上海市第五十四中学2025-2026学年高二下学期数学第15周周测试卷

**基本信息** 高二下数学周测卷聚焦导数、数列、立体几何等核心知识，通过基础计算（如导数求值）、能力探究（如等比数列和最值）及数学文化（鳖臑计数）设计，体现数学眼光观察现实、思维推理与语言表达素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/每题5分|导数（题1）、统计（题2）、数列（题3、8）、立体几何（题7、11）、数学文化（题12）|基础巩固与创新应用结合，如导数计算与鳖臑计数，梯度分明| |解答题|4题/每小问5分|等差数列（题13）、立体几何（题14）、双曲线（题15）、函数性质（题16）|综合性强，如立体几何证明与二面角计算，体现逻辑推理与空间观念|

高二下数学第15周测验卷 班级 姓名 学号 一、填空题（每题5分） 1.若函数在处的导数等于，则的值为___. 【答案】 2. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是（单位：g），样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，试估计样本数据的第70百分位数为_________________. 【答案】102.8 3. 设是等差数列的前项和（），若，则 . 【答案】21 4．函数的图像如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为__________________. 【答案】 5. 已知，则___________. 【答案】-512 6. 要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________. 【答案】 7. 设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的侧面积为_______________. 【答案】 8. 等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是______________. 【答案】 9. 已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，．若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程为__________． 【答案】 10．已知曲线 ，曲线 ，若△的顶点的坐标为，顶点分别在曲线和上运动，则△周长的最小值为_________________． 【答案】 11. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为______________. 【答案】2 12.我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是__________． 【答案】24 二、 解答题(每小问5分) 13. 已知等差数列的前项和为，公差.（1）若，求的通项公式；（2）从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率. 解：（1）因为，所以，得， 所以. （2）随机实验样本空间中样本点的个数为， 事件所含样本点分两类，公差为的有4个，公差为的有2个， 所以事件发生的概率. 14.如图，平面平面，四边形是正方形，∥，，，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正切值． 解：（1）在平面内，，直线AB, DC相交，设它们交于点，, 即. 四边形是正方形，，又平面平面， 它们的交线为，平面，故平面， 又平面，. 又与是平面内的两条相交直线， 平面. （2）在平面内，过作，垂足为. 又平面平面, 它们的交线为，故平面. 在平面内，过作，垂足为，连， 则，故就是二面角的平面角， 又，， 在直角中，， 所以二面角的正切值为． 法二：设是线段的中点，由是以为底边的等腰直角三角形， 可知，由平面平面, 它们的交线为， 且平面，故平面, 设是线段的中点， 则平面，可得，又是正方形的 对边的中点，可得， 分别以为轴建立如图的空间直角坐 标系，则，， 设是平面的一个法向量，则有 解得 故，又是平面的一个法向量， 所以二面角的余弦值为， 其正弦值为，故二面角的正切值为. 15. 已知双曲线的离心率为. （1）若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值； （2）设圆，. 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围． 解：（1）由已知得，渐近线方程为，焦点坐标为 焦点到双曲线的渐近线的距离为，所以， 由双曲线定义知，， . （2）因为直线与圆相切，且，则圆心到直线的距离为，化简得, 又 则，（*） 联立， 则代入（*） 得 将代入，进一步化简得， 又，， 则，所以，离心率的取值范围. 16. 若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”. （1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； （2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点. 解：（1）不具有“性质”.理由是：； 具有“性质”.理由是：. （2）法一：， 由可得对恒成立． 令，得 ①；令，得 ②． 得，因此，从而恒成立， 即有． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为. 法二：, . 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下数学第15周测验卷 班级 姓名 学号 一、填空题（每题5分） 1.若函数在处的导数等于，则的值为___. 2. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是（单位：g），样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，试估计样本数据的第70百分位数为_________________. 3. 设是等差数列的前项和（），若，则 . 4．函数的图像如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为__________________. 5. 已知，则___________. 6. 要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________. 7. 设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的侧面积为_______________. 8. 等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是______________. 9. 已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，．若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程为__________． 10．已知曲线 ，曲线 ，若△的顶点的坐标为，顶点分别在曲线和上运动，则△周长的最小值为_________________． 11. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为______________. 12.我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是__________． 二、 解答题(每小问5分) 13. 已知等差数列的前项和为，公差. （1）若，求的通项公式； （2）从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率. 14.如图，平面平面，四边形是正方形，∥，，，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正切值． 15. 已知双曲线的离心率为. （1）若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值； （2）设圆，. 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围． 16. 若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”. （1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； （2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点. 学科网（北京）股份有限公司 $