第3章 勾股定理 单元测试卷-2026-2027学年苏科版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦勾股定理单元复习，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖定理应用、实际问题解决及证明，适配初中数学单元巩固与几何直观、推理能力等核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|7/21|直角边求斜边（第1题）、逆定理判断（第2题）|基础概念辨析，突出运算能力| |填空题|9/27|斜边上的高（第1题）、网格角度计算（第3题）|结合几何直观，强化空间观念| |解答题|8/72|航海触礁问题（第1题）、火柴盒验证定理（第8题）|实际情境建模，体现创新应用与推理意识|

第3章 勾股定理 一．选择题（共7小题，满分21分，每小题3分） 1．（3分）在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和4，则斜边的长度是（　　） A．2 B． C．5 D．或5 2．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A． B． C．5，12，12 D．2，4，5 3．（3分）下列命题中是假命题的是（　　） A．△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形 B．△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形 4．（3分）一直角三角形的三边长分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（　　） A．13 B．5 C．13或5 D．4 5．（3分）有一个边长为40cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（　　） A．40cm B．20cm C．40cm D．40cm 6．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（　　） A．13 B．26 C．47 D．94 7．（3分）如图，有一个圆柱体，它的高BD等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程是（　　） A．18cm B．15cm C．12cm D．9cm 二．填空题（共9小题，满分27分，每小题3分） 1．（3分）直角三角形两直角边长分别为6和8，则它斜边上的高为　 　 ． 2．（3分）如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 　 　 米． 3．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的度数为　 　 ． 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝　 　 ． 5．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则以AB为直径的半圆的面积为　 　 ． 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，CD＝12，BC＝13，则四边形ABCD的面积为　 　 ． 7．（3分）如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，则梯子顶端A下落了 　 　 米． 8．（3分）一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板 　 　 （填“能”或“不能”）从门框内通过． 9．（3分）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 1．（8分）如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 2．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长． 3．（8分）在△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝m+n，． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）是否同时存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝2ab？若存在，求a，b，c的值，若不存在，请说明理由． 4．（10分）八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH、DH． 5．（10分）拖拉机在行驶的过程中的噪音会影响周围环境，某拖拉机位于A学校正南方向125m的B处，正以150m/min的速度沿公路BC方向行驶，如图所示，已知A学校到BC的距离AD＝35m， （1）求拖拉机从B处行驶到D处经过多长时间？ （2）如果在距拖拉机91m的圆形区域内都将受噪音影响，那么A学校受到拖拉机噪音影响的时间有多长？（精确到0.1） 6．（8分）如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，又CD＝3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用． 7．（8分）如图，涂色部分是两个直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形，且两斜边的夹角是直角．请利用这个图形验证勾股定理． 8．（12分）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c． （1）试用a、b有关的代数式表示梯形BCC′D′的面积； （2）试用a、b、c有关的代数式分别表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面积； （3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：a2+b2＝c2． 参考答案 一．选择题 1．【解答】解：∵在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和4， ∴斜边的长度是5， 故选：C． 2．【解答】解：A、∵12+12＝2，， ∴12+12＝（）2， ∴以为边长能构成直角三角形，A符合题意； B、∵，， ∴， ∴以为边长不能构成直角三角形，B不符合题意； C、∵52+122＝169，122＝144， ∴52+122≠122， ∴以5，12，12为边长不能构成直角三角形，C不符合题意； D、∵22+42＝4+16＝20，52＝25， ∴22+42≠52， ∴以2，4，5为边长不能构成直角三角形，D不符合题意； 故选：A． 3．【解答】解：A、∠B+∠A＝∠C，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意． B、若a2＝（b+c）（b﹣c），所以a2+c2＝b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意． C、若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意． D、若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意． 故选：C． 4．【解答】解：当2和3都是直角边时，则x2＝4+9＝13； 当3是斜边时，则x2＝9﹣4＝5． 故选：C． 5．【解答】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为：40． 故选：C． 6．【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2， 即S3＝9+25+4+9＝47． 故选：C． 7．【解答】解：如图所示： 由于底面上圆的周长等于18cm， 则． 又∵BD＝AC＝12 ∴． 故蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程15cm； 故答案为：B． 二．填空题 1．【解答】解：设斜边长为c，高为h． 由勾股定理可得：c2＝62+82， 则c＝10， 直角三角形面积S6×810×h， 可得：h． 故答案为：． 2．【解答】解：∵AC＝4米，BC＝3米，∠ACB＝90°， ∴折断的部分长为AB5， ∴折断前高度为BC+AB＝5+3＝8（米）． 3．【解答】解：连接AC， ∵在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1， ∴，， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 故答案为：45°． 4．【解答】解：设CD＝x，则BC＝5+x， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2﹣CD2＝25﹣x2， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2＝64﹣（5+x）2， 所以，25﹣x2＝64﹣（5+x）2， 解得x＝1.4， 即CD＝1.4． 故答案为：1.4． 5．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∴以AB为直径的半圆的面积π（）2π（）2π． 故答案为：π． 6．【解答】解：连接BD，则有BD5， ∵52+122＝132， 即BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD为直角三角形， ∴四边形的面积＝S△ADB+S△BCDAD•ABBD•CD3×45×12＝36． 7．【解答】解：在直角△ABC中，已知AB＝2米，BC＝1.2米， ∴AC1.6（米）， 在直角△CDE中， ∵CD＝CB+BD＝1.2+0.4＝1.6（米），DE＝AB＝2米， ∴CE1.2（米）， ∴AE＝AC﹣CE＝1.6﹣1.2＝0.4（米） 故答案为：0.4． 8．【解答】解：连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形， 根据勾股定理得AC， ∵（）2＝5，2.22＝4.84， ∴2.2． ∴AC＞2.2， 故薄木板能从门框内通过． 故答案为：能． 9．【解答】解：直角三角形直角边的较短边为3， 正方形EFGH的面积＝5×5﹣4×3÷2×4＝25﹣24＝1． 故答案为：1． 三．解答题 1．【解答】解：有触礁危险． 理由：过点P作PD⊥AC于D． 设PD为x，在Rt△PBD中， ∠PBD＝90°﹣45°＝45度． ∴BD＝PD＝x． 在Rt△PAD中， ∵∠PAD＝90°﹣60°＝30°， ∴ADx， ∵AD＝AB+BD， ∴x＝6+x， ∴x， ∵3（1）＜9， ∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险． 3．【解答】（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12， ∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2， ∴∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：∵AB＝AC， ∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9， ∵∠ADC＝90°， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴（AD+9）2＝AD2+122， ∴AD， ∴AC9． 3．【解答】解：（1）∵a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝m+n，c＝2， ∴（m﹣n）2+（2）2＝m2+n2﹣2mn+4mn＝（m+n）2， ∴a2+c2＝b2， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）不存在，理由： 由（1）知a2+c2＝b2，即c2＝b2﹣a2， 假设存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝2ab， ∴b2﹣a2＝2ab， ∴a2+2ab﹣b2＝0， ∴ab±b＝（﹣1±）b， ∵b是正整数，﹣1±是无理数， ∴（﹣1±）b是无理数，即a是无理数，与题意不符， ∴不能同时存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝2ab． 4．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得（米）． 所以CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）； （2）由得， 在Rt△BHD中，BH9． 5．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，BD120（m）， 故120÷150（min）， 答：拖拉机从B处行驶到D处经过min； （2）以A为圆心，以91km为半径画弧，交BC于P、Q， 则A学校在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响（如图）， 由题意，AP＝91km，在Rt△ADP中， PD84（m）， ∵AP＝AQ，∠ADB＝90°， ∴DP＝DQ， ∴PQ＝2×84＝168（m）， ∴1.12≈1.1（分钟）， 答：A学校受到拖拉机噪音影响的时间为1.1分钟． 6．【解答】解：如图所示，点O就是建水厂的位置， ∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km， ∴AE＝AC+CE＝AC+DB′＝AC+BD＝1+3＝4km， B′E＝CD＝3km， AB′5km， 铺设水管长度为：AO+OB＝AO+OB′＝AB′＝5km， ∵铺设水管的工程费用为每千米20 000元， ∴铺设水管的总费用为：5×20 000＝100 000元． 故答案为：100 000元． 7．【解答】证明：设梯形的面积为S，则， 又∵梯形的面积为三个三角形面积的和， ∴， ∴， 即a2+b2＝c2． 8．【解答】解：（1）梯形BCC′D′的面积（a+b）（a+b）（a2+b2）+ab； （2）∵∠CAD＝∠C′AD′， ∠ACC′＝∠CAD+∠B′AC′ ∠B′AC′+C′AD′＝90° ∴∠ACC′＝90° ∴△ACC′为直角三角形， SRt△CC'Ac2，SRt△ABC＝SRt△AD′Cab； （3）由图形可知S梯形BCC′D′＝SRt△CC'A+2SRt△ABC， 则（a+b）（a+b）c2+2ab ∴（a2+b2）+abc2+ab． 因此，a2+b2＝c2． 学科网（北京）股份有限公司 $