专题01 幂、指数与对数五重难点题型（高效培优专项训练）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 聚焦幂、指数与对数核心题型，以题串联概念拓展、运算转化及综合应用，构建从基础到综合的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数幂的拓展|10题|考查根式与指数幂互化、化简及方程求解|从根式概念拓展到指数幂运算，奠定代数基础| |指对互化与对数运算|12题|指数式与对数式转化，用已知对数表示未知对数|建立指数与对数的双向转化关系，强化符号意识| |对数运算性质的应用|4题|性质判断、最值问题及位数估计|深化对数运算规则，培养运算能力与推理意识| |换底公式化简计算|13题|换底公式的灵活应用与对数式表示|提供跨底运算工具，提升数学思维的灵活性| |综合计算|4题|多知识点融合的解答题|整合前四模块，培养综合运用知识解决问题的能力|

专题01 幂、指数与对数五重难点题型 题型一 指数幂的拓展 题型二 指对互化与对数运算 题型三 对数的运算性质的应用 题型四 运用换底公式化简计算 题型五 幂、指数与对数综合计算 题型一：指数幂的拓展 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）下面四个等式运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）计算______ 3．（25-26高一上·上海·期中）27的3次方根为______. 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）设，用有理数指数幂的形式表示：________． 5．（25-26高一上·上海闵行·期中）化简______. 6．（24-25高一上·上海奉贤·期中）化简______． 7．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）方程的解集为__________. 8．（24-25高一上·上海·期中）当时，化简：______. 9．（24-25高一上·上海·期中）已知，，化简：______． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简：__________________. 题型二：指对互化与对数运算 11．（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 12．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则________． 13．（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 14．（25-26高一上·上海·期中）如果，则的值为___________． 15．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知，则___________． 16．（24-25高一下·上海宝山·期末）若，用表示_____. 17．（24-25高一下·上海·阶段检测）已知，，若用、表示，则________． 18．（25-26高一上·上海·期中）已知，，用，表示代数式________． 19．（25-26高一上·上海·期中）已知，则___________． 20．（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 21．（24-25高一上·上海松江·阶段检测）______． 22．（24-25高一上·上海·阶段检测）对于方程组，其中，则方程组的解为_________. 题型三：对数的运算性质的应用 23．（25-26高一上·上海金山·期中）估计的位数为（    ）位. A．609 B．610 C．611 D．612 24．（25-26高一上·上海·期中）以下四个命题中，正确的有（   ）个． ①存在，以及，使得； ②存在，以及，使得； ③存在，以及，使得； ④存在，以及，使得． A．1 B．2 C．3 D．4 25．（25-26高一上·上海·期中）已知实数满足，则的最小值为__________． 26．（25-26高一上·上海松江·期中）若实数、满足：，则的最小值为__________. 题型四：运用换底公式化简计算 27．（25-26高一上·上海·期中）若实数，满足，，则_______. 28．（25-26高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示__________． 29．（24-25高一上·上海松江·期中）已知，则_________．（用的代数式子表示） 30．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则=______． 31．（25-26高一上·上海松江·期中）已知，用和表示__________. 32．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则______．（用含、的式子表示） 33．（25-26高一上·上海·期中）设，，用表示的结果为__________ 34．（25-26高一上·上海·期中）已知，则可用表示为_________． 35．（25-26高一上·上海闵行·期中）已知，则______（结果用，表示） 36．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则_____（结果用、表示）. 37．（25-26高一上·上海闵行·期中）已知，用表示___________． 38．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则______．（用a和b表示） 39．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）计算以下对数的值：； （2）已知，，用a、b来表示. 题型五：幂、指数与对数综合计算 40．（24-25高一上·上海宝山·期中）设，，则______. 41．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）设，求的解集. （2）已知，.求的值. 42．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 43．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂、指数与对数五重难点题型 题型一 指数幂的拓展 题型二 指对互化与对数运算 题型三 对数的运算性质的应用 题型四 运用换底公式化简计算 题型五 幂、指数与对数综合计算 题型一：指数幂的拓展 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）下面四个等式运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，根据负指数幂的定义，（）. 得到，而不是，所以A选项错误. 对于B选项，根据分数指数幂的定义，， 则，而不是，所以B选项错误. 对于C选项，，所以C选项错误. 对于D选项，对于. 又因为表示的立方根，即，所以D选项正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）计算______ 【答案】9 【详解】. 故答案为：9. 3．（25-26高一上·上海·期中）27的3次方根为______. 【答案】3 【详解】由，解得， 所以27的3次方根为3， 故答案为：3 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）设，用有理数指数幂的形式表示：________． 【答案】 【详解】. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海闵行·期中）化简______. 【答案】 【详解】. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海奉贤·期中）化简______． 【答案】 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）方程的解集为__________. 【答案】 【详解】， ∴，即. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·期中）当时，化简：______. 【答案】x 【详解】当时，. 故答案为：x 9．（24-25高一上·上海·期中）已知，，化简：______． 【答案】 【详解】因为. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简：__________________. 【答案】 【详解】. 故答案为： 题型二：指对互化与对数运算 11．（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 【答案】 【详解】由，得. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则________． 【答案】e 【详解】解：， 所以． 故答案为：e． 13．（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 【答案】 【详解】由，可得，所以. 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·期中）如果，则的值为___________． 【答案】 【详解】因为，所以，则. 故答案为： 15．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知，则___________． 【答案】 【详解】，所以. 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海宝山·期末）若，用表示_____. 【答案】 【详解】由，得，则， 所以. 故答案为：. 17．（24-25高一下·上海·阶段检测）已知，，若用、表示，则________． 【答案】 【详解】因为，所以，又，则，则 所以. 故答案为： 18．（25-26高一上·上海·期中）已知，，用，表示代数式________． 【答案】 【详解】. 故答案为： 19．（25-26高一上·上海·期中）已知，则___________． 【答案】 【详解】， 故答案为： 20．（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又， 所以. 21．（24-25高一上·上海松江·阶段检测）______． 【答案】 【详解】由题原式 ， 故答案为：. 22．（24-25高一上·上海·阶段检测）对于方程组，其中，则方程组的解为_________. 【答案】或 【详解】由题意，设，则， 因为，所以， 所以方程组等价于 即，所以，所以， 解得或 当时，，此时； 当时，，此时. 故答案为：或 题型三：对数的运算性质的应用 23．（25-26高一上·上海金山·期中）估计的位数为（    ）位. A．609 B．610 C．611 D．612 【答案】B 【详解】因为，则， 即，所以的位数为. 故选：B. 24．（25-26高一上·上海·期中）以下四个命题中，正确的有（   ）个． ①存在，以及，使得； ②存在，以及，使得； ③存在，以及，使得； ④存在，以及，使得． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】对于①，对，以及，恒成立，①正确； 对于②，当，以及时， 此时，， 故，②正确； 对于③，当，以及时，此时， 故，③正确； 对于④，当，以及时，此时， 故，④正确. 故选：D 25．（25-26高一上·上海·期中）已知实数满足，则的最小值为__________． 【答案】24 【详解】由题意，，， 则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为24. 故答案为：24. 26．（25-26高一上·上海松江·期中）若实数、满足：，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由有：，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 题型四：运用换底公式化简计算 27．（25-26高一上·上海·期中）若实数，满足，，则_______. 【答案】 【详解】由，得，故. 由，得，故. 因此，. 故答案为： 28．（25-26高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示__________． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 29．（24-25高一上·上海松江·期中）已知，则_________．（用的代数式子表示） 【答案】 【详解】由，，则． 故答案为：． 30．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则=______． 【答案】 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 31．（25-26高一上·上海松江·期中）已知，用和表示__________. 【答案】 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 32．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则______．（用含、的式子表示） 【答案】 【详解】，， 所以. 故答案为：. 33．（25-26高一上·上海·期中）设，，用表示的结果为__________ 【答案】 【详解】， 故答案为： 34．（25-26高一上·上海·期中）已知，则可用表示为_________． 【答案】 【详解】因为， 故答案为：. 35．（25-26高一上·上海闵行·期中）已知，则______（结果用，表示） 【答案】 【详解】由对数定义可得，则由换底公式知， 同理可得，， 则. 故答案为：. 36．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则_____（结果用、表示）. 【答案】 【详解】由，得，又， 由换底公式得，. 故答案为：. 37．（25-26高一上·上海闵行·期中）已知，用表示___________． 【答案】 【详解】， 故答案为： 38．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则______．（用a和b表示） 【答案】 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 39．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）计算以下对数的值：； （2）已知，，用a、b来表示. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） ； （2） 题型五：幂、指数与对数综合计算 40．（24-25高一上·上海宝山·期中）设，，则______. 【答案】 【详解】由式子有意义可知，且，故，且. 由，，得， 则； 又； ； ； 则原式； 故答案为：. 41．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）设，求的解集. （2）已知，.求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）当时，方程可化为，解得（舍去）； 当时，方程可化为，即恒成立； 当时，方程可化为，解得（舍去）； 当时，方程可化为，解得（舍去）； 综上可得方程的解集为. （2）因为，， 所以，， 则 . 42．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 【详解】（1），，均为不等于1的正数，令，则， 所以． （2）因为，所以，所以，又， 所以， . 43．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $