专题10 几何图形 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题10 几何图形 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.图形基础分类：依据空间构成特征，将几何图形分为立体图形与平面图形两类； 2.立体图形核心知识：掌握常见立体图形的形态特征，理解立体图形与平面图形的相互转化，包含视图、展开图两大核心内容； 3.图形本质规律：探究点、线、面、体的静态构成关系与动态生成规律，掌握几何图形的基本构成原理。 ✅本节以几何图形为核心，先区分平面图形与立体图形，再认识常见几何体特征及平立图形的转化规律，最后阐明点、线、面、体的构成与运动关系，是搭建初中几何空间观念的入门基础。 ✺学习目标 1.基础知识：掌握几何图形的概念与几何研究范畴，能区分立体图形与平面图形；熟记常见几何体特征，认识简单几何体的视图与展开图，掌握点、线、面、体的构成及运动规律。 2.能力提升：能从实物中抽象出几何图形，准确辨别平面、立体图形；初步建立空间想象能力，可识别简单几何体的视图、判断基础几何体的展开图，掌握平立图形转化方法。 3.综合素养：建立初步几何空间观念，感知平面与立体图形的内在联系；结合生活实例体会几何应用，养成观察、归纳、辨析的几何思维，形成严谨的数学素养。 ✺题型归纳 题型1.常见的几何体 题型2.组合几何体的构成 题型3.立体图形的分类 题型4.几何体中的点、棱、面 题型5.从不同方向看几何体 题型6.几何体展开图的认识 题型7.由展开图计算几何体的表面积 题型8.由展开图计算几何体的体积 题型9.正方体几种展开图的识别 题型10.正方体相对两面上的字 题型11.含图案的正方体的展开图 题型12.求展开图上两点折叠后的距离 题型13.补一个面使图形围成正方体 题型14.平面图形形状的识别 题型15.用七巧板拼图形 题型16.点、线、面、体四者之间的关系 题型17.平面图形旋转后所得的立体图形 题型18.截一个几何体 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、几何图形的概念 1.从现实物体的外形与结构中抽象得到的各类图形，统称为几何图形。 2.几何学仅研究物体的形状、大小、位置关系，不涉及物体的颜色、材质、质量等非几何属性，几何图形是初中几何的基本研究对象。 知识点二、几何图形的分类 1.立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，占据三维空间的几何图形，称为立体图形。 常见类型：柱体：圆柱、棱柱（长方体、正方体、三棱柱等）； 锥体：圆锥、棱锥（三棱锥、四棱锥等）； 球体：球。 核心特征：具有长、宽、高三维结构，占有空间体积。 2.平面图形：图形的所有部分都在同一平面内的几何图形，称为平面图形。 常见类型：线段、射线、直线、角、三角形、长方形、正方形、圆、多边形等。 核心特征：仅有长、宽二维结构，无厚度、不占空间。 知识点三、常见立体图形的基本特征 棱柱：上下两个底面为全等且相互平行的多边形，侧面均为平行四边形，所有侧棱平行且长度相等。正方体、长方体属于特殊的四棱柱。 圆柱：上下两个底面为大小相等、互相平行的圆形，侧面为光滑曲面。 棱锥：底面为任意多边形，所有侧面为拥有公共顶点的三角形，仅有一个底面，无上下对称结构。 圆锥：底面为圆形，侧面为光滑曲面，顶部汇聚为一个公共顶点。 球：由单一光滑封闭曲面围成，无底面、侧面、棱与顶点。 知识点四、立体图形的视图与展开图 1..三视图：三视图是从正面、左面、上面三个固定视角观察几何体得到的平面图形，是立体图形转为平面图形的核心方法。 主视图：正面观察所得图形；左视图：左面观察所得图形；俯视图：上方观察所得图形。 ▲从正面、左面、上面看圆柱、圆锥、球得到的平面图形： 2.展开图 定义：将立体图形表面沿棱剪开平铺得到的平面图形，称为展开图，立体图形与展开图可相互转化。 基础要点：正方体有11种标准展开图；圆柱展开图为两个等圆与一个长方形；圆锥展开图为一个圆与一个扇形。 知识点五、点、线、面、体的关系 1.构成关系 点、线、面、体是几何图形的基本元素，点是最基础的几何元素。面与面相交成线，线与线相交成点；面分为平面、曲面，线分为直线、曲线。 2.运动关系 点动成线：笔尖滑动可形成线条轨迹； 线动成面：线段旋转可形成平面或曲面； 面动成体：平面图形旋转可形成立体图形。 ✺题型精讲 题型1.常见的几何体 1．如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】C 【详解】解：观察图片可得，该作品中的几何体有球，棱柱，圆锥，不存在圆柱． 2．“磁力健构片“通过磁铁连接重心，能制作出锥体、正方体等百种造型，立体提拉魔幻成型，直观立体，是开发脑力的益智玩具．如图所示的平面图形经过立体提拉后，立体图形为___________． 【答案】五棱柱 【分析】本题主要考查立体图形的展开图，通过平面图形还原立体图形是解题的关键． 首先判断上下两底面是正五边形即可得到立体图形的形状． 【详解】解：由展开图可得：上下两底面是正五边形， ∴可以得到平面图形经过立体提拉后，立体图形为五棱柱， 故答案为：五棱柱． 3．请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 【答案】（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥 【分析】本题考查了常见几何体的名称，熟练掌握常见几何体的名称是解题的关键．根据常见几何体的特征逐一判断即可． 【详解】解：由图可知，（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥． 故答案为：长方体；圆柱；球体；圆锥；三棱锥． 题型2.组合几何体的构成 1．下列物体的形状类似于长方体的是（    ） A．西瓜 B．砖块 C．沙堆 D．蒙古包 【答案】B 【分析】本题主要考查了常见的几何体，组合几何体的构成等知识点，熟练掌握常见的几何体的特征是解题的关键． 长方体的特征：六个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，条棱分为互相平行的组，每组条棱相等，有个顶点，据此解答即可． 【详解】解：A、 西瓜类似于球，故选项不符合题意； B、砖块类似于长方体，故选项符合题意； C、沙堆类似于圆锥，故选项不符合题意； D、 蒙古包是圆锥和圆柱的组合体，故选项不符合题意； 故选：． 2．如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是______．    【答案】9 【分析】本题主要考查了求简单几何体的体积，准确得出小正方体个数是解题的关键．求出一个小正方体的体积为立方厘米，再得出共用9个小正方体，因此求出总体积． 【详解】解：由图可知第一层有6个小正方体，第二层有个小正方体， ∴搭建这个几何体共用9个棱长为的小正方体， ∴该几何体的体积为：． 故答案为：9． 3．请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【答案】 左1的图的物体类似于圆柱； 左2的图的物体可看作由球和圆柱构成； 右2的图的物体可看作由圆锥和圆柱构成； 右1的图类似于圆锥； 【分析】本题主要考查了对常见几何体的认识，通过观察题干的物体的形状特征，将其与圆柱、球、圆锥等几何体进行对应，即可作答． 【详解】解：观察左1的图中的物体，其上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面，符合圆柱的特征， ∴左1的图的物体类似于圆柱； 观察左2的图中的物体，主体部分是一个球体，下方有一个类似圆柱的部分， ∴左2的图的物体可看作由球和圆柱构成； 观察右2的图的物体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱， ∴该物体可看作由圆锥和圆柱构成； 观察右1的图的物体，有一个顶点，底面是一个圆形，侧面是一个曲面，符合圆锥的特征， ∴右1的图类似于圆锥； 题型3.立体图形的分类 1．下列四个几何体中，属于棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立体图形的识别，逐一判断各选项中的立体图形即可． 【详解】解：A、是圆台，不符合题意； B、是棱锥，不符合题意； C、是圆锥，不符合题意； D、是棱柱，符合题意； 故选D． 2．如图所示的图形中，柱体为__________（填序号）． 【答案】①②③⑥ 【分析】本题考查了柱体的定义与分类，准确理解并运用柱体的概念进行判断是解题的关键． 柱体包含棱柱和圆柱，核心特征是有两个互相平行且全等的底面，据此判断即可． 【详解】解：这些几何体分别为正方体、长方体、圆柱体，圆锥、球、三棱柱， 其中是柱体的是①正方体，②长方体，③圆柱，⑥三棱柱， 故答案为：①②③⑥． 3．观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 【答案】(1)圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； (2)；． 【分析】本题主要考查了认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （）根据几何体的特点回答即可； （）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：按序号写出各自几何体的名称：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； （2）解：在以上几何体中，是柱体的有；含曲面的有， 故答案为：；． 题型4.几何体中的点、棱、面 1．一个棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查棱柱的顶点数与侧棱数的关系，熟练掌握“棱柱顶点数底面边数，侧棱数=底面边数”是解题关键．先通过顶点数求出侧棱条数，再计算每条侧棱的长度． 【详解】解：由题意得，该棱柱的侧棱数为 ∴每条侧棱的长， 故选：C． 2．一个棱柱有8个顶点，则棱的条数为_____． 【答案】12 【分析】本题主要考查了棱柱的特点，根据棱柱的结构特征，设底面边数为n，则顶点数为，棱数为． 【详解】解：由顶点数8得， 解得， 故棱数为． 故答案为：12． 3．由27个小立方体堆成的一个大立方体如下所示，现将它的表面涂成黄色．问： (1)有三个面涂成黄色的小立方体有几个？ (2)有一个面涂成黄色的小立方体有几个？ (3)有两个面涂成黄色的小立方体有几个？ 【答案】(1)有8个 (2)有6个 (3)有12个 【分析】此题考查了正方体的特征，有良好的空间观念是关键． （1）根据立方体表面的特点，得出三面涂色的在每个顶点处，正方体有8个顶点，即可得出答案； （2）根据立方体表面的特点，得出有一个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间，共有6个，即可得出答案； （3）根据立方体表面的特点，得出有两个面涂成黄色的小立方体在12条棱上，共有12个，即可得出答案． 【详解】（1）解：有三个面涂成黄色的小立方体在8个顶点上，有8个； （2）解：有一个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间，有6个； （3）解：有两个面涂成黄色的小立方体在12条棱上，有12个． 题型5.从不同方向看几何体 1．观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： 2．如图是一个三棱柱从三个方向看所得到的形状图．若从正面看的高为，从上面看三角形的边长都为，则这个几何体的侧面积为_________． 【答案】 【分析】根据图形可得侧面展开图是矩形，求出矩形的面积即可． 【详解】解：， ∴这个几何体的侧面积为． 3．若干个棱长为2的小正方体，摆成如图所示的几何体． (1)求几何体的表面积； (2)依图中摆放方法类推，如果该几何体摆放了上下共10层，求该几何体的表面积． 【答案】(1)144 (2)1320 【分析】（1）从正面看有6个正方形，一共有6个方向，可得几何体表面积为36个小正方形面积； （2）从正面看有55个面，从6个方向看共有330个面，进而求解即可． 【详解】（1）解：几何体的表面积为； （2）解：从正面看有个面，从6个方向看共有个面， ∴表面积． 题型6.几何体展开图的认识 1．如图是三棱柱的立体图形，下列图形中可以作为三棱柱的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：可以作为三棱柱的展开图的是． 2．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为___________，___________，___________ 【答案】 圆锥 三棱柱 圆柱 【分析】本题考查常见几何体的展开图，从展开图判断几何体的名称；第一幅图由扇形和圆组成，可知为圆锥的展开图；第二幅图由三个长方形面和两个三角形面组成，可知为三棱柱的展开图；第三幅图由一个长方形面和两个圆面组成，可知为圆柱的展开图. 【详解】解：∵第一幅图由扇形和圆组成，扇形为圆锥的侧面，圆为圆锥的底面， ∴第一个为圆锥的展开图， ∵第二幅图由三个长方形面和两个三角形面组成，三个长方形面为三棱柱的三个侧面，两个三角形为三棱柱的上下底面， ∴第二个为三棱柱的展开图， ∵第三幅图由一个长方形面和两个圆面组成，长方形面为圆柱的侧面展开，两个圆为圆柱的上下底面， ∴第三个为圆柱的展开图. 故答案为：圆锥，三棱柱，圆柱. 3．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥； （2） （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： ． 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）根据三棱柱的侧面积计算公式求得即可得出答案； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，据此可画出图形． 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）三棱柱的侧面展开图是长方形，其长为，宽为， 所以面积为； （3） 略 题型7.由展开图计算几何体的表面积 1．树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．根据圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 树体的涂白面积约为： 故选：B． 2．一个直三棱柱，它的底面边长都相等，侧棱长，侧面积是，那么它的底面边长是______． 【答案】 【分析】此题考查了棱柱的侧面积，熟练掌握棱柱的侧面积的计算方法是关键． 直三棱柱的侧面是三个全等的矩形，每个矩形的面积等于底面边长乘以侧棱长．根据侧面总面积，可列出方程求解底面边长． 【详解】解：设底面边长为．每个侧面矩形的面积为， 侧面积为 ∴, 则， 即底面边长为． 故答案为： 3．如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)若每个小立方块的棱长为3，则该几何体（不含与地面接触的面）的表面积是多少？ 【答案】(1) 解：从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图， (2)216 【分析】此题考查从不同方向看几何体，解题关键是利用空间想象能力想象图形的形状． （1）根据正面，左面，上面所看到的图形形状直接画图即可； （2）从正面、左面、上面看到的图形面积之和的2倍，即为几何体的表面积再减去底面面积即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：该几何体的表面积是， 故答案为：216． 题型8.由展开图计算几何体的体积 1．如图，是一个无盖长方体盒子的展开图，则该无盖长方体盒子的容积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的展开图，展开图折叠成几何体，得出长方体的长、宽、高是解题的关键． 根据观察、计算，可得长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可得答案． 【详解】解：长方体的长为，宽为，高为1，则容积为． 故选C． 2．如图1所示为宽、长30cm的长方形纸板，某同学要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算．根据图示求出此无盖长方体盒子的长、宽、高，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：由题可知，长方体的高即为减去四个正方形（图中阴影）的边长，即为， 则长方体底面的长为，宽为， 所以长方体的体积为， 故答案为：1000． 3．如图是一个几何体的展开图． (1)该几何体的名称是________； (2)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体（或四棱柱） (2) 【分析】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，掌握相应的定义是关键． （1）根据展开图可知该几何体有6个面，4个侧面，2个底面，即可得出几何体的名称； （2）根据展开图可知是一个长为6，宽为2，高为6的四棱柱，再根据体积公式得出答案． 【详解】（1）解：根据图形可知，几何体有6个面，4个侧面，2个底面， ∴几何体是长方体（或四棱柱）． 故答案为：长方体（或四棱柱）； （2） 解：几何体的体积． 题型9.正方体几种展开图的识别 1．下列图形中，属于正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3−3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：属于正方体的展开图的是： 2．下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是________（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据题干4个的表面展开图运用空间想象能力进行分析，即可作答． 【详解】解：观察题干4个的表面展开图，得出①是无盖正方体的表面展开图， ②不是无盖正方体的表面展开图， ③是无盖正方体的表面展开图， ④是无盖正方体的表面展开图， 故答案为：② 3．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是_____． A．    B．    C．    D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形．则下列图形中可能是该长方体表面展开图的有_____（填序号）． (3)下列、分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图的外围周长为52，请你求出图的外围周长； (4)第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并在图中用数字标注出外围各线段的长度，并求出它的外围周长． 【答案】(1)B (2)①②③ (3)58 (4)如图所示，即为所求； 70 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． （1）根据正方体的平面展开图求解即可； （2）根据长方体的平面展开图求解即可； （3）根据长方体的长、宽、高分别为4，3，6结合图形求解即可； （4）要使外围周长最大，那么边长为6的边要尽可能在外围，边长为3的边尽可能不在外围，据此作图求解即可． 【详解】（1） 解：根据正方体的表面展开图可得，是正方体的表面展开图的是   ， 故选：B； （2）解：根据长方体的表面展开图可得， 可能是该长方体表面展开图的有①②③， 故答案为：①②③； （3）解：∵长方体的长、宽、高分别为4，3，6， ∴图B的外围周长； （3） 解：此时外围周长为． 题型10.正方体相对两面上的字 1．如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字．若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（     ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，寻找数字2的对立面即可找到答案． 【详解】由图可得，这是一个长方体的展开图，3的对立面是5，4的对立面是1，2的对立面是6，所以选D． 2．在学校的倡导下，同学们积极投入我市开展创造“全国文明城市”活动中，为此小萌同学特别设计了一个正方体，其展开图如图所示，则“文”在正方体中所对的字是________． 【答案】城 【详解】解：根据正方体表面展开图的特点， “全”与“明”是相对面， “国”与“市”是相对面， “文”与“城”是相对面． 3．如图是一个立体图形的展开图． (1)该立体图形的名称是________． (2)若将展开图折叠成立体图形后，相对两个面上的数互为相反数，求的值． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】本题考查长方体的展开图，展开图的相对面，熟练掌握长方体的展开图的相对面必定相隔一个小长方形是解题的关键： （1）观察可知，该立方体为长方体； （2）先确定相对面，再根据相反数的定义，求出的值，进而求出算式的结果即可． 【详解】（1）解：观察可知，该立方体为长方体； 故答案为：长方体； （2）解：由图可知，和1为相对面，和为相对面，和5为相对面， ∴， ∴． 题型11.含图案的正方体的展开图 1．如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据题意，阴影正方形面为上面，圆圈正方形面为右面，黑白三角形面为前面，展开图中只有④符合要求； 【详解】解：④符合要求； 2．下图是一个正方体纸盒的展开图，当把它折叠成正方体纸盒时，C点与( )点重合．    【答案】B 【分析】由正方体展开图的特征得到结论． 【详解】解：由正方体展开图的特征得出，折叠成正方体后， 故点A与点D、点B与点C重合． 故答案为：B． 【点睛】此题考查的是正方体的展开图，解决此题的关键是运用空间想象能力把展开图折成正方体，找到重合的点． 3．一个长方体的每个面上都标注了字母，如图是该长方体的表面展开图，请根据要求回答问题： (1)如果A在长方体的底部，那么哪一面会在上面？ (2)如果面F在前面，从左面看是B面，那么哪一面会在上面？ (3)如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？ 【答案】(1)F (2)E (3)F 【分析】此题考查了正方体相对面上的字，正方体的展开图， 根据正方体相对面的特点求解即可． 【详解】（1）解：∵A和F是相对面上的字 ∴如果A在长方体的底部，那么F会在上面； （2）解：如果面F在前面，从左面看是B面，那么E会在上面； （3）解：如果从右面看是面C，面D在后面，那么F会在上面． 题型12.求展开图上两点折叠后的距离 1．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 2．如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是______． 【答案】2 【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键． 3．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】 如答图，点D为所求．    【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求． 题型13.补一个面使图形围成正方体 1．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 2．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 3．如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面． 【答案】 解：如图，添加一个正方形，折叠后才能围成一个正方体， 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】略 【点睛】本题考查展开图折叠成几何体的知识，注意掌握只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 题型14.平面图形形状的识别 1．图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是认识平面图形，解题关键是掌握长方形的特征以及周长、面积的定义． 根据面积、周长的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，图甲的面积与图乙的面积和是长方形的面积，但图甲、图乙的面积不一定相等，图甲、图乙的周长都等于长方形的长、宽与曲线对角线的和，即它们的周长相等． 故选：． 2．你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形：______（填序号）． 立体图形：______（填序号）． 【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦ 【分析】本题主要考查了平面图形和立体图形的识别，各个部分不都在同一平面内的为立体图形，各个部分在同一平面内的为平面图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦， 故答案为：②④⑤⑥；①③⑦． 3．把图中的一个直角三角形和一个直角梯形拼在一起，可以拼成几种不同的常见平面图形？画出你所拼出的图形． 【答案】 解：直角三角形的较短直角边与直角梯形的上底拼接，形成一个直角三角形，如图： ； 直角三角形的较长直角边与直角梯形的高拼接，形成一个等腰梯形，如图： ； 直角三角形的较长直角边与直角梯形的高拼接，形成一个平行四边形，如图： 直角三角形的斜边与直角梯形的腰拼接，形成一个正方形，如图： ， 直角三角形的斜边与直角梯形的腰拼接，如图： ， 直角三角形的较长直角边与直角梯形的下底拼接，如图： ， 直角三角形的较长直角边与直角梯形的下底拼接，如图： ． 【分析】本题要求将一个直角三角形和一个直角梯形通过相等的边拼接在一起，形成不同的平面图形，需要理解直角三角形和直角梯形的边长关系，并通过不同的拼接方式形成多种平面图形，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】略 题型15.用七巧板拼图形 1．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【答案】B 【分析】该题考查了七巧板，根据图1和图2分析即可解答． 【详解】解：根据图1可得：①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 根据图2可知空白部分为长方形，则④、⑥、⑦、①四部分可以组成长方形， 故图1中没用上的那一块七巧板是⑤， 故选：B． 2．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【分析】此题考查了“七巧板”的相关知识．根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，“七巧板”拼成的正方形的面积为， 根据“七巧板”的特征可知，图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的， ∴则图中阴影部分面积为， 故答案为： 3．请用七巧板图，拼成图的图案．（提示：先在图中用1、2、3、4、5、6、7等七个数字标明七巧板的七个部分，再在图中标出这七个部分的位置．） 【答案】 所拼图案，如图-2所示： 【分析】本题考查了七巧板拼图．根据题意拼出图形即可． 【详解】略 题型16.点、线、面、体四者之间的关系 1．下列现象对应的数学原理描述错误的是（   ） A．流星划过夜空留下光迹——点动成线 B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面——线动成面 C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体——面动成体 D．铅笔在纸上写字留下笔画——线动成面 【答案】D 【分析】本题考查了点动成线，线动成面，面动成体，理解和掌握点动成线，线动成面，面动成体是解决本题的关键．根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定． 【详解】解：A．流星划过夜空留下光迹，反映的是“点动成线”，本选项正确，故不符合题意； B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面，反映的是“线动成面”，本选项正确，故不符合题意； C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体，反映的是“面动成体”，本选项正确，故不符合题意； D．铅笔在纸上写字留下笔画，反映的是点动成线，本选项错误，故符合题意； 故选：D． 2．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【答案】点动成线，线动成面 【分析】根据点、线、面的运动关系，将生活实物抽象为几何图形，结合点动成线、线动成面的性质分析即可． 【详解】解：枪尖可看作点，点运动形成线，因此“枪挑一条线”对应点动成线； 棍可看作线，线运动形成面，因此“棍扫一大片”对应线动成面． 3．想一想，连一连． 【答案】 连线如下： 【分析】本题考查了圆柱的认识及特征、圆锥的认识及特征，了解点、线、面、体的关系是解题的关键．圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体．以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．据此分析各平面图形的特点，确定旋转可以形成的立体图形．根据点动成线，线动成面，面动成体的特征即可求解．                【详解】 解：，上下两个直角三角形，都是1个顶点朝上，上边三角形大，下边三角形小，旋转1周形成的是摞起来的两个圆锥，且上面圆锥大，下面圆锥小； ，上下两个直角边拼起来的直角三角形，旋转1周形成的是两个底面拼起来的圆锥； ，长方形上边1个直角三角形，旋转1周形成的是类似谷仓的立体图形，下面是圆柱，上面是圆锥； ，长方形上边1个半圆，旋转1周形成的是下面是圆柱，上面是球． 题型17.平面图形旋转后所得的立体图形 1．将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：原图形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是． 2．如图，现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的宽所在的直线旋转一周，得到的几何体其中一个底面的面积为_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体，掌握“面动成体”和圆柱体的体积计算方法是正确解答的关键．以长方形的长边为轴旋转，得出圆柱体的底面半径和高，根据体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：以宽为轴旋转一周所得到的圆柱体的底面半径为，高为， 因此底面的面积为：， 故答案为：． 3．铁一陆港学校在11.3日开展了“节约粮食，文明就餐”的主题班会，初一年级某小组同学在筹备班会的过程中查阅资料获悉：据国家粮食和物资储备局发布，截至”2025年9月30日，全国各类粮食经营主体累计收购小麦10795万吨，早籼稻1281万吨，油菜籽587万吨收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图___________旋转一周后得到 (2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 【答案】(1)① (2) 【分析】本题主要考查立体图形的体积，点、线、面、体之间的关系． （1）根据图形可知该几何体是由圆锥和圆柱所构成，然后问题可求解； （2）根据圆柱及圆锥的体积公式及图中所给数据可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可知是由①旋转而成的， 故答案为：①； （2）解：由题意得“粮仓”的体积为圆柱的体积加圆锥的体积： ， 答：该“粮仓”的体积为． 题型18.截一个几何体 1．如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 2．用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 【答案】③ 【分析】圆柱、圆锥、球体含有曲面，截面可能是圆；正方体由平面围成，截面只能是多边形． 【详解】解：①圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ②圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ③正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆； ④球，用任意平面去截，截面都是圆． 综上所述，截面不可能是圆的几何体是③． 3．如图，沿正方体的两个平面和切割，将此正方体切成4块．请问含有顶点的那一块占正方体体积的几分之几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的拆分的应用； 根据沿平面切割，此时含有顶点的那一块占正方体体积的，再沿平面切割，含有顶点的那一块占沿面切割后的，即可求解． 【详解】解：如图1，沿平面切割，此时含有顶点的那一块占正方体体积的， 如图2，再沿平面切割，含有顶点的那一块占沿平面切割后的， ∴含有顶点的那一块占正方体体积的， 答：含有顶点的那一块占正方体体积的． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【分析】根据展开图的组成特征，再结合常见几何体展开图的判定规则，确定对应的几何体即可． 【详解】解：根据几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 2．下列小明的积木玩具抽象图中，是四棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的分类，解题的关键是掌握立体图形的特征，结合图形一一判断即可． 【详解】解：A、是三棱柱，不符合题意； B、是圆柱，不符合题意； C、是四棱柱，符合题意； D、是三棱锥，不符合题意； 故选：C． 3．如图，将一个长方形纸片的四个角剪去个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，认真观察图形，得出等量关系是解题关键．根据长方体盒子的表面积纸片的面积个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：这个长方体盒子的表面积为． 故选：A． 4．下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的“”、“”、“”等常见类型及“一线不过四，田凹应弃之”的口诀进行判断． 【详解】解： A、属于“”型，能折叠成正方体 ． B、属于“”型，能折叠成正方体 ． C、属于“”型，能折叠成正方体． D、属于“凹”字型结构，折叠后会有两个面重合，不能围成正方体． 5．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 二、填空题 6．将如图折成一个正方体后，“我”对面的字是( )，“喜”对面的字是( )． 【答案】 数 学 【分析】根据正方体的表面展开图的规律判断即可． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面， 根据正方体展开图的特征，相对的面之间相隔一个正方形，或者呈“Z”字两端， 面“我”与面“数”中间隔着“喜”和“欢”的拐角，符合“Z”字两端规律，故它们是相对面； 面“喜”与面“学”中间隔着“欢”和“数”的拐角，符合“Z”字两端规律，故它们是相对面． 7．如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是_______，体积是_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何体的表面积与体积求法，在一个大正方体的上面的一个角上挖出一个棱长的小正方体，那么它的表面积没有发生变化；用原大正方体的体积减去小正方体的体积就得到余下部分的体积．据此解答即可． 【详解】解：余下部分的体积： ； 表面积：； 答：余下部分的表面积是，体积是． 8．下列说法中：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形，正确的个数是______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了柱体和锥体的认识，根据柱体和锥体的定义，逐一判断各说法的正确性 【详解】解：①柱体的两个底面平行且全等，因此一样大，正确； ②圆柱和圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以是任意多边形，不一定是四边形，错误； ④长方体是棱柱的一种，属于柱体，正确； ⑤棱柱的侧面在直棱柱中是长方形，但斜棱柱中为平行四边形，因此不一定总是长方形，错误； 综上，正确说法有①②④，共3个． 故答案为：3． 9．如图，小明将一张长为、宽为的长方形纸片四个角分别裁剪掉一个小正方形，然后折叠成一个无盖长方体盒子．若折叠成的无盖长方体盒子的长、宽、高的比为，则长方体盒子的容积为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，核心是利用折叠前后的边长关系结合比例设未知数求解．首先根据长、宽、高的比例设高为，则长为、宽为；再根据“”列出一元一次方程，解出后得到长、宽、高的具体数值，最后用长方体容积公式计算即可． 【详解】解：设无盖长方体盒子的高为，则盒子的长为，宽为． 根据题意，得，解得． 则盒子的长为，宽为，高为． 长方体容积为； 故答案为：． 10．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是________．    【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 三、解答题 11．观察如下图所示的图形，回答下列各题： (1)按平面图形和立体图形分类． (2)把立体图形按柱体、锥体、球体分类． (3)指出各面都是平面的立体图形． 【答案】(1)平面图形：①②④⑤⑦，立体图形：③⑥⑧⑨⑩ (2)柱体：③⑥⑧；锥体：⑩；球体：⑨ (3)各面都是平面的立体图形：③⑥ 【分析】本题主要考查点、线、面、体的基本知识，可以根据平面图形、立体图形进行解答， （1）根据平面图形与立体图形的定义解决； （2）根据柱体、锥体、球的定义可得结论； （3） 结合立体图形的面的定义，即可解决． 【详解】（1）解：平面图形：①②④⑤⑦，立体图形：③⑥⑧⑨⑩； （2）柱体：③⑥⑧；锥体：⑩；球体：⑨； （3）各面都是平面的立体图形：③⑥． 12．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课上，兴趣小组同学们用一张正方形纸片依据图1，制作了图2所示的七巧板． (1)图1中与长度相等的线段是 ； （写出一条即可） (2)从图 2所示的七巧板中任选几块拼出一个等腰梯形，画出你拼图案的形状图（在所画图中标出选取的七巧板序号）． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 取③④⑤⑥按照如图所示的方式可以拼成一个等腰梯形． 【分析】本题考查七巧板，理解七巧板的分割方法以及分割的七个部分的图形性质以及相互关系是正确解答的关键． （1）根据“七巧板”的分割方法得到第⑥部分是平行四边形，根据平行四边形的性质可得答案； （2）取“七巧板”中的若干块，拼成等腰梯形即可． 【详解】（1）∵⑥是平行四边形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）略 13．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是___________，这能说明的事实是___________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积和表面积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱，C (2)形成的几何体的体积是，形成的几何体的表面积是 【分析】本题考查点，线，面，体，求圆柱体的体积和表面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据面动成体，进行作答即可； （2）根据圆柱体的体积公式和表面积公式进行计算即可。 【详解】（1）解：由题意，此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体； 故选C。 （2）该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，体积为： 表面积为： 答：形成的几何体的体积是，形成的几何体的表面积是． 14．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_____棱柱，共有_____个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_____，_____（写出你认为可能的两种形状）； (3)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六，8 (2)三角形，四边形（答案不唯一） (3)需要喷漆的面积是，所需丝带的长为 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）求出侧面积，即可求解喷漆的面积；棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和，即可求解所需丝带的长度． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共有个面； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为：三角形，四边形（答案不唯一） （3）解：这个储物箱所有侧面的面积之和为： 若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为： 答：需要喷漆的面积是，所需丝带的长为． 15．某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 【答案】(1)52米 (2)84平方米 (3)42立方米 【分析】（1）计算长方体棱长的和即可； （2）利用长方体表面积计算公式计算即可； （3）利用长方体体积公式计算其体积，再减去30即可． 【详解】（1）解： ， （米）， 答：至少需要金属条52米； （2）解：， ， ， ， （平方米）， 答：至少需要幕布84平方米； （3）解：， ， ， （立方米）， 答：展示箱内剩余空间的体积是42立方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 几何图形 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.图形基础分类：依据空间构成特征，将几何图形分为立体图形与平面图形两类； 2.立体图形核心知识：掌握常见立体图形的形态特征，理解立体图形与平面图形的相互转化，包含视图、展开图两大核心内容； 3.图形本质规律：探究点、线、面、体的静态构成关系与动态生成规律，掌握几何图形的基本构成原理。 ✅本节以几何图形为核心，先区分平面图形与立体图形，再认识常见几何体特征及平立图形的转化规律，最后阐明点、线、面、体的构成与运动关系，是搭建初中几何空间观念的入门基础。 ✺学习目标 1.基础知识：掌握几何图形的概念与几何研究范畴，能区分立体图形与平面图形；熟记常见几何体特征，认识简单几何体的视图与展开图，掌握点、线、面、体的构成及运动规律。 2.能力提升：能从实物中抽象出几何图形，准确辨别平面、立体图形；初步建立空间想象能力，可识别简单几何体的视图、判断基础几何体的展开图，掌握平立图形转化方法。 3.综合素养：建立初步几何空间观念，感知平面与立体图形的内在联系；结合生活实例体会几何应用，养成观察、归纳、辨析的几何思维，形成严谨的数学素养。 ✺题型归纳 题型1.常见的几何体 题型2.组合几何体的构成 题型3.立体图形的分类 题型4.几何体中的点、棱、面 题型5.从不同方向看几何体 题型6.几何体展开图的认识 题型7.由展开图计算几何体的表面积 题型8.由展开图计算几何体的体积 题型9.正方体几种展开图的识别 题型10.正方体相对两面上的字 题型11.含图案的正方体的展开图 题型12.求展开图上两点折叠后的距离 题型13.补一个面使图形围成正方体 题型14.平面图形形状的识别 题型15.用七巧板拼图形 题型16.点、线、面、体四者之间的关系 题型17.平面图形旋转后所得的立体图形 题型18.截一个几何体 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、几何图形的概念 1.从现实物体的外形与结构中抽象得到的各类图形，统称为几何图形。 2.几何学仅研究物体的形状、大小、位置关系，不涉及物体的颜色、材质、质量等非几何属性，几何图形是初中几何的基本研究对象。 知识点二、几何图形的分类 1.立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，占据三维空间的几何图形，称为立体图形。 常见类型：柱体：圆柱、棱柱（长方体、正方体、三棱柱等）； 锥体：圆锥、棱锥（三棱锥、四棱锥等）； 球体：球。 核心特征：具有长、宽、高三维结构，占有空间体积。 2.平面图形：图形的所有部分都在同一平面内的几何图形，称为平面图形。 常见类型：线段、射线、直线、角、三角形、长方形、正方形、圆、多边形等。 核心特征：仅有长、宽二维结构，无厚度、不占空间。 知识点三、常见立体图形的基本特征 棱柱：上下两个底面为全等且相互平行的多边形，侧面均为平行四边形，所有侧棱平行且长度相等。正方体、长方体属于特殊的四棱柱。 圆柱：上下两个底面为大小相等、互相平行的圆形，侧面为光滑曲面。 棱锥：底面为任意多边形，所有侧面为拥有公共顶点的三角形，仅有一个底面，无上下对称结构。 圆锥：底面为圆形，侧面为光滑曲面，顶部汇聚为一个公共顶点。 球：由单一光滑封闭曲面围成，无底面、侧面、棱与顶点。 知识点四、立体图形的视图与展开图 1..三视图：三视图是从正面、左面、上面三个固定视角观察几何体得到的平面图形，是立体图形转为平面图形的核心方法。 主视图：正面观察所得图形；左视图：左面观察所得图形；俯视图：上方观察所得图形。 ▲从正面、左面、上面看圆柱、圆锥、球得到的平面图形： 2.展开图 定义：将立体图形表面沿棱剪开平铺得到的平面图形，称为展开图，立体图形与展开图可相互转化。 基础要点：正方体有11种标准展开图；圆柱展开图为两个等圆与一个长方形；圆锥展开图为一个圆与一个扇形。 知识点五、点、线、面、体的关系 1.构成关系 点、线、面、体是几何图形的基本元素，点是最基础的几何元素。面与面相交成线，线与线相交成点；面分为平面、曲面，线分为直线、曲线。 2.运动关系 点动成线：笔尖滑动可形成线条轨迹； 线动成面：线段旋转可形成平面或曲面； 面动成体：平面图形旋转可形成立体图形。 ✺题型精讲 题型1.常见的几何体 1．如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 2．“磁力健构片“通过磁铁连接重心，能制作出锥体、正方体等百种造型，立体提拉魔幻成型，直观立体，是开发脑力的益智玩具．如图所示的平面图形经过立体提拉后，立体图形为___________． 3．请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 题型2.组合几何体的构成 1．下列物体的形状类似于长方体的是（    ） A．西瓜 B．砖块 C．沙堆 D．蒙古包 2．如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是______．    3．请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 题型3.立体图形的分类 1．下列四个几何体中，属于棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的图形中，柱体为__________（填序号）． 3．观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 题型4.几何体中的点、棱、面 1．一个棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 2．一个棱柱有8个顶点，则棱的条数为_____． 3．由27个小立方体堆成的一个大立方体如下所示，现将它的表面涂成黄色．问： (1)有三个面涂成黄色的小立方体有几个？ (2)有一个面涂成黄色的小立方体有几个？ (3)有两个面涂成黄色的小立方体有几个？ 题型5.从不同方向看几何体 1．观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 2．如图是一个三棱柱从三个方向看所得到的形状图．若从正面看的高为，从上面看三角形的边长都为，则这个几何体的侧面积为_________． 3．若干个棱长为2的小正方体，摆成如图所示的几何体． (1)求几何体的表面积； (2)依图中摆放方法类推，如果该几何体摆放了上下共10层，求该几何体的表面积． 题型6.几何体展开图的认识 1．如图是三棱柱的立体图形，下列图形中可以作为三棱柱的展开图的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为___________，___________，___________ 3．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 题型7.由展开图计算几何体的表面积 1．树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 2．一个直三棱柱，它的底面边长都相等，侧棱长，侧面积是，那么它的底面边长是______． 3．如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)若每个小立方块的棱长为3，则该几何体（不含与地面接触的面）的表面积是多少？ 题型8.由展开图计算几何体的体积 1．如图，是一个无盖长方体盒子的展开图，则该无盖长方体盒子的容积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．1 2．如图1所示为宽、长30cm的长方形纸板，某同学要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为________． 3．如图是一个几何体的展开图． (1)该几何体的名称是________； (2)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 题型9.正方体几种展开图的识别 1．下列图形中，属于正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是________（填序号） 3．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是_____． A．    B．    C．    D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形．则下列图形中可能是该长方体表面展开图的有_____（填序号）． (3)下列、分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图的外围周长为52，请你求出图的外围周长； (4)第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并在图中用数字标注出外围各线段的长度，并求出它的外围周长． 题型10.正方体相对两面上的字 1．如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字．若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（     ） A．5 B．4 C．3 D．6 2．在学校的倡导下，同学们积极投入我市开展创造“全国文明城市”活动中，为此小萌同学特别设计了一个正方体，其展开图如图所示，则“文”在正方体中所对的字是________． 3．如图是一个立体图形的展开图． (1)该立体图形的名称是________． (2)若将展开图折叠成立体图形后，相对两个面上的数互为相反数，求的值． 题型11.含图案的正方体的展开图 1．如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 2．下图是一个正方体纸盒的展开图，当把它折叠成正方体纸盒时，C点与( )点重合．    3．一个长方体的每个面上都标注了字母，如图是该长方体的表面展开图，请根据要求回答问题： (1)如果A在长方体的底部，那么哪一面会在上面？ (2)如果面F在前面，从左面看是B面，那么哪一面会在上面？ (3)如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？ 题型12.求展开图上两点折叠后的距离 1．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是______． 3．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    题型13.补一个面使图形围成正方体 1．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 3．如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面． 题型14.平面图形形状的识别 1．图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 2．你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形：______（填序号）． 立体图形：______（填序号）． 3．把图中的一个直角三角形和一个直角梯形拼在一起，可以拼成几种不同的常见平面图形？画出你所拼出的图形． 题型15.用七巧板拼图形 1．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 2．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 3．请用七巧板图，拼成图的图案．（提示：先在图中用1、2、3、4、5、6、7等七个数字标明七巧板的七个部分，再在图中标出这七个部分的位置．） 题型16.点、线、面、体四者之间的关系 1．下列现象对应的数学原理描述错误的是（   ） A．流星划过夜空留下光迹——点动成线 B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面——线动成面 C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体——面动成体 D．铅笔在纸上写字留下笔画——线动成面 2．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 3．想一想，连一连． 题型17.平面图形旋转后所得的立体图形 1．将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的宽所在的直线旋转一周，得到的几何体其中一个底面的面积为_____．（结果保留） 3．铁一陆港学校在11.3日开展了“节约粮食，文明就餐”的主题班会，初一年级某小组同学在筹备班会的过程中查阅资料获悉：据国家粮食和物资储备局发布，截至”2025年9月30日，全国各类粮食经营主体累计收购小麦10795万吨，早籼稻1281万吨，油菜籽587万吨收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图___________旋转一周后得到 (2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 题型18.截一个几何体 1．如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 2．用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 3．如图，沿正方体的两个平面和切割，将此正方体切成4块．请问含有顶点的那一块占正方体体积的几分之几？ ✺巩固测试 一、单选题 1．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 2．下列小明的积木玩具抽象图中，是四棱柱的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，将一个长方形纸片的四个角剪去个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 5．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．将如图折成一个正方体后，“我”对面的字是( )，“喜”对面的字是( )． 7．如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是_______，体积是_______． 8．下列说法中：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形，正确的个数是______个． 9．如图，小明将一张长为、宽为的长方形纸片四个角分别裁剪掉一个小正方形，然后折叠成一个无盖长方体盒子．若折叠成的无盖长方体盒子的长、宽、高的比为，则长方体盒子的容积为______． 10．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是________．    三、解答题 11．观察如下图所示的图形，回答下列各题： (1)按平面图形和立体图形分类． (2)把立体图形按柱体、锥体、球体分类． (3)指出各面都是平面的立体图形． 12．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课上，兴趣小组同学们用一张正方形纸片依据图1，制作了图2所示的七巧板． (1)图1中与长度相等的线段是 ； （写出一条即可） (2)从图 2所示的七巧板中任选几块拼出一个等腰梯形，画出你拼图案的形状图（在所画图中标出选取的七巧板序号）． 13．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是___________，这能说明的事实是___________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积和表面积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 14．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_____棱柱，共有_____个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_____，_____（写出你认为可能的两种形状）； (3)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 15．某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $