6.2直线、射线、线段（7大知识点+12大题型+分层训练）2026年小升初人教版七年级数学上册

6.2直线、射线、线段 学习目标导航 1、概念与表示：进一步认识直线、射线、线段，掌握它们的特征、共性与区别，并能用正确的符号表示它们。 2、基本事实：掌握基本事实“两点确定一条直线”，并理解其在生活中的应用；掌握基本事实“两点之间，线段最短”，理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 3、比较与运算：会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义。 4、尺规作图：能用尺规完成“作一条线段等于已知线段”以及“作线段的和、差”等基本作图，理解作图原理，发展几何直观和推理能力 洞悉◆教材知识 知识点01 直线的概念与性质 1.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 表示方法 图示 特征 直线 （1）用直线上任意表示两个点的大写字母表示； （2）用一个小写字母表示． （1）无端点； （2）无方向； （3）不可度量． 射线 （1）用表示射线的端点和射线上另一点的大写字母表示（表示端点的字母必须写在前面）； （2）用一个小写字母表示． （1）一个端点； （2）有方向； （3）不可度量． 线段 （1）用线段两个端点的大写字母表示； （2）用一个小写字母表示． （1）两个端点； （2）无方向； （3）可以度量． 2.直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 知识点02 射线、线段的概念 1.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 2.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 知识点03 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点04 线段大小比较 （1）度量法：利用刻度尺测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较． （2）叠合法：把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，另外两个端点落在重合点的同侧，然后根据另一个端点的位置进行比较．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点05 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 知识点06 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点07 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 核心题型◆归纳 【题型1 直线、射线、线段的联系与区别】 【题型2 点与线的位置关系】 【题型3 两点确定一条直线】 【题型4 直线、线段、射线的数量问题】 【题型5 直线相交的交点个数问题】 【题型6 画直线、射线、线段】 【题型7 作线段（尺规作图）】 【题型8 两点之间线段最短】 【题型9 线段的和与差】 【题型10 线段中点的有关计算】 【题型11 线段n等分点的有关计算】 【题型12 与线段有关的动点问题】 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1 直线、射线、线段的联系与区别】 例题：如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 【变式训练】 1．如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【题型2 点与线的位置关系】 例题：如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式训练】 1．下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 【题型3 两点确定一条直线】 例题：值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线没有端点 D．以上说法都不对 【变式训练】 1．要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【题型4 直线、线段、射线的数量问题】 例题：如图中以点C为端点的线段有 条，它们是 ；直线有 条，它们是 ；以点C为端点的射线有 条，它们是 ． 【变式训练】 1．如图，有一个端点是D的线段有 条，以A为端点的射线有 条，共有线段 条． 【题型5 直线相交的交点个数问题】 例题：一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域． 【变式训练】 1．观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 【题型6 画直线、射线、线段】 例题：如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 【变式训练】 1．如图，平面上有三个点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，并反向延长至，使． 【题型7 作线段（尺规作图）】 例题：如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练】 1．如图，已知线段、．请你用尺规作图，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型8 两点之间线段最短】 例题：数学源于生活，寓于生活，用于生活．在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，其依据是 ． 【变式训练】 1．如图，在一个广场上的点和点两处，分别有一只小狗和一块骨头，小狗想走最短路程吃到骨头，我们知道最短路线是②，其数学理由是 ． 【题型9 线段的和与差】 例题：如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．如图，点是线段延长线上的一点，且、将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【题型10 线段中点的有关计算】 例题：如图，点B是线段上一点，且，．点O是线段的中点． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长． 【变式训练】 1．已知点在线段上，点在线段上， (1)如图1，若，，为线段的中点，求线段的长度； (2)如图2，若，，为线段的中点，，求线段的长度． 【题型11 线段n等分点的有关计算】 例题：已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 【变式训练】 1.已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【题型12 与线段有关的动点问题】 例题：如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【变式训练】 1．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． ABC分层训练 1．如图各图中，表示线段、射线的是（　　） A．  B．  C．  D．   2．如图，用圆规比较两条线段的长短，正确的是（   ）    A． B． C． D．无法确定 3．如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的概念 D．以上都不是 4．借助圆规，可得图中最长的线段是（    ） A． B． C． D． 5．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比线段短 D．对角线最短 6．根据“点P是直线a外的一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q”画图，下列图形正确的是（   ） A．B．C． D． 7．如图，从A地到B地，有四条路可走，那么最短的路是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 8．线段、射线、直线的区别： 线段有______个端点，长度______，______度量；射线有______个端点，长度______，______度量；直线有______个端点，长度______，______度量． 9．有不在同一条直线上的两条线段和，李明很难判断出它们的长短，因此他借助于圆规，操作如图所示．由此可得出__________．（填“”“”“”） 10．如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是________________． 11．周末自驾游，小明准备从大明湖南门去往红叶谷景区，打开导航，显示两地距离为，但导航提供的三条路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学依据是“两点之间，____________”． 12．如图，线段，点是线段上一点，且，点为线段的中点，则线段______． 13．如图所示，图中直线、线段和直线上的射线分别有几条，分别是哪几条？ 14．点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 15．在下列各图中，直线的表示法正确的是（    ） A． B． C． D． 16．如图，用一支角度固定的圆规比较线段a、b的长短，则（　　） A． B． C． D．无法确定 17．如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，小莹利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 19．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图①，点C在线段AB的延长线上 B．如图②，射线BC经过点A C．如图③，直线a和直线b相交于点A D．如图④，射线CD和线段AB没有交点 20．如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 21．如图，图中有________条射线，分别是________．    22．如图，点、分别是线段上两点(，)，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ________ ．     23．在同一平面内，三条直线两两相交，如果最多有a个交点，最少有b个交点，那么_____． 24．“景莫妙于曲”故如图园林中的桥多做成折角，以形成一条折线，达到延长风景线，扩大景观画面的效果．其中蕴含的数学道理是：两点之间，________． 25．如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 26．按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2直线、射线、线段 学习目标导航 1、概念与表示：进一步认识直线、射线、线段，掌握它们的特征、共性与区别，并能用正确的符号表示它们。 2、基本事实：掌握基本事实“两点确定一条直线”，并理解其在生活中的应用；掌握基本事实“两点之间，线段最短”，理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 3、比较与运算：会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义。 4、尺规作图：能用尺规完成“作一条线段等于已知线段”以及“作线段的和、差”等基本作图，理解作图原理，发展几何直观和推理能力 洞悉◆教材知识 知识点01 直线的概念与性质 1.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 表示方法 图示 特征 直线 （1）用直线上任意表示两个点的大写字母表示； （2）用一个小写字母表示． （1）无端点； （2）无方向； （3）不可度量． 射线 （1）用表示射线的端点和射线上另一点的大写字母表示（表示端点的字母必须写在前面）； （2）用一个小写字母表示． （1）一个端点； （2）有方向； （3）不可度量． 线段 （1）用线段两个端点的大写字母表示； （2）用一个小写字母表示． （1）两个端点； （2）无方向； （3）可以度量． 2.直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 知识点02 射线、线段的概念 1.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 2.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 知识点03 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点04 线段大小比较 （1）度量法：利用刻度尺测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较． （2）叠合法：把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，另外两个端点落在重合点的同侧，然后根据另一个端点的位置进行比较．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点05 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 知识点06 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点07 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 核心题型◆归纳 【题型1 直线、射线、线段的联系与区别】 【题型2 点与线的位置关系】 【题型3 两点确定一条直线】 【题型4 直线、线段、射线的数量问题】 【题型5 直线相交的交点个数问题】 【题型6 画直线、射线、线段】 【题型7 作线段（尺规作图）】 【题型8 两点之间线段最短】 【题型9 线段的和与差】 【题型10 线段中点的有关计算】 【题型11 线段n等分点的有关计算】 【题型12 与线段有关的动点问题】 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1 直线、射线、线段的联系与区别】 例题：如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线、射线、线段的概念，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判断即可 【详解】解：A． 直线和直线是同一条直线，故该选项错误，不符合题意； B． 射线和射线是同一条射线，故该选项错误，不符合题意； C． 点在线段上，故该选项正确，符合题意； D． 直线没有端点，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 【题型2 点与线的位置关系】 例题：如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】点与线的位置关系 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 【变式训练】 1．下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 【答案】A 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、点与线的位置关系 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是根据图形，能用几何语言描述它们的关系．根据直线、射线、线段的定义与图形逐项判断即可． 【详解】解：①如图1，直线、相交于点，与图相符，故选项A符合题意； ②如图2，直线与线段有公共点，故选项B不符合题意； ③如图3，只能反向延长射线，故选项C不符合题意； ④如图4，点不在直线上，故选项D不符合题意． 故选：A． 【题型3 两点确定一条直线】 例题：值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线没有端点 D．以上说法都不对 【答案】A 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答． 【详解】解：值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：A． 【变式训练】 1．要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【答案】A 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的公理，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是两点确定一条直线， 故选：A． 【题型4 直线、线段、射线的数量问题】 例题：如图中以点C为端点的线段有 条，它们是 ；直线有 条，它们是 ；以点C为端点的射线有 条，它们是 ． 【答案】 3 线段，线段，线段 2 直线，直线 2 射线，射线 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查线段，直线，射线的定义，根据线段，直线，射线的定义解答即可，熟练掌握线段、射线和直线的定义，是解题关键． 【详解】解：如图中以点C为端点的线段有3条，它们是线段、线段、线段；直线有2条，它们是直线、直线；以点C为端点的射线有2条，它们是射线、射线． 故答案为：3；线段、线段、线段；2；直线、直线；2；射线、射线． 【变式训练】 1．如图，有一个端点是D的线段有 条，以A为端点的射线有 条，共有线段 条． 【答案】 3 2 8 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了对线段，射线的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力． 以为端点的线段有、、共3条．以为端点的射线有射线、，共2条．图中共有8条线段． 【详解】解：端点为的线段有，，，共3条； 端点为的射线有射线，射线，共2条； 线段有、、、、、、、，共8条， 故答案为：3，2，8． 【题型5 直线相交的交点个数问题】 例题：一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域． 【答案】7 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了直线相交对平面区域划分的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据三条直线在平面内的位置关系进行作答，即可求解； 【详解】解：三条平行直线可以把平面分成4部分， 三条直线中，有两条平行时可以把平面分成6部分， 三条相交直线可以把平面分成7部分； 故答案为：7； 【变式训练】 1．观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 【答案】 3 6 28 7 11 37 【知识点】图形类规律探索、直线相交的交点个数问题 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点； 5条直线相交最多有个交点； 6条直线相交最多有个交点； 7条直线相交，最多有个交点， 8条直线相交，最多有个交点， … n条直线相交最多有个交点； 故答案为：，，， （2）1条直线最多把平面分成部分； 2条直线最多把平面分成部分； 3条直线最多把平面分成部分； 4条直线最多把平面分成部分； 5条直线最多把平面分成部分； 6条直线最多把平面分成部分； 7条直线最多把平面分成部分； 8条直线最多把平面分成部分； … n条直线最多把平面分成； 故答案为：，，，； 【题型6 画直线、射线、线段】 例题：如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义按要求作图． （1）根据直线没有端点、向两个方向无限延伸，射线有一个端点，向一个方向无限延伸，线段有两个端点，不延伸，画出直线，射线，线段； （2）线段上任取一点（不同于，），连接，再根据画出符合要求的图形即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 【变式训练】 1．如图，平面上有三个点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，并反向延长至，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解答本题的关键． （1）根据直线的定义画图即可． （2）根据射线的定义画图即可． （3）连接，并反向延长至，使． 【详解】（1）解：直线如图所示； （2）解：射线如图所示； （3）解：连接，并反向延长至，使 【题型7 作线段（尺规作图）】 例题：如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，先作射线，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，接着以点C为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于D．最后以D为圆心，线段a的长为半径画弧交线段于B，则线段即为所求． 【详解】解：如图所示，线段即为所求； 【变式训练】 1．如图，已知线段、．请你用尺规作图，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作一条线段等于已知线段，先作射线，然后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，即可得出答案． 【详解】解：如图，线段即为所求作的线段． 【题型8 两点之间线段最短】 例题：数学源于生活，寓于生活，用于生活．在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，其依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题关键． 此题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短的性质． 【详解】解：在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式训练】 1．如图，在一个广场上的点和点两处，分别有一只小狗和一块骨头，小狗想走最短路程吃到骨头，我们知道最短路线是②，其数学理由是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了公理“两点之间，线段最短”，熟知公理是解题关键．根据两点之间，线段最短即可求解． 【详解】解：最短路线是②，其数学理由是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【题型9 线段的和与差】 例题：如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)18 【知识点】线段的和与差、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作线段，线段的和与差，找准线段之间的和差关系，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点即可； （2）根据比例关系求出的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．如图，点是线段延长线上的一点，且、将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了线段和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设为，则为，为，由，求出，则，然后由即可求解； （）设为，则为，为，先求出，则，同（）理求出，则，最后由线段和差即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设为，则为，为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据题意，设为，则为，为， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长为． 【题型10 线段中点的有关计算】 例题：如图，点B是线段上一点，且，．点O是线段的中点． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长． 【答案】(1)6 (2)6 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段定义，两点间的距离，掌握线段定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据线段定义解答即可； （2）根据已知，由，根据点O是线段的中点，即可求出的长，再根据进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：观察图形可知，线段有：，共6条． 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 【变式训练】 1．已知点在线段上，点在线段上， (1)如图1，若，，为线段的中点，求线段的长度； (2)如图2，若，，为线段的中点，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法． （1）根据题意得出，再根据线段的中点可得出，最后根据线段的和差即可得出． （2）设，根据题意可得出，，进一步得出，再根据线段的中点可得出，再根据得出x的值，进一步即可得出． 【详解】（1）解：解：如图1所示： ，， 又为线段的中点 （2）解：如图2所示： 设 ， ，， 又， ， 又， ， 为线段的中点 又， 又 ， 解得：， ． 【题型11 线段n等分点的有关计算】 例题：已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由，可得，，然后根据求解即可； （2）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 【变式训练】 1.已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 【题型12 与线段有关的动点问题】 例题：如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题、线段的和与差 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 【变式训练】 1．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)①6.5；②或． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，，根据点E是的中点，可得出，由，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． ABC分层训练 1．如图各图中，表示线段、射线的是（　　） A．  B． C．   D．   【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了线段，射线，直线的表示方法；根据线段，射线，直线的表示方法对各个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解： A．图中是直线，射线，故选项A不符合题意； B．图中是线段，射线，故选项B符合题意； C．图中是射线，线段，故选项C不符合题意； D．图中是线段，射线，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．如图，用圆规比较两条线段的长短，正确的是（   ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由图可得，即可选出答案． 【详解】解：观察题中所给的图可知，． 故选：A． 3．如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的概念 D．以上都不是 【答案】B 【知识点】两点确定一条直线 【分析】由两点确定一条直线可直接得出答案． 此题主要考查了两点确定一条直线，理解题意是解题关键． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，这样做蕴含的数学原理是：两点确定一条直线． 故选：B． 4．借助圆规，可得图中最长的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】用圆规量出四条线段，再进行比较即可． 此题考查了比较线段的长短，会用圆规度量各线段是本题的关键． 【详解】通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的， 故选：C． 5．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比线段短 D．对角线最短 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记两点之间、线段最短是解题的关键． 根据线段的性质即可解答． 【详解】解：为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，是因为两点之间线段最短． 故选：B． 6．根据“点P是直线a外的一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q”画图，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查根据语句画图问题，掌握基本作图的语句，按要求画图是解题关键．先根据语句作出图形，再根据图形作出判断即可． 【详解】解：根据语句作图如下： 正确的是D． 故选择：D． 7．如图，从A地到B地，有四条路可走，那么最短的路是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题可根据线段的性质“两点之间，线段最短”来判断从地到地的最短路径．本题主要考查了线段的性质，熟练掌握“两点之间，线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵两点之间，线段最短，在从地到地的四条路中，路径②是线段， ∴最短的路是②． 故选：B． 8．线段、射线、直线的区别： 线段有______个端点，长度______，______度量；射线有______个端点，长度______，______度量；直线有______个端点，长度______，______度量． 【答案】 2 有限 可以 1 无限 无法 0 无限 无法 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【解析】略 9．有不在同一条直线上的两条线段和，李明很难判断出它们的长短，因此他借助于圆规，操作如图所示．由此可得出__________．（填“”“”“”） 【答案】> 【知识点】线段的和与差 【分析】根据题意及线段的大小比较可直接得出答案． 【详解】由图可得：AB＞CD； 故答案为＞． 【点睛】本题主要考查线段的大小比较，熟练掌握线段的大小比较是解题的关键． 10．如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是________________． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键；根据两点确定一条直线进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的依据是两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 11．周末自驾游，小明准备从大明湖南门去往红叶谷景区，打开导航，显示两地距离为，但导航提供的三条路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学依据是“两点之间，____________”． 【答案】线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短原理解答即可． 本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间线段最短， 故答案为：线段最短． 12．如图，线段，点是线段上一点，且，点为线段的中点，则线段______． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差，线段中点的定义，根据，代入数据进行计算即可求出的长；再求出的长，然后根据线段中点的定义求解即可．准确识图并掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴． 故答案为：． 13．如图所示，图中直线、线段和直线上的射线分别有几条，分别是哪几条？ 【答案】见解析 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题重点考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握其计数方法是解题的关键．利用直线、射线、线段的定义，结合图形即可得出答案，注意做到不重不漏． 【详解】解：直线有3条，分别是直线、直线、直线． 线段有6条，分别是线段、线段、线段、线段、线段、线段． 直线上的射线有6条，分别是射线、射线、射线、射线、射线、射线． 14．点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)7 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用线段的和求解； （2）先利用线段中点的意义得出，利用线段的和差得出，再得出，然后结合，，得出，从而可得，求得，再求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点C、点D在线段上，， ∴， 即； （2）解：∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， 即． 15．在下列各图中，直线的表示法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线的表示方法：用直线上任意两点的大写字母表示或单独用一个小写字母表示；根据表示方法进行逐项判断，即可求解． 【详解】解：A.直线不能用一个大写字母和一个小写字母组合表示，故不符合题意； B.直线能用两个大写字母组合表示，故符合题意； C.直线不能用两个小写字母组合表示，故不符合题意； D.直线不能用一个大写字母和一个小写字母组合表示，故不符合题意； 故选：B． 16．如图，用一支角度固定的圆规比较线段a、b的长短，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】线段的和与差 【分析】此题主要考查了线段的大小比较，熟练掌握线段大小比较的方法是解决问题的关键．根据线段的大小比较即可得出答案． 【详解】解：根据线段的大小比较得：． 故选：A． 17．如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查直线、线段及射线的知识，根据直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸即可得出答案． 【详解】解：A、射线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； B、射线和延伸后不能相交，故本选项不符合题意； C、射线和直线延伸后能相交，故本选项符合题意； D、直线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； 故选：C． 18．如图，小莹利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】此题考查了线段中点和线段的和差倍分，由点D为CE的中点，可得，再结合，再逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴，，故A错误，B正确； ∵， ∴，故C、D错误； 故选：B． 19．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图①，点C在线段AB的延长线上 B．如图②，射线BC经过点A C．如图③，直线a和直线b相交于点A D．如图④，射线CD和线段AB没有交点 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、点与线的位置关系 【分析】本题需要根据直线、射线、线段的位置关系，逐一分析每个选项中几何图形与语言描述是否相符． 【详解】选项A：图①中，点C在线段的延长线上，而非线段的延长线上，该选项错误； 选项B：图②中，射线的延伸方向不经过点A，该选项错误； 选项C：图③中，直线a和直线b相交于点A，该选项正确； 选项D：图④中，射线延伸后会与线段有交点，该选项错误． 故选： C． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的位置关系，掌握直线、射线、线段的延伸性以及它们之间的位置关系判断方法是解题的关键． 20．如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】根据中点的定义，可求出和的长度，根据和的比例关系，可求出的长度，最后用加上即可求出的长． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中点的定义和成比例线段，熟练地根据中点的定义和线段间的比例关系求出需要线段的长度是解题的关键． 21．如图，图中有________条射线，分别是________．    【答案】 射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】根据图的提示，结合直线，射线，线段的基本概念，即可求解． 【详解】解：端点是点的射线有条，它们分别是：射线，射线； 端点是点的射线有条，它们分别是：射线，射线，射线，； 端点是点的射线有条，它们分别是：射线，射线； 端点是点的射线有条，它是：射线； 故合计条射线， 故答案为：；射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线． 【点睛】此题考查了射线的概念，熟练根据定义判断射线是解题的关键． 22．如图，点、分别是线段上两点(，)，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ________ ．     【答案】 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差计算，根据题意得出， ，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，，点与点恰好重合， ，， ∴， ． ∴． 故答案为：4． 23．在同一平面内，三条直线两两相交，如果最多有a个交点，最少有b个交点，那么_____． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查了直线相交的交点个数问题，代数式求值等知识点，熟练掌握直线的几何特性是解题的关键． 分析可得：平面内三条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，于是可求得的值． 【详解】解：平面内三条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点， ，， ， 故答案为：． 24．“景莫妙于曲”故如图园林中的桥多做成折角，以形成一条折线，达到延长风景线，扩大景观画面的效果．其中蕴含的数学道理是：两点之间，________． 【答案】线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，掌握两点之间，线段最短，是解题的关键． 【详解】由题意，可知，蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短． 故答案为：线段最短． 25．如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查两点间的距离，线段之间的数量关系， （1）利用线段的和差计算即可； （2）利用线段之间的比例关系，以及线段中点的定义，即可求出线段的长； 解题的关键是掌握线段的加减，线段中点的定义． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （2）设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 26．按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②；③不论取何值(小于)，的长不变， 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由线段中点的定义得到的长，进而得到的长即可得到答案； ②先求出的长，再由线段中点的定义得到的长即可得到答案； ③设，根据②的方法求解，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． ③设， ∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 不论取何值(小于)，的长不变， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $