1.2.1命题与量词（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦命题、全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题核心知识点，通过柏拉图“所有的人都会死亡”的逻辑推理小故事导入，联系“所有实数的平方大于等于0”等数学语句，承接集合知识，为后续逻辑推理搭建学习支架。 其亮点是采用互动探究、牛刀小试、举一反三的分层设计，结合数学抽象和逻辑推理核心素养，如判断语句是否为命题、用量词符号表示并验证真假。小结从知识、方法、注意事项梳理，帮助学生构建体系，提升学生抽象与推理能力，为教师提供清晰教学资源。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2.1命题与量词 1.2常用逻辑用语 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 3 理解子集、真子集的概念，理解集合间的包含与相等关系，能用韦恩图（Venn图）表示集合关系 能判断两个集合间的包含、相等关系，能识别给定集合的子集，能进行自然语言、符号语言与图形语言之间的转换 通过类比、从具体到抽象的过程，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养 柏拉图说 “所有的人都会死亡”，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死亡。 小故事 这段话是经典逻辑推理。 第一句 “所有的人都会死亡”，这是一句可以判断对错的陈述。这里 “所有” 这个词非常关键。 1. “苏格拉底是人” 这句话是对还是错？ 2. 如果去掉 “所有”，变成 “人都会死亡”，意思有没有变化？ 在数学里，我们经常写类似句子：“所有实数的平方大于等于 0”“存在一个数，它的平方等于−1”。 这些能判断真假的陈述句就是命题，“所有”“存在” 这类刻画数量的词语，叫量词。今天我们学习命题与量词，学会分辨语句真假，为后续逻辑推理打下基础。 目标一：命题 命题及相关概念 知识讲解 互动探究 新课引入 概念 一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述语句称为命题.（ 判断一个语句是命题的两个要点：一是陈述句；二是可以判断真假） 分类 判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题. 表示 一个命题,一般可以用一个小写英文字母表示,如. 形式 “若,则”“如果,那么”“只要,就有”是常见的命题的形式,其中称为命题的条件,称为命题的结论. 5 命题及相关概念 典例分析 牛刀小试 1、下列语句中是命题的有______；是真命题的有______。（只填序号） ①未来是多么美好啊！②求证 是无理数；③矩形是平行四边形吗？④两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；⑤-1>0 (x∈R)；⑥5x>4x。 解析 ①感叹句，不是命题。②祈使句，不是命题。③疑问句，不是命题。④是数学中的公理，是真命题。⑤可以判断其真假，故它是命题，当 x=0 时，该命题不成立，故它是假命题。⑥因为 x 未知，不能判断真假，故不是命题。 对于⑤，若没有给出 x∈R，则该语句不能判断真假，不是命题。这种含有变量的语句称为开语句（条件命题）。开语句不是命题，如 “x>5”“-1=0”“(x+y)(x-y)=0” 这些语句中含有变量 x 或 y，在给这些变量赋具体的值之前，是无法确定语句的真假的。 知识剖析 我们把未能得到真假判断的命题称为猜想。疑问句、祈使句、感叹句一定不是命题。 命题的真假是确定的。一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可。 定义、公理、定理、公式等都是真命题。 要判定一个命题为真命题，需要经过严格的证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可。 有一些命题不能写成“若 p，则 q”的形式，如“某些三角形没有外接圆”。 改变命题形式前后命题的真假不发生变化。 目标二：全称量词与全称量词命题 概念 知识讲解 互动探究 新课引入 全称量词 概念 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词   符号表示 全称量词命题 概念 含有全称量词的命题，称为全称量词命题   一般形式 对集合 中的所有元素   符号表示 9 体验全称量词及命题 典例分析 牛刀小试 2、 [多选题] 下列命题是全称量词命题的是 （ ） A. ∀x∈Q,-1∈Q B. 存在一个菱形是正方形 C. 每个命题都可以判断真假 D. 所有等边三角形的三条高都相等 解析 A 中含有全称量词符号“∀”，所以是全称量词命题； B 中不含有全称量词，所以不是全称量词命题； C 中含有全称量词“每个”，所以是全称量词命题； D 中含有全称量词“所有”，所以是全称量词命题。 答案ACD 知识剖析 一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x∈R,y∈R,+≥0”。 判断一个命题是否为全称量词命题，一是看该命题是否含有全称量词；二是看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，我们可以把全称量词补充出来看是否讲得通。 全称量词命题的真假判断 知识讲解 互动探究 新课引入 要判定全称量词命题 ∀x∈M,r(x) 是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x，验证 r(x) 成立； 要判定全称量词命题 ∀x∈M,r(x) 是假命题，只需举出一个反例，即在集合 M 中找到一个元素 x_0，使得 r(x_0 ) 不成立即可。 12 全称量词号命题真假 典例分析 牛刀小试 3、用量词符号表示下列全称量词命题，并判断其真假： 1. 任意一个实数乘以0都等于0； 2. 自然数的平方是正数。 解析 (1) ∀x∈R,x⋅0=0，是真命题。 (2) ∀x∈N,>0，当 x=0 时，不成立，故是假命题。 全称量词号命题真假 典例分析 牛刀小试 4、判断下列命题的真假: (1)∀x∈R, x²+1>0; (2)∀x∈N, ≥1; 由于∀x∈R,都有x²≥0,因而有 x²+1≥1>0. 因此命题“∀x∈R, x²+1>0”是真命题. 由于0∈N,而且当x=0,≥1不成立, 因此命题“∀x∈N, ≥1”是假命题. 目标三：存在量词与存在量词命题 概念 知识讲解 互动探究 新课引入 存在量词 概念 一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示（常见的还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等）所述事物的个体或部分，称为存在量词   符号表示 存在量词命题 概念 含有存在量词的命题，称为存在量词命题   一般形式 存在集合 中的元素   符号表示 16 体验存在量词命题 典例分析 牛刀小试 5、用符号“∃”表示下列存在量词命题，并判断其真假。 存在一个实数对 ( )，使 2+3+3=0 成立； 至少有一个自然数 ，使 1+2<0； 有些整数既能被 2 整除，又能被 3 整除。 解析 ∃( )∈{(x,y)∣x∈R,y∈R}，使 2+3+3=0。满足题意的实数对 () 有无数个，故是真命题。 ∃∈N,1+2<0。不存在这样的自然数，故是假命题。 ∃∈Z, 既能被 2 整除，又能被 3 整除。=6 满足，该命题是真命题。 一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a,b∈R，。 含有存在量词“存在”“有一个”等的命题都是存在量词命题。 体验存在量词命题 典例分析 牛刀小试 6、判断下列命题的真假： ∃x ∈ Z, x³ < 1; ∃x ∈ Q, x² = 3。 由于 -1 ∈ Z，而且当 x = -1 时，有 (-1)³ < 1。 因此命题“∃x ∈ Z, x³ < 1”是 真 命题。 由于使 x² = 3 成立的数只有 和 -，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于 3。 因此命题“∃x ∈ Q, x² = 3”是 假 命题。 存在量词命题的真假判断 要判定存在量词命题 ∃x∈M,s(x) 是真命题，只要在限定集合 M 中，找到一个元素 ，使得 s( ) 成立即可。 要判定存在量词命题 ∃x∈M,s(x) 是假命题，需要说明集合 M 中每一个 x，都使得 s(x) 不成立。 目标四：针对训练 举一反三 1.”红豆生南国,春来发几枝? 愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是(A) A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思 解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题. 故选 A. 举一反三 2.设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则下列选项正确的是() A.∀x∈Q,有x∈P B.∀x∈Q,有x∈P C.∃x∉Q,使得x∈P D.∃x∈P,使得x∉Q 解析：∵P∩Q=P，∴P⊆Q，当P⫋Q时，∃∈Q，使得x_0∉P，故 A 错误； ∵P⊆Q，∴∀x∈P，必有x∈Q，即∀x∉Q，必有x∉P，故 B 正确； 由 B 正确，得∀x∉Q，必有x∉P，∴∃x∉Q，使得x∈P错误，即 C 错误； 当P=Q时，不存在∈P，使得∉Q，故 D 错误，综上只有 B 是正确的. 故选：B. 举一反三  3.若 ，则() A. 均为真命题 B. 均为假命题 C. 均为真命题 D. 均为假命题 解析：若 ，则命题 不成立，则 为假命题，故 为真命题； 若 ，则 ，则命题 为真命题.   4.下列命题是全称量词命题的是() A.有一个偶数是素数 B.至少存在一个奇数能被 15 整除 C.有些三角形是直角三角形 D.每个四边形的内角和都是  解析：因为“有一个”，“至少存在一个”，“有些”均为存在量词，即 ABC 不合题意；“每个”是全称量词，即 D 符合题意.故选：D 举一反三 5.下列语句不是存在量词命题的是() A.至少有一个，使成立 B.有的无理数的平方不是有理数 C.存在，是偶数 D.梯形有两边平行 解析：对于 A，至少有一个 ，使 成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题； 对于 B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题； 对于 C，存在 ， 是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题； 对于 D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题.故选：D. 举一反三 6.现有下列 4 个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在数为偶数；④正数的平方是正数.其中，全称量词命题的个数为 解析：①和④是全称量词命题，②和③是存在量词命题. 7.下列语句中是命题的是 （ ） A. 这栋楼好高啊！ B. 请起立 C. -1 的绝对值为 1 D. 你是高一的学生吗？ A 是一个感叹句，所以不是命题；B 是祈使句，不是命题； C 是陈述句且可以判断真假，是命题；D 是疑问句，不是命题。 目标五：小结 学海拾贝 知识层面 1. 命题：可供真假判断的陈述语句。分为真命题和假命题。 2. 全称量词：“任意”“所有”“每一个”等，表示事物的全体，符号为 ∀。含有全称量词的命题称为全称量词命题，简记为 ∀x∈M, p(x)。 3. 存在量词：“存在”“有”“至少有一个”等，表示事物的个体或部分，符号为 ∃。含有存在量词的命题称为存在量词命题，简记为 ∃x∈M, p(x)。 学海拾贝 方法层面 判断命题真假的方法： 全称量词命题为真：需证明对集合中所有元素都成立；为假：只需举出一个反例。 存在量词命题为真：只需举出一个实例验证；为假：需证明对集合中所有元素都不成立。 举例法（特例验证）是判断命题真假的有效方法。 学海拾贝 注意事项 有些命题中量词可以省略（如”对顶角相等”实际是全称量词命题）。 全称量词命题强调“全部、任意性”；存在量词命题强调“个别、存在性”。 含量词命题的真假问题往往可以转化为集合关系或函数最值问题，体现了转化思想。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $