第20章二次根式单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第20章二次根式单元测试卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，全面考查二次根式的定义、性质、运算及应用，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式（如第1-3题）|结合数轴考查无理数估值（第5题），体现几何直观| |填空题|6/18|代数式最小值、同类二次根式、实际应用（小球下落，第14题）|引入新运算（第16题），培养符号意识| |解答题|8/72|化简求值、规律探究（第20题）、秦九韶公式应用（第23题）|通过数学文化（秦九韶公式）与规律证明（第24题），发展推理意识与创新意识|

第20章二次根式单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列根式中，属于二次根式的是() A,a2- B4 C.V29 D. 2.下列根式中，是最简二次根式的是() b2c B.√63 C.Va2 D.√3 3.下列是同类二次根式的一组是() √7 √2m 2m A.3V20,√50B.√28,3 C.√2ab,3vabD.n, 4 的值在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 5.如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是() 0十米4→ A.v B V5 c.2w5 D.i7 6,已知a是正整数，且二次根式0-a 的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为 ). A.24 B.26 C.28 D.30 7.如图，数轴上点4表示的数是0，化简Va-4如+4为《) A 0 02→ A.a-2 B.2 c.2-a D.-2 试卷第1页，共3页 6 a 8.已知a+b=-5,b=1,则a+a6的值为（). b. A.23 B.5 C.-23 D.-5 9.已知实数a满足2011-a+Va-2012= ,那么a-20112 的值是() A.2009 B.2010 C.2011 D.2012 10.已知x-10-V+5=-3 则代数式V-10++5 值为() A.3 B.-3 c.5 D.-5 二、填空题（每题3分，共18分） 11.代数式Vn+4的最小值为 12.若最简二次根式+2与32x- 是同类二次根式，则x的值为一 13.计祭2B-5)-3-国的结果是 14.小球从离地面为h(单位：m)的高处自由下落，落到地面所用的时间为t(单位：s ）,根据实验，发现h与1的关系近似满足5 (不考虑风速的影响)，若分别从10m, 20m高处下落到落地所需时间分别为，々，则是5的 倍. 1 15.若a-。4,那么a+。 a 16.对于实数x,y定义新运算：x*y=ar+by+5,其中a,b为常数，已知l*2=9, 5(-5) (-3)*3=2,则2 三、解答题（每题9分，共72分） 试卷第2页，共3页 17.先化简，再求值： [(x+-(x+2y)x-y+(-yy--2y(0+÷x,其中x=L, y=5 18.若Na+(2a+b-=0求4a+8的值. 19.计算： aaiw-3网-6+65 +h-+2m-(a-y 20.小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： (2-1V2+1)=1.(W5-25+2)=1.(2-5)(2+5)=1 【发现问题】 (I)任务一：请根据上述等式的规律，写出第个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 ②)任务二：比较10+3与0-3.1的大小 21.已知最简二次根式V2x+5x与最简二次根式V+6可以合并」 (1)求x的值 ②活m=-2+2-),求y的值. 22.计算： 0x -i0÷5+⑧ 2尼知a=2+1,6=5-1,求- D的值 23.南宋数学家秦九韶提出利用三边计算三角形面积的公式：S=Vp(p-p-b(p-d) 试卷第3页，共3页 其中a,b,c为三角形的三边长，p= a+b+c 2一·请利用该公式解决下列问题. (1)若三角形的三边长分别为5,6,7，求该三角形的面积； (2)若c=6,p=8,求该三角形面积S的最大值 24.观察下列等式： 。1 1 2+434: 2,1 1+ 第1个等式： 3 第2个等式： 第3个等式： V3+54V5:第 4 4个等式： 6 ；… 按照上述规律，完成下列问题： ，1 ①)补全第4个等式：V4+6 写出第5个等式： (2)写出第n个等式，并证明. 试卷第4页，共3页 第20章二次根式单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．需满足根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，当时，，无意义，不是二次根式，∴A错误； ∵选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中，被开方数，满足二次根式定义，∴C正确； ∵选项D中，当时，无意义，不是二次根式，∴D错误． 2．下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式的两个判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不满足条件，∴A不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，∴B不是最简二次根式； C、的被开方数含分母，同时含能开得尽方的因式和，不满足条件，∴C不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，∴D是最简二次根式． 3．下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数是否相同，即可求解． 【详解】解：A、，，和不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B、，，和是同类二次根式，故选项B符合题意； C、的被开方数为，的被开方数为，不相同，和不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D、的被开方数为，，被开方数为，和不是同类二次根式，故选项D不符合题意． 4．估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】利用二次根式的运算法则化简所求式子，再确定其中的近似取值范围，从而得到所求式子的取值范围． 【详解】解：， ， ， ． 5．如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是 ． 6．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 7．如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，则， ∴． 8．已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 9．已知实数a满足，那么的值是（     ） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 【答案】D 【分析】本题先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再去掉绝对值符号化简等式，最后整理得到的值． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴， ∴， 将代入原等式得： 整理得 两边同时平方得 移项得． 10．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．代数式的最小值为__________． 【答案】2 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 13．计算的结果是________． 【答案】 【分析】先根据无理数比较大小的原则判断与的大小，由此化简绝对值，再由二次根式的乘法以及加减法运算求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，则， ∴ ． 14．小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 【答案】 【详解】解：当时，代入中， 可得 ， 当时，代入中， 可得 ， 所以 ， 则是的倍． 15．若，那么__________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式由，得到，再由，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 【答案】5 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组的求解，解题的关键在于根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的方程组，求解出、的值，再代入新运算中计算的值． 【详解】已知，且，，将其分别代入新运算中可得： ，即， 移项可得， 移项可得，两边同时除以，得到， 联立方程组，①+②得，解得． 将代入②得，解得， 将 ， 代入 中，可得 ， 再将 ， 代入上式可得：， 去括号得，实数运算得． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．先化简，再求值：，其中， 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简与求值，以及平方差公式、完全平方公式的应用．熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及合并同类项的技巧是解题的关键． 利用平方差公式、完全平方公式以及合并同类项进行化简．化简完成后，再将给定的和的值代入化简后的式子中，求出最终的结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 19．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 20．小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 (1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 (2)任务二：比较与的大小． 【答案】(1)解：（为正整数），证明如下： ∵左边右边， ∴等式成立； (2) 【分析】（1）先观察已知等式的数字变化规律，归纳得到第个等式，再利用平方差公式证明等式成立； （2）先利用平方差公式对进行分母有理化化简，再通过比较常数大小得到两个式子的大小关系． 【详解】（1）略； （2）解：， ∵， ∴， 不等式两边同时加得：， 即． 21．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 22．计算： (1)． (2)已知，，求的值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 23．南宋数学家秦九韶提出利用三边计算三角形面积的公式：，其中a，b，c为三角形的三边长，．请利用该公式解决下列问题． (1)若三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积； (2)若，，求该三角形面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，再利用公式求解即可； （2）求得，代入公式得到，而，根据基本不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：已知，，由， 得， ∴， 把，代入公式得， ， ，又， 根据基本不等式， 当且仅当时取等号， ∴， ∴该三角形面积S的最大值为． 24．观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)（为正整数）， 证明：， ∴． 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； （2）解：（为正整数）， 证明略． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $