5.3.1 第2课时 函数单调性的应用(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 聚焦导数工具下函数单调性的应用，通过分层题型构建“导数判断—参数讨论—性质综合”的解题逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|10题|导数法判断单调区间、参数分类讨论、单调性比较大小|以导数与单调性关系为核心，从基础应用（求参数值、单调区间）到简单综合（比较大小、奇偶性结合）| |B级综合运用|4题|含参函数单调性讨论、恒成立问题转化、函数性质综合应用|延伸至复杂情境，通过参数讨论深化逻辑推理，结合函数性质提升问题解决能力|

第2课时　函数单调性的应用 1.若f（x）=x3－ax2的单调递减区间是（0，2），则正数a的值是（　　） A.1　 　B.2 C.3　 　D.4 2.已知函数f（x）=cos x＋ex，且a=f（2），b=f（），c=f（ln 2），则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c　 　B．a＜c＜b C．c＜b＜a　 　D．b＜c＜a 3.若函数f（x）=x3－2ax2－（a－2）x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为（　　） A．－1≤a≤2　 　B．－2≤a≤1 C．a＞2或a＜－1　 　D．a＞1或a＜－2 4.（2026•周口期中）已知函数f（x）=，当1＜x＜3时，下列关系正确的是（　　） A．f（）＜f（x）＜f2（x）　　 B．f（x）＜f（）＜f2（x） C．f2（x）＜f（）＜f（x）　　 D．f2（x）＜f（x）＜f（） 5.〔多选〕（2026•无锡月考）已知定义在R上的函数f（x），其导函数y=f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　） A．f（b）＞f（a） B．f（d）＞f（e） C．f（a）＞f（d） D．f（c）＞f（e） 6.〔多选〕若函数f（x）=x2－9ln x在区间［m－1，m＋1］上单调，则实数m的取值可以是（　　） A.4　 　B.3 C.2　 　D.1 7.函数f（x）=x3－（2a＋1）x2＋（a2＋a）x＋4（a∈R）的单调减区间是　　　　． 8.函数y=x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是　　　　． 9.（2026•淮安月考）已知函数f（x）=4x＋3sin x，x∈（－1，1），若f（1－a）＋f（1－a2）＜0成立，则实数a的取值范围为　　　　． 10.若a＞0，试讨论f（x）=aln x－（2a＋1）x＋x2的单调性． 11.已知函数f（x）=ax－ex在（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，1） 　B．（0，e） C．（1，e）　 　D．（－∞，e） 12.已知函数f（x）=2sin x－ex＋e－x，则关于x的不等式f（x2－4）＋f（3x）＜0的解集为（　　） A．（－4，1）　 　B．（－1，4） C．（－∞，－4）⋃（1，＋∞）　 　D．［－1，4］ 13.（2026•扬州质检）已知函数f（x）=kex－1－x＋x2（k为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，则f（x）的单调递增区间为　　　　． 14.已知函数f（x）=ax2＋ln（x＋1）． （1）当a=－时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在区间［1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围． 答案 第2课时　函数单调性的应用 1.A　2.D　3.D 4.A　由题意得f'（x）＝，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，3）上单调递增.又1＜＜x＜3，所以f（）＜f（x）.由f（x）在（1，3）上单调递增，可知当x∈（1，3）时，f（x）＞f（1）＝e，所以f2（x）＞f（x）.综上f（）＜f（x）＜f2（x）. 5.ABD　由题图可得，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减，所以f（b）＞f（a），f（d）＞f（e），f（c）＞f（e）. 6.AC　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝；由f'（x）≥0得函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）；由f'（x）≤0得函数f（x）的单调递减区间为（0，3]；因为f（x）在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4；结合选项可得A、C正确. 7.（a，a＋1）　解析：f'（x）＝x2－（2a＋1）x＋a2＋a＝[x－（a＋1）]（x－a），令f'（x）＜0，得a＜x＜a＋1，故f（x）的单调减区间是（a，a＋1）. 8.[1，＋∞）　解析：函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，即y'＝x2＋2x＋m≥0或y'＝x2＋2x＋m≤0（舍）在R上恒成立，∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1. 9.（1，）　解析：∵f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），∴f'（x）＝4＋3cos x＞0在x∈（－1，1）上恒成立，∴f（x）在（－1，1）上单调递增.又f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1）是奇函数，∴不等式f（1－a）＋f（1－a2）＜0可化为f（1－a）＜f（a2－1）.结合函数f（x）的定义域可知，a要满足解得1＜a＜. 10.解：f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝. 当0＜a＜时，由f'（x）＞0可得0＜x＜a或x＞；由f'（x）＜0可得a＜x＜， 所以函数f（x）在（0，a），（，＋∞）上单调递增，在（a，）上单调递减； 当a＝时，f'（x）≥0恒成立，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞时，由f'（x）＞0可得0＜x＜或x＞a；由f'（x）＜0可得＜x＜a，所以函数f（x）在（0，），（a，＋∞）上单调递增，在（，a）上单调递减. 11.C　f'（x）＝a－ex.因为f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，所以f'（x）＝0在（0，1）上有解，又f'（x）在（0，1）上单调递减，所以f'（0）＝a－1＞0，f'（1）＝a－e＜0，故a∈（1，e）.故选C. 12.C　f（－x）＝－2sin x－e－x＋ex，∵f（－x）＋f（x）＝0，∴f（x）为奇函数，则f'（x）＝2cos x－（ex＋e－x），∵2cos x≤2，ex＋e－x≥2，∴f'（x）≤0，f（x）为减函数，又f（x2－4）＋f（3x）＜0，则f（x2－4）＜－f（3x）＝f（－3x），∴x2－4＞－3x，∴x＞1或x＜－4.故选C. 13.（0，＋∞）　解析：由题知，f'（x）＝kex－1－1＋x，因为曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，所以f'（0）＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，故f'（x）＝ex＋x－1.令f'（x）＞0，解得x＞0，故f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）. 14.解：（1）当a＝－时， f（x）＝－x2＋ln（x＋1）（x＞－1）， 则f'（x）＝－x＋ ＝－（x＞－1）. 令f'（x）＞0，解得－1＜x＜1； 令f'（x）＜0，解得x＞1. 故函数f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，＋∞）. （2）因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，即a≤－对任意x∈[1，＋∞）恒成立. 令g（x）＝－，x∈[1，＋∞）， 易求得g'（x）＞0在[1，＋∞）上恒成立， 所以g（x）在[1，＋∞）上单调递增， 因此g（x）min＝g（1）＝－，故a≤－， 即实数a的取值范围是（－∞，－］. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $