计算方法：“中、外周而半之，以径乘之”，下面说法正确的是（    ）。 ①把圆环转化成梯形，梯形的上底是内圆的周长，下底是外圆的周长，高就是内圆半径与外圆半径的差。 ②“中、外周而半之，以径乘之”是用计算梯形面积的一种方法：（上底＋下底）÷2×高，计算出圆环面积的。 ③可以把图中的梯形进一步转化成一个长方形，如果宽还是内圆与外圆半径的差，那么长方形的长是内圆与外圆周长的平均数。 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据我国古代计算圆环面积的方法：“中、外周而半之，以径乘之”，两个圆之间的宽度称为“径”。即圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×径长，如果把这个圆环转化为一个等腰梯形，梯形的上底是内圆的周长，下底是外圆的周长，高就是内圆半径与外圆半径的差，由梯形的面积公式得：（上底＋下底）×高÷2，可以求出圆环的面积；如果进一步把这个等腰梯形转化为一个长方形，这个长方形的长等于内圆与外圆周长的平均数，长方形的宽等于内圆与外圆半径的差。 【解答】①把圆环转化成梯形，梯形的上底是内圆的周长，下底是外圆的周长，高就是内圆半径与外圆半径的差。说法正确； ②“中、外周而半之，以径乘之”是用计算梯形面积的一种方法：（上底＋下底）÷2×高，计算出圆环面积。说法正确； ③可以把图中的梯形进一步转化成一个长方形，如果宽还是内圆与外圆半径的差，那么长方形的长是内圆与外圆周长的平均数。说法正确。 故答案为：D 【点睛】此题考查的目的是理解掌握我国古代计算圆环面积的方法及应用。 二、填空题 9．在一个长16cm，宽12cm的长方形内画半径是2cm圆，（不重合且不交叉），这样的圆最多能画（ ）个，这些圆的面积之和是（ ）。 【答案】12 48π 【分析】用除法分别求出长方形的长与宽可以画几个圆，再相乘即为圆的个数，根据圆的面积＝πr²计算。 【解答】2×2＝4（cm） 16÷4＝4（个） 12÷4＝3（个） 4×3＝12（个） π×22×12 ＝4π×12 ＝48π（cm²） 这样的圆最多能画12个，这些圆的面积之和是48πcm²。 10．如图，线段AC是大圆的半径，长9厘米，线段BC是小圆的半径，长7厘米，两圆相交部分长4厘米，那么AB长（ ）厘米。 【答案】12 【分析】因为A点和B点在圆心，C点在圆上可得AC和BC都是圆的半径，我们可以把线段AB看作由AC、BC两段组成，再减去重叠的相交部分。已知AC＝9厘米，BC＝7厘米，两圆相交部分长4厘米，这部分是AC与BC重叠的部分，所以AB的长度等于AC＋BC－4。 【解答】9＋7－4 ＝16－4 ＝12（厘米） 所以，AB长12厘米。 【点睛】关键点是利用线段的和差关系，减去重叠部分来计算线段AB的长度。 11．小芳同学在学完圆的知识之后，想到了苏州的小桥流水，创作了下面一幅图。这幅图是由5个完全相同的半圆组合而成，圆规两脚间的距离是（ ）mm。（单位：mm） 【答案】18 【分析】观察图形可知，上半部分是三个直径与两个12毫米的和，下半部分是两个直径与两个22毫米一个16毫米的和，可设：圆的直径为x毫米。列方程：3x＋12×2＝2x＋22×2＋16，解方程，求出直径，再除以2，就是这个圆规两脚之间的距离。 【解答】解：设圆的直径为x毫米。 3x＋12×2＝2x＋22×2＋16 3x＋24＝2x＋44＋16 3x＋24＝2x＋60 3x＋24－2x＝2x＋60－2x x＋24＝60 x＋24－24＝60－24 x＝36 36÷2＝18（mm） 所以圆规两脚间的距离是18mm。 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据题意找出相关的量，列方程，解方程。 12．用胶带把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如图），如果每个圆柱的直径为d，捆3个圆柱至少需要胶带（ ），捆n个圆柱至少需要胶带（ ）。（胶带接头处长度忽略不计） 【答案】πd＋4d πd＋（n－1）×2d 【分析】观察发现：捆1个圆柱，需要的胶带长度是πd。 捆2个圆柱，需要胶带的长度是πd＋2d。 捆3个圆柱，需要胶带的长度是πd＋4d。 捆4个圆柱，需要胶带的长度是πd＋6d。 捆5个圆柱，需要胶带的长度是πd＋8d。 所以，需要胶带的长度是一个圆柱的底面周长加上圆柱的数量减去1的差乘2再乘直径长度的积的和。 【解答】捆3个圆柱至少需要胶带：πd＋（3－1）×2×d ＝πd＋2×2×d ＝πd＋4d 捆n个圆柱至少需要胶带： πd＋（n－1）×2×d ＝πd＋（n－1）×2d 【点睛】需要胶带的长度是一个圆柱的底面周长加上圆柱的数量减去1的差乘2乘直径长度的积的和。 13．一条环形跑道（长度为400米），每条直道长100米，两端弯道最内圈半径约32米，每条跑道宽1米，参加200米比赛时，小红在内圈第一道，小明在内圈第二道，小明应在小红前面（ ）米处起跑才公平；参加400米比赛时，小红在内圈第二道，小明在内圈第一道，小明在小红后面（ ）米处起跑才公平。 【答案】3.14 6.28 【分析】解答这道题需熟知：圆的周长，半圆的弧长，核心是计算不同跑道在弯道部分的长度差。还需要注意：200米比赛时只跑一个弯道和一个直道，直道长度相同，所以只需计算相邻两个弯道的长度差（也就是两个半圆的弧长差）。400米比赛：跑两个弯道和两个直道，直道长度相同，所以需要计算相邻两个跑道的两个弯道的总周长差（也就是两个圆的周长差）。跑道宽度为1米，意味着相邻跑道的弯道半径相差1米。据此解答。 【解答】根据分析： 200米比赛（小红在第一道，小明在第二道） 第一道弯道半径：32（米） 第二道弯道半径：（米） （米） 所以，小明应在小红前面3.14米处起跑才公平。 400米比赛（小红在第二道，小明在第一道） 第一道弯道半径：32（米） 第二道弯道半径：（米） （米） 所以小明在小红后面6.28米处起跑才公平。 【点睛】这类题的关键是直道长度相同，起跑线的差距仅由弯道的周长差决定。200米比赛（半圆）：差距＝×跑道宽度；400米比赛（圆）：差距＝×跑道宽度。 14．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆圆心移动的路程是（ ）厘米，小圆滚动中扫过的面积是（ ）平方厘米。（结果保留π） 【答案】22π 132π 【分析】当小圆紧贴大圆滚动一周时，小圆圆心的运动轨迹是一个以大圆圆心为圆心，半径为大圆半径与小圆半径之和的圆。大圆半径为8厘米，小圆半径为3厘米，因此小圆圆心轨迹的半径为8＋3＝11厘米。根据圆的周长公式C＝2πr（其中C为周长，r为半径），小圆圆心移动的路程为2π×11＝22π（厘米）。 小圆滚动扫过的区域是一个环形，这个环形的外圆半径是大圆半径加上2倍的小圆半径（小圆紧贴大圆外侧滚动，扫过区域的最外侧到大圆圆心的距离是大圆半径加上小圆的直径），内圆半径就是大圆的半径。外圆半径为8＋3×2＝14（厘米），内圆半径为8厘米。根据圆环面积公式S＝π（R2－r2）（其中S为圆环面积，R为外圆半径，r为内圆半径），扫过的面积为π×（142－82），求出结果即可。 【解答】解小圆圆心移动的路程： 轨迹半径：8＋3＝11（厘米） 路程：2×π×11＝22π（厘米） 小圆滚动扫过的面积： 外圆半径：8＋3×2＝8＋6＝14（厘米） 面积：π×（142－82） ＝π×（196－64） ＝132π（平方厘米） 小圆圆心移动的路程是22π厘米，小圆滚动中扫过的面积是132π平方厘米。 15．如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是___________。 【答案】π平方米 【分析】小羊的活动区域被围墙阻挡，分为两部分： 以拴绳子的柱子为圆心，绳子长6米为半径。由于水平墙长7米大于绳长6米，绳子不会绕过水平墙左端；且围墙墙角为直角，故该部分为圆心角是的扇形。 当绳子沿竖直墙向上拉直时，绳子超出竖直墙顶端的部分继续转动，此时半径为绳长减去竖直墙长，图中标注围墙拐角处角度为，小扇形的圆心角与该角构成平角，所以圆心角为。 用S＝分别计算两部分的面积，然后相加，就是小羊的活动区域。 【解答】 ＝ ＝（平方米） 6－4＝2（米） ＝ ＝ ＝（平方米） ＋＝（平方米） 所以小羊A在草地上的最大活动区域面积是平方米。 16．如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为（ ）。 【答案】33.12 【分析】连接BP，涂色部分的面积＝正方形的面积＋半圆的面积－三角形ABP的面积－三角形PQB的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，半圆的面积＝πr2÷2，三角形的面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【解答】连接BP，并分别以AB、BQ为底，作高。如图： 8÷2＝4（cm） 8×8＋3.14×4÷2 ＝64＋3.14×16÷2 ＝64＋50.24÷2 ＝64＋25.12 ＝89.12（cm2） 8×（8＋4）÷2 ＝8×12÷2 ＝96÷2 ＝48（cm2） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（cm2） 89.12－48－8＝33.12（cm2） 三、计算题 17．求下图涂色部分的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】周长：49.12厘米 面积：13.76平方厘米 【分析】观察图形可知，正方形的边长为8厘米，圆直径为8厘米，涂色部分的周长等于正方形三条边的长度与圆的周长之和；涂色部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积； 圆的周长＝圆周率×直径，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×。 【解答】周长： 8×3＋3.14×8 ＝24＋25.12 ＝49.12（厘米） 面积： 8×8－3.14× ＝8×8－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（平方厘米） 18．计算下图中阴影部分的周长和面积。 周长：        面积： 【答案】周长：12.28cm；面积： 【分析】周长由半圆的弧长（半径2cm）与长方形长减半径（5－2＝3cm）的两段线段组成，半圆弧长为3.14×2＝6.28 cm，故周长为6.28＋3＋3＝12.28 cm；面积通过“长方形面积（长5cm、宽2cm）减去半圆面积（半径2cm）”计算，长方形面积为5×2＝10 cm2，半圆面积为3.14×2×2×＝6.28 cm2，故面积为10−6.28＝3.72 cm2。 【解答】周长：（cm）     （cm）                          （cm）                  面积： 答：周长：12.2cm，面积：3.72cm2。 【点睛】两个四分之一圆能拼接成一个半圆，避免将它们当作独立的扇形分别计算，同时还要留意长方形长方向未被圆弧覆盖的两段线段，容易因忽略这些线段而导致周长计算错误；很多学生可能会尝试直接分割阴影部分来计算，增加了复杂度，而难点就在于能否想到用“长方形面积减去半圆面积”的“整体减空白”转化方法。 四、作图题 19．你知道吗？圆也可以作为艺术创作的工具。下面是利用13个圆设计的一款软件的LOGO（标志），这是圆与科技的激烈碰撞，数学与艺术的完美结合。聪聪受到启发，也利用圆设计了一个LOGO，你知道他是怎么画的吗？请画在方框中，保留作图痕迹。 【答案】 【分析】根据题目所给的图形，我们可以先画三行三列9个大小相同的圆，再沿着四个角位置的圆画线，保留实线的位置，留下的形状就是聪聪设计的标志，这道题的画法不唯一，有多种画法，合理即可。 【解答】画三行三列9个大小相同的圆，沿着四个角位置的圆画线，保留实线的部分，则聪聪设计的标志如下图。 五、解答题 20．某班同学在策划儿童节玩套圈游戏，以在一定距离外套中一个锥形桶为胜。为了提高玩游戏的成功效率，设计成每次12人同时玩，但在围成什么形状时发生了争议：有人建议围成正方形，有人建议围成圆形。你认为哪种合适？为什么？ 【答案】圆形合适；圆上的每个点到圆心的距离相等，也就是每个人到锥形桶的距离相等，对于每个人套中的机会相同。 【分析】根据正方形的特征和圆的特征可知，正方形的边的中点到正方形中心的距离是最近的，但是旁边的距离都是都比这个距离大；圆上的任意一点到圆心的距离相等，由此即可判断。 【解答】我认为围成圆形合适。 因为围成正方形，每个人套锥形桶的距离不都相同，对于每个人套中的机会不同，所以不公平； 围成圆形，圆上的每个点到圆心的距离相等，也就是每个人到锥形桶的距离相等，对于每个人套中的机会相同，所以公平。 【点睛】明确圆的特征和正方形的特征是解答本题的关键。 21．陈老师要为他家的长方形餐厅（如图）选择一张餐桌，并且想按如下要求摆放：餐桌一侧靠墙，靠墙对面的桌边留出宽度不小于80厘米的通道，另两边各留出宽度不小于60厘米的通道。那么在下面四张餐桌中，其大小规格符合要求的餐桌编号有哪几个？请写出思考的过程（可用算式、图形等形式来表示） 【答案】①②③④ 【分析】先计算出当餐桌靠餐厅长边的墙、餐桌靠餐厅短边的墙这两种情况的时候，符合要求的最大尺寸； 再分别判断①②③④张桌子是否在这两个最大尺寸的范围内（满足任意一个最大尺寸即可），据此进行比较选择即可。 【解答】餐桌靠餐厅长边的墙：180－80＝100（厘米） 230－60×2 ＝230－120 ＝110（厘米） 即餐桌靠餐厅长边的墙时，满足要求的最大尺寸是长110厘米、宽100厘米的长方形； 餐桌靠餐厅短边的墙：230－80＝150（厘米） 180－60×2 ＝180－120 ＝60（厘米） 即餐桌靠餐厅短边的墙时，满足要求的最大尺寸是长150厘米、宽60厘米的长方形； ①号餐桌靠餐厅长边的墙，80厘米＜100厘米，符合要求； ②号餐桌靠餐厅长边的墙，100厘米＜110厘米，64厘米＜100厘米，符合要求； ③号餐桌直径为45×2＝90（厘米），餐桌靠餐厅长边的墙，90厘米＜100厘米，符合要求； ④号餐桌长为60＋60÷2×2＝60＋60＝120（厘米），将餐桌半圆的一边靠餐厅短边的墙，120厘米＜150厘米，60厘米＝60厘米，符合要求。 答：四张餐桌中，其大小规格符合要求的餐桌编号有①②③④。 【点睛】本题关键在于确定餐桌靠墙时满足要求的最大尺寸，餐桌大小只要在最大尺寸范围内即可。 22．根据如图回答问题。 （1）图中三角形的两条直角边的长分别是多少？ （2）长方形的长、宽分别是多少？ （3）梯形的上底、下底、高分别是多少？ 【答案】（1）一条是3.5cm；另一条是6cm （2）长是7cm，宽是3.5cm （3）上底是7cm；下底是13cm，高是3.5cm 【分析】（1）观察图形可知，三角形的直角边一条是6cm，一条等于半圆的半径，已知半圆的直径，用直径除以2，就是三角形的另一条直角边； （2）观察图形可知，长方形的长是7cm，宽是半圆的半径，用直径除以2，就是长方形的宽； （3）梯形的上底等于长方形的长，梯形的下底是长方形的长与三角形一条长6cm的直角边的和，高是半圆的半径，用直径除以2，梯形的高即可求出。 【解答】（1）7÷2＝3.5（cm） 三角形的两条直角边长是3.5cm，6cm。 （2）7÷2＝3.5（cm） 长方形的长是7cm，宽是3.5cm。 （3）7＋6＝13（cm） 7÷2＝3.5（cm） 梯形的上底是7cm，下底是13cm，高是3.5cm。 【点睛】本题圆的直径与半径的关系，同圆或等于的直径是半径的2倍，据此进行解答。 23．把三个半径为5厘米的圆柱形木棒用绳子捆成如下图的形状。如果接头处忽略不计，捆一圈这根绳子至少要多长？ 【答案】厘米 【分析】绳子长度由曲线部分和直线部分组成。曲线部分是三个扇形弧长之和，三个扇形拼起来正好是一个半径为的圆的周长，直线部分是3条直径的长度。根据进行求解。 【解答】 （厘米） 答：捆一圈这根绳子至少要厘米。 24．王爷爷家有一块圆形菜地（如图），周长是25.12米，他想在菜地周围加宽2米，加宽后菜地的面积增加了多少？ 【答案】62.8平方米 【分析】已知圆形菜地的周长是25.12米，根据圆的周长公式C＝2πr，得r＝C÷π÷2求出菜地原来的半径为25.12÷3.14÷2＝4米；在原来半径的基础上加上加宽的2米，得到加宽后大圆的半径；增加的面积就是一个圆环的面积，根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2）即可求出加宽后菜地增加的面积。据此解答。 【解答】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 4＋2＝6（米） 3.14×（62－42） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（平方米） 答：加宽后菜地的面积增加了62.8平方米。 【点睛】加宽后菜地增加的面积就是圆环的面积，根据圆环的面积公式计算即可。 25．在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 【答案】51.4米 【分析】如图，在长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径相当于长方形的长，为20米，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，即半圆的弧长，再加上一条直径的长度求出半圆的周长，即为篱笆的长度。 【解答】3.14×20÷2＋20 ＝62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（米） 答：需要51.4米的篱笆。 【点睛】在长20米、宽15米的长方形里，最大半圆的直径只能取20米（若取宽15米为直径，半圆会更小），且半径10米小于宽15米，满足半圆完全在长方形内的条件；篱笆是封闭半圆区域的边界，包含半圆弧长和直径两部分。 26．如图，在长是12厘米、宽是8厘米的长方形方框中，用一个半径为1厘米的圆形纸片无滑动地沿着方框按A—B—C—D—A的方向滚动。纸片贴着方框内部滚动一周回到出发位置，圆形纸片没有滚到的部分的面积是多少平方厘米？（本题中π的值取3） 【答案】33平方厘米 【分析】 如图： 根据图可知，一共有4个角没有滚到，还有一个长是（12－1×4）厘米，宽是（8－1×4）厘米的长方形面积；角没有滚到的面积＝边长是1厘米的正方形面积－半径是1厘米的圆的面积的； 根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝×半径的平方，代入数据，求出一个角没有滚到的面积，再乘4，再加上长是（12－1×4）厘米，宽是（8－1×4）厘米长方形面积；即可解答。 【解答】（1×1－3×12×）×4 ＝（1－3×1×）×4 ＝（1－3×）×4 ＝（1－）×4 ＝×4 ＝1（平方厘米） （12－1×4）×（8－1×4）＋1 ＝（12－4）×（8－4）＋1 ＝8×4＋1 ＝32＋1 ＝33（平方厘米） 答：圆形纸片没有滚到的部分的面积是33平方厘米。 【点睛】找出圆形纸片滚动的轨迹，找出没有滚动的面积，是解答本题的关键。 27．在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 【答案】（1）21.5平方厘米 （2）5秒 【分析】（1）重叠时，圆在正方形内，相当于正方形内画一个最大的圆，求没有重合部分的面积，就是用正方形面积－圆的面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 （2）把正方形机器人的速度看作单位“1”，圆形机器人的速度是正方形机器人速度的（1＋40%），用正方形机器人的速度×（1＋40%），求出圆形机器人的速度。求经过多少秒后恰好完全分开，先求出正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和，正方形机器人与圆形机器人相距的距离＋正方形机器人的边长的长度＋圆形机器人的直径的长度，就是两个机器人完全分开后的路程，再根据时间＝路程÷速度，用正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和÷正方形机器人的速度与圆形机器人的速度和，即可解答。 【解答】（1）10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 答：没有重合部分的面积是21.5平方厘米。 （2）4×（1＋40%） ＝4×140% ＝5.6（厘米） （28＋10＋10）÷（4＋5.6） ＝（38＋10）÷9.6 ＝48÷9.6 ＝5（秒） 答：经过5秒后恰好完全分开。 【点睛】解答本题的关键是求出正方形机器人与圆形机器人走过的路程。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆（易错思维训练） 一、选择题 1．如图，在正方形内画一个最大的圆，圆内再画一个最大的正六边形，那么正六边形的周长是正方形周长的（    ）。 A． B． C． D．无法确定 2．如图，小文在圆内画了一个最大的正方形。若正方形的面积是平方厘米，则圆的面积是（    ）平方厘米。 A．7.85 B．12.56 C．15.7 D．18.84 3．在一个面积是113.04cm2的圆内画一个最大的正方形，继续在这个正方形内画一个最大的圆，正方形内的圆的面积是（    ）cm2。 A．56.52 B．36 C．28.26 D．14.13 4．如图，长方形的面积和圆的面积相等，长方形的周长（    ）圆的周长。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法比较 5．如图，等边三角形的边长为10cm，一个直径为2cm的小圆沿三角形的外围滚动了一周，圆心留下的轨迹长（    ）cm。 A．30 B．36.28 C．42.56 D．48.84 6．用一块长12米、宽8米的长方形铁皮，剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼），至多能做多少（    ）个。 A．11 B．10 C．8 D．13 7．从游乐场的过山车售票处到碰碰车售票处，红红沿大圆周①走，丫丫沿小圆周②走，她们所走的路程相比较，（    ）。 A．红红走的路程近 B．丫丫走的路程近 C．一样近 D．无法比较 8．如图，《九章算术》中把圆环内圆周长称为“中周”，圆环外圆的周长称为“外周”，两个圆之间的宽度称为“径”。并给出了一种求圆环面积的计算方法：“中、外周而半之，以径乘之”，下面说法正确的是（    ）。 ①把圆环转化成梯形，梯形的上底是内圆的周长，下底是外圆的周长，高就是内圆半径与外圆半径的差。 ②“中、外周而半之，以径乘之”是用计算梯形面积的一种方法：（上底＋下底）÷2×高，计算出圆环面积的。 ③可以把图中的梯形进一步转化成一个长方形，如果宽还是内圆与外圆半径的差，那么长方形的长是内圆与外圆周长的平均数。 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题 9．在一个长16cm，宽12cm的长方形内画半径是2cm圆，（不重合且不交叉），这样的圆最多能画（ ）个，这些圆的面积之和是（ ）。 10．如图，线段AC是大圆的半径，长9厘米，线段BC是小圆的半径，长7厘米，两圆相交部分长4厘米，那么AB长（ ）厘米。 11．小芳同学在学完圆的知识之后，想到了苏州的小桥流水，创作了下面一幅图。这幅图是由5个完全相同的半圆组合而成，圆规两脚间的距离是（ ）mm。（单位：mm） 12．用胶带把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如图），如果每个圆柱的直径为d，捆3个圆柱至少需要胶带（ ），捆n个圆柱至少需要胶带（ ）。（胶带接头处长度忽略不计） 13．一条环形跑道（长度为400米），每条直道长100米，两端弯道最内圈半径约32米，每条跑道宽1米，参加200米比赛时，小红在内圈第一道，小明在内圈第二道，小明应在小红前面（ ）米处起跑才公平；参加400米比赛时，小红在内圈第二道，小明在内圈第一道，小明在小红后面（ ）米处起跑才公平。 14．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆圆心移动的路程是（ ）厘米，小圆滚动中扫过的面积是（ ）平方厘米。（结果保留π） 15．如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是___________。 16．如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为（ ）。 三、计算题 17．求下图涂色部分的周长和面积。（单位：厘米） 18．计算下图中阴影部分的周长和面积。 周长：        面积： 四、作图题 19．你知道吗？圆也可以作为艺术创作的工具。下面是利用13个圆设计的一款软件的LOGO（标志），这是圆与科技的激烈碰撞，数学与艺术的完美结合。聪聪受到启发，也利用圆设计了一个LOGO，你知道他是怎么画的吗？请画在方框中，保留作图痕迹。 五、解答题 20．某班同学在策划儿童节玩套圈游戏，以在一定距离外套中一个锥形桶为胜。为了提高玩游戏的成功效率，设计成每次12人同时玩，但在围成什么形状时发生了争议：有人建议围成正方形，有人建议围成圆形。你认为哪种合适？为什么？ 21．陈老师要为他家的长方形餐厅（如图）选择一张餐桌，并且想按如下要求摆放：餐桌一侧靠墙，靠墙对面的桌边留出宽度不小于80厘米的通道，另两边各留出宽度不小于60厘米的通道。那么在下面四张餐桌中，其大小规格符合要求的餐桌编号有哪几个？请写出思考的过程（可用算式、图形等形式来表示） 22．根据如图回答问题。 （1）图中三角形的两条直角边的长分别是多少？ （2）长方形的长、宽分别是多少？ （3）梯形的上底、下底、高分别是多少？ 23．把三个半径为5厘米的圆柱形木棒用绳子捆成如下图的形状。如果接头处忽略不计，捆一圈这根绳子至少要多长？ 24．王爷爷家有一块圆形菜地（如图），周长是25.12米，他想在菜地周围加宽2米，加宽后菜地的面积增加了多少？ 25．在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 26．如图，在长是12厘米、宽是8厘米的长方形方框中，用一个半径为1厘米的圆形纸片无滑动地沿着方框按A—B—C—D—A的方向滚动。纸片贴着方框内部滚动一周回到出发位置，圆形纸片没有滚到的部分的面积是多少平方厘米？（本题中π的值取3） 27．在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $