第3章 勾股定理暑假预习单元卷2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级数学勾股定理单元卷，以文化传承（赵爽弦图）、生活实践（塔吊、航海）为情境，通过基础巩固（选择1-3）、能力提升（填空13-15）、创新应用（解答23-24）的梯度设计，适配单元复习，培养抽象能力、几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理判定（1）、数轴与无理数（2）、方程与直角三角形（3）|结合“赵爽弦图”（8）考查证明思想，融入会泽梨园实际问题（4）| |填空题|6/18|正方形面积与勾股定理（11）、塔吊钢索长度（12）、正方体表面最短路径（13）|网格背景（15）强化几何直观，折叠问题（14）提升空间观念| |解答题|8/72|航海问题（21）、台风影响判断（22）、数形结合探究（23）、构图法面积计算（24）|综合题（24）通过网格构图发展创新意识，实际应用题（21-22）培养模型观念|

2026-2027学年八年级数学上学期第3章单元试卷 苏科版 考试范围：第3章 勾股定理；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（     ）． A．1，2，3 B．9，12，15 C．1，1， D．6，7，8 2．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 3．已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图，会泽县水城梨园里的一棵梨树的一段被风吹断，顶端着地，段与地面成夹角，若段长度为2米，则顶端着地处与大树底端之间的距离为（ ） A．8米 B．米 C．米 D．4米 5．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   6．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 9．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上的一点，连结，将绕点逆时针旋转到的位置，连结．下列说法：①；②；③；④． 其中正确的个数是（     ）． A． B． C． D． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 12．如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为______米． 13．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 14．如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 15．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 16．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为________． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）如图，在中，，，，试求线段的长． 18．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)的长为________，的面积为________； (3)在直线上找一点，使得的周长最小． 19．（8分）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 20．（8分）如图所示，某市规划在一块总面积为的空地上修建一个口袋公园，公园分为活动广场和绿化区两部分，要求绿化区的面积大于总面积的． 设计方案 已知：，．    解决问题： (1)为方便市民进出，计划在绿化区中铺设一条直道，这条直道的长度为__________； (2)请判断上述设计方案是否符合规划要求，并说明理由． 21．（10分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． (1)试判断的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 22．（10分）如图，台风“海葵”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)请判断海港是否会受此次台风的影响，并说明理由． 23．（10分）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 24．（12分）【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，的面积是______； (3)已知，均为正实数，且，求的最小值．小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．所以的最小值是______． (4)拓展应用：代数式的最小值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期第3章单元试卷 苏科版 考试范围：第3章 勾股定理；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（     ）． A．1，2，3 B．9，12，15 C．1，1， D．6，7，8 【答案】B 【分析】若三角形三边长,,（为最长边）满足，则这个三角形是直角三角形，只需计算各选项两短边的平方和，与最长边的平方比较即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴不能构成三角形，不符合题意； 选项B：最长边为， ∵，， ∴，该三角形是直角三角形，符合题意； 选项C：最长边为， ∵，，， ∴该三角形不是直角三角形，不符合题意； 选项D：最长边为， ∵，，， ∴该三角形不是直角三角形，不符合题意． 2．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知＝，再根据条件：点对应的数是原点，可求出点D表示的数． 【详解】解：∵， ∴＝， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数是：． 3．已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值、平方数、算术平方根的非负性求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断三角形形状，最后计算三角形面积． 【详解】解：∵，且，，， ∴ ，，， 解得，，， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，和为直角边， ∴三角形面积． 4．如图，会泽县水城梨园里的一棵梨树的一段被风吹断，顶端着地，段与地面成夹角，若段长度为2米，则顶端着地处与大树底端之间的距离为（ ） A．8米 B．米 C．米 D．4米 【答案】B 【分析】先借助含的直角三角形性质求出斜边长，再套用勾股定理列式，计算得出的长度． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∴． 5．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 6．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 7．如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1确定直角三角形的两直角边长，结合图2判断为直角三角形的斜边，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴剪开得到的直角三角形的两直角边长分别为和， 由图2可知，中间正方形的边长即为直角三角形的斜边， ∴根据勾股定理得． 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 9．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到，即， 解得． 10．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上的一点，连结，将绕点逆时针旋转到的位置，连结．下列说法：①；②；③；④． 其中正确的个数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到，故结论①正确；根据旋转的性质和等腰三角形的性质，得到，故结论②正确；根据旋转角等于对应角的夹角，得到，故结论③正确；首先证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，，由于与不一定相等，得到结论④错误． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴，故结论①正确； ∵是等腰直角三角形，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴，即，故结论②正确； ∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵在等腰直角三角形中，，即， 由于是上的任意一点，与不一定相等， ∴与不一定相等，故结论④错误． 综上所述，①②③正确，正确的个数是． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 12．如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图， 在中，，米，米， 则米， 即钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为米． 13．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【详解】解：如图， ∴． 14．如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 15．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 16．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接、，由直角三角形的性质可得，过点作于点，则，由勾股定理可得，再由垂线段最短即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵，是对角线的中点，， ∴，， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴由垂线段最短可得，当时，有最小值为． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）如图，在中，，，，试求线段的长． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 18．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)的长为________，的面积为________； (3)在直线上找一点，使得的周长最小． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)5； (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）分别作出点关于直线对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求，根据对称可得，则，根据两点之间线段最短即可说理． 【详解】（1）略 （2）解：；； （3）略 19．（8分）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，正确画出展开图，熟练掌握勾股定理是解题关键．将半圆展开，展开后，、、三点构成直角三角形，根据两点之间，线段最短得出为最短距离，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：将半圆面展开，如图所示， ∵，，． ∴在中，由勾股定理得． 答：他滑行的最短距离为． 20．（8分）如图所示，某市规划在一块总面积为的空地上修建一个口袋公园，公园分为活动广场和绿化区两部分，要求绿化区的面积大于总面积的． 设计方案 已知：，．    解决问题： (1)为方便市民进出，计划在绿化区中铺设一条直道，这条直道的长度为__________； (2)请判断上述设计方案是否符合规划要求，并说明理由． 【答案】(1)15 (2)解：不符合规划要求，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴上述设计方案不符合规划要求． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算出面积，再计算出总面积的，比较即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴直道的长度为； （2）略 21．（10分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． (1)试判断的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 由题意知，（海里），（海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形． (2)北偏西 【分析】（1）根据“距离速度时间”求出的值，再利用勾股定理逆定理求出结果； （2）利用方向角求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∵“远航”号沿北偏东50°方向航行， ∴， ∴， ∴“海天号”沿北偏西航行． 22．（10分）如图，台风“海葵”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)请判断海港是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：海港受台风影响，理由如下： 过点作于点， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ∴海港会受台风影响． 【分析】（1）证明，得到是直角三角形，即可得到； （2）过点作于点，利用，求出，再根据，得到海港会受台风影响． 【详解】（1）解：在中，，，， ，，， ， 是直角三角形， ； （2）略 23．（10分）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景和勾股定理的验证，熟练掌握上述知识点是解题的关键. （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）根据周长为，可得：，根据（2）中的结论，在中，由勾股定理得，整理得，根据，可知长方形的面积为：，即可得解. 【详解】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即 故答案为：； （2）解：，理由如下： 图2中图形的面积：， ， ， ； （3）解：设的周长为， ， 根据（2）中的结论，在中，， ， 化简，得， 整理，得， ， 长方形的面积为：. 24．（12分）【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，的面积是______； (3)已知，均为正实数，且，求的最小值．小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．所以的最小值是______． (4)拓展应用：代数式的最小值为______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）通过网格构图，用大长方形面积减去周围直角三角形面积计算的面积； （2）将含参数的边长转化为直角三角形斜边，构造大长方形后用面积差法求解的面积； （3）将代数式转化为直角三角形斜边之和，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形计算最短路径长度； （4）将代数式转化为平面直角坐标系中点的距离之和，通过对称点转化为两点间线段长度，用勾股定理求解最小值． 【详解】（1）解：网格中每个小正方形的边长为1，包围的大长方形长为3、宽为3，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积． （2）解：将看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边， 包围的大长方形长为、宽为的大矩形，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积． （3）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵，，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． （4）解：将代数式转化为平面直角坐标系中，点()到点的距离与到点的距离之和，即． 作点关于轴的对称点，连接，根据对称性质可知， ∴，根据“两点之间线段最短”，当为与轴的交点时，取得最小值，即的长度， ， ∴代数式的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $