专题02 导数与函数的单调性问题（含导数与原函数混合构造）等4种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题02 导数与函数的单调性问题 目录 类型一、利用导数判断函数（含参）的单调性问题 类型二、利用函数的单调性求参问题 类型三、利用构造函数的单调性解抽象不等式问题 类型四、导数中构造函数比大小问题 压轴专练 类型一、利用导数判断函数（含参）的单调性问题 解题技巧： （1） 求导化简+定定义域：先求导函数:f'(x)并化简（因式分解、通分等），同时明确原函数定义域，后续单调区间必须在定义域内讨论。 （2） 分类讨论参数+分析导数零点：按参数关键取值（如判别式△=0、根的大小、根是否在定义域内）分类，确定f'(x)=0的零点个数与位置，划分区间并判断f'(x)符号，进而确定单调性。 （3） 判别式法（二次型导函数）：若f'(x)为二次函数（或可化为二次型），用△判零点：△>0有两不同根，△=0有一根（需验符号是否改变），△<0无实根（函数单调）。 （4） 数形结合辅助判断：画出f'(x)大致图像，结合图像与x轴交点（零点），直观划分区间、判断f'(x)符号，快速确定单调区间。 例1．讨论函数的单调性. 变式1-1．已知函数．讨论的单调区间. 变式1-2．已知函数，讨论函数的单调性.（其中常数，是自然对数的底数.） 变式1-3．已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 变式1-4．．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论函数的单调性. 类型二、利用函数的单调性求参问题 解题技巧： （1） 转化为导数符号问题：将函数在区间上:单调递增/递减，转化为f'(x)≥0（或f'(x)≤0）在该区间恒成立，或f'(x)在区间内无变号零点，以此建立参数的不等式关系。 （2） 分离参数法：若参数可与变量分离，将f'(x)≥0，通过导数求g(x)的最值，直接确定参数的取值范围。 （3）分类讨论法：参数无法分离时，按:参数的关键取值（如影响f'(x)零点、符号的分界点）分类，分别分析每类下f'(x)的符号与函数单调性，列不等式求解参数范围。 （4）验证定义域与端点：求解时严格遵循原函数*定义域，确保单调区间在定义域内；同时验证区间端点处的导数符号、函数连续性，避免参数范围遗漏或错误。 例2-1.已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2-2.已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 变式2-1．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，对且都有成立，则实数的取值范围是 . 变式2-3．已知函数的导数为，函数． (1)求； (2)求最小正周期及单调递减区间； (3)若不是单调函数，求实数a的取值范围． 类型三、利用构造函数的单调性解抽象不等式问题 解题技巧： 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 （1）对于，构造 （2）对于不等式，构造函数. （3）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （4）对于不等式，构造函数 （5）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （6）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （7）对于，分类讨论：①若，则构造 ②若，则构造 （8）对于，构造. （9）对于，构造. （10）①对于，即， 构造． ②对于，构造． （11）① ② 例3．（多选）定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 . 变式3-2．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 变式3-3．已知定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为 ． 变式3-4．（多选）已知为上的奇函数，，为的导函数，且当时，，则（   ） A．当时， B． C． D． 类型四、导数中构造函数比大小问题 解题技巧： （1） 观察结构，构造辅助函数：根据待比较式子的结构，移项、变形构造可求导的函数:F(x)（如F(x)=f(x)-g(x))、(F(x)=f(x)g(x)等），将比大小问题转化为研究F(x)的函数值大小。 （2） 求导分析单调性：对构造的F(x)求导，判断F'(x)的符号，确定F(x)的单调区间，这是判断函数值大小的核心依据。 （3） 赋值代入，比较函数值：将待比较的变量（如a,b,x1,x2）代入F(x)，利用单调性得到F(a)与F(b)的大小关系，进而推出原式子的大小。 （4） 套用常见构造模型：针对含ex、lnx、xn等结构，套用经典构造形式（如F(x)=exf(x)等形式），简化构造与求导过程。 （5） 常见的指数放缩：；； （6） 泰勒展开： 附：常用公式 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 例4．已知，，，则，，的大小关系为 ．（用“＞”连接） 变式4-1．（多选）已知，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）下列不等式中，所有正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 变式4-4．已知，则的大小关系为 . 压轴专练 1.已知，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5.（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 6.（多选）已知函数的导函数为，若，且，，则的取值可能为（    ） A．7 B．4 C．5 D．3 7.比较两数的大小： ． 8.设，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“”连接） 9.已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 10.已知，，，则、、的大小关系是 ． 11.已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 12.已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间． 13.已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 14.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 15.已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直. （1）若，试求函数的单调区间； （2）若且是的单调递增区间，试求的范围 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数与函数的单调性问题 目录 类型一、利用导数判断函数（含参）的单调性问题 类型二、利用函数的单调性求参问题 类型三、利用构造函数的单调性解抽象不等式问题 类型四、导数中构造函数比大小问题 压轴专练 类型一、利用导数判断函数（含参）的单调性问题 解题技巧： （1） 求导化简+定定义域：先求导函数:f'(x)并化简（因式分解、通分等），同时明确原函数定义域，后续单调区间必须在定义域内讨论。 （2） 分类讨论参数+分析导数零点：按参数关键取值（如判别式△=0、根的大小、根是否在定义域内）分类，确定f'(x)=0的零点个数与位置，划分区间并判断f'(x)符号，进而确定单调性。 （3） 判别式法（二次型导函数）：若f'(x)为二次函数（或可化为二次型），用△判零点：△>0有两不同根，△=0有一根（需验符号是否改变），△<0无实根（函数单调）。 （4） 数形结合辅助判断：画出f'(x)大致图像，结合图像与x轴交点（零点），直观划分区间、判断f'(x)符号，快速确定单调区间。 例1．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系求解即可. 【详解】由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 变式1-1．已知函数．讨论的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，再按分类求解的单调区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 令，由，得，此时，在上单调递增； 当，即时，方程的两根为，， 当时，，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，当时，，当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. 变式1-2．已知函数，讨论函数的单调性.（其中常数，是自然对数的底数.） 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，然后分情况讨论时函数的单调性. 【详解】由，求导得. ①当时，恒成立，函数在上单调递增； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递增； 当，，则在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 变式1-3．已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义得，再结合条件得，即可求解； （2）由，分和两种情况，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 变式1-4．．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出及，根据导数的几何意义即可求解； （2），令,得或，对与的大小分类讨论，即可判断的单调性. 【详解】（1）时，， 则. 又，则, 故曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为， ， 令,得或， 当，即时，， 故在上单调递增. 当，即时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当，即时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增; 当，在和上单调递增，在上单调递减; 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 类型二、利用函数的单调性求参问题 解题技巧： （1） 转化为导数符号问题：将函数在区间上:单调递增/递减，转化为f'(x)≥0（或f'(x)≤0）在该区间恒成立，或f'(x)在区间内无变号零点，以此建立参数的不等式关系。 （2） 分离参数法：若参数可与变量分离，将f'(x)≥0，通过导数求g(x)的最值，直接确定参数的取值范围。 （3）分类讨论法：参数无法分离时，按:参数的关键取值（如影响f'(x)零点、符号的分界点）分类，分别分析每类下f'(x)的符号与函数单调性，列不等式求解参数范围。 （4）验证定义域与端点：求解时严格遵循原函数*定义域，确保单调区间在定义域内；同时验证区间端点处的导数符号、函数连续性，避免参数范围遗漏或错误。 例2-1.已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解方程组法可得，由单调性可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 例2-2.已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 变式2-1．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 变式2-2．已知，对且都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式恒成立，构造函数知单调性，利用导数建立恒成立不等式，转化为在上恒成立，分类讨论结合二次函数的性质得解. 【详解】由，得，则， 设函数，则对且都有成立， 所以函数为减函数， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 若，，成立； 若，则或，解得； 当时，由二次函数性质知，不满足在上恒成立； 综上的取值范围为. 变式2-3．已知函数的导数为，函数． (1)求； (2)求最小正周期及单调递减区间； (3)若不是单调函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)最小正周期为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据求导法则计算直接得出结果； （2）由（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，利用整体代换法计算即可求解； （3）由（2）得，利用导数和正弦函数的图象与性质研究的单调性可得或，即可求解. 【详解】（1）依题意，． （2）由（1）知，， 则的最小正周期为， 由，得， 所以的单调递减区间为． （3）由（2）知，， 当时，，则，即， 当在上单调时，则对或成立． 由，得， ，则． 由，得， ，则． 因此，当在上单调时，或， 于是得不是单调函数时，， 所以实数的取值范围是． 类型三、利用构造函数的单调性解抽象不等式问题 解题技巧： 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 （1）对于，构造 （2）对于不等式，构造函数. （3）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （4）对于不等式，构造函数 （5）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （6）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （7）对于，分类讨论：①若，则构造 ②若，则构造 （8）对于，构造. （9）对于，构造. （10）①对于，即， 构造． ②对于，构造． （11）① ② 例3．（多选）定义在上的函数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数，求导，判断函数的单调性，再根据单调性比较大小，逐项判断即可． 【详解】∵，∴， 而，即， 等价于， 构造函数，则， 即在上单调递减， ，，即， 化简得，故A选项正确，B选项错误； ，，即， 化简得，故C选项正确，D选项错误． 故选：AC． 变式3-1．已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，根据题干中已知条件凑出问题中的不等式即可求解. 【详解】构造函数，则，且， 因为对于任意的，都有， 所以，故函数在R上单调递减， 所以解不等式即，即解，所以， 故不等式的解集为. 故答案为： 变式3-2．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式. 【详解】不等式等价于，即， 构造函数，所以， 因为时，，所以对恒成立， 所以在单调递减， 又因为， 所以不等式等价于，所以， 即的解集为. 故选：A. 变式3-3．已知定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数并借助导数确定单调性，进而求解不等式. 【详解】由，得，则， 设，则为上的增函数， ，． 由，得，即， 因此，得，即，又，解得， 所以所求解集为. 故答案为： 变式3-4．（多选）已知为上的奇函数，，为的导函数，且当时，，则（   ） A．当时， B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设，由已知得出为上奇函数，且在和上单调递减，即可判断各选项． 【详解】设，则， 当时，0，所以， 所以在上单调递减， 又为上的奇函数，所以为上的奇函数， 所以在上也单调递减， 因为，所以，， 当时，，即时，， 因为，所以，故A正确； 因为在上单调递减， 所以，即， 所以，故B正确； 因为在上单调递减， 所以，即，故C错误； 因为在上单调递减， 所以，即， 所以，故D正确， 故选：ABD． 类型四、导数中构造函数比大小问题 解题技巧： （1） 观察结构，构造辅助函数：根据待比较式子的结构，移项、变形构造可求导的函数:F(x)（如F(x)=f(x)-g(x))、(F(x)=f(x)g(x)等），将比大小问题转化为研究F(x)的函数值大小。 （2） 求导分析单调性：对构造的F(x)求导，判断F'(x)的符号，确定F(x)的单调区间，这是判断函数值大小的核心依据。 （3） 赋值代入，比较函数值：将待比较的变量（如a,b,x1,x2）代入F(x)，利用单调性得到F(a)与F(b)的大小关系，进而推出原式子的大小。 （4） 套用常见构造模型：针对含ex、lnx、xn等结构，套用经典构造形式（如F(x)=exf(x)等形式），简化构造与求导过程。 （5） 常见的指数放缩：；； （6） 泰勒展开： 附：常用公式 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 例4．已知，，，则，，的大小关系为 ．（用“＞”连接） 【答案】 【分析】根据对数的运算化简，再构造，利用导数得出单调性即可比较大小． 【详解】∵，，， ∴设，，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ，，， 根据单调性可知，，∴， 故答案为：． 变式4-1．（多选）已知，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，即可结合对数的运算求解. 【详解】设，则， 当时，均为单调递增函数，且值恒为正，故函数为上的单调递增函数，因此， 故，故函数为上的单调递减函数，故， 即，即， 由可得， ，故，A错误， ，故，B正确， 由于，故，C正确，D错误， 故选：BC 变式4-2．（多选）下列不等式中，所有正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对A，构造函数，，利用其单调性即可判断；对B和D分别利用正切函数和余弦函数单调性即可比较大小，对C利用函数，的单调性即可. 【详解】对A，令，，， ，则在上恒成立， 则，即，故A错误； 对B，，而，则， 而，则成立，故B正确； 对C，设，，则， 再令，则，， 则在上恒成立，则在上单调递减， 则，则在上恒成立，则在上单调递减， 因为，则，则成立，故C正确； 对D，根据余弦函数单调性知，故D正确. 故选：BCD. 变式4-3．已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 【答案】 【分析】由题意构造函数，求导研究其单调性，根据题目中的等式，对应函数值的大小，可得答案. 【详解】构造函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ， 因为，所以，即， 而，b，，所以， 故答案为：. 变式4-4．已知，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】由，根据数值的特点，构造函数和，再利用函数的单调性，赋值后比较函数值的大小. 【详解】由， 即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 则有，即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 则有，即， 故. 故答案为： 压轴专练 1.已知，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出函数的导数，将问题转化为在上恒成立，求出的范围，与进行比较判断即可. 【详解】函数在上单调递增的充要条件为在上恒成立. ，因此需要在上恒成立，即在上恒成立. 当时，，当且仅当，即时，等号成立. 所以. 所以“”是“在上单调递增”的充要条件， 故选：C. 2.函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】当时，，， 由题意可得在恒成立，即在恒成立，则； 当时，，， 由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，则，即； 又由在上递增，则，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 3.已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数， 由，得，解得或 故选：D. 4.已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 5.（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】应用构造函数，根据函数的单调性判断大小关系. 【详解】，构造函数，，所以在（0，1）单调递增，在单调递减， 所以，，，构造函数，， 因为时，，所以单调递增，所以，所以． 故选:ACD． 6.（多选）已知函数的导函数为，若，且，，则的取值可能为（    ） A．7 B．4 C．5 D．3 【答案】BC 【分析】令,利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而求得的取值范围，即可判断. 【详解】因为，令， 则， 所以在定义域上单调递增，所以， 即，又，， 所以，即， 又，所以，， 则的取值可能为4、5. 故选：BC. 7.比较两数的大小： ． 【答案】 【分析】构造函数，利用函数导数与单调性分析即可. 【详解】设函数， 由，令，解得： 当， 当， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 即， 所以， 因为函数在单调递增， 所以， 故答案为：. 8.设，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“”连接） 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性比较，构造函，利用导数研究单调性比较，进而得到答案. 【详解】令函数，则，在恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，即，所以. 令函数，则，在恒成立， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以，综上，结论为. 故答案为：. 9.已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 【答案】5 【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的最小整数是5. 故答案为：5 10.已知，，，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】令，，利用导数分析该函数在上的单调性，可得出、的大小关系；利用作差法结合辅助角公式可得出、的大小关系，可判断、的大小关系.即可得出结论. 【详解】令函数，， 则由余弦函数性质得恒成立， 故函数在定义域上是增函数， 所以当时，，则， 于是，即；当时，， 则， 所以，而， 于是，即．综上可得． 故答案为： 11.已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 12.已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数直接求解在某一点处的切线方程即可； （2）利用导数直接求解函数的单调区间. 【详解】（1）由题知，的定义域为， 则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为， 即. （2）由题知，， 其定义域为， 则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，令，，令，， 此时在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，递减区间为. 13.已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 14.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分，，，四种情况进行讨论. 【详解】（1），， 所以切线方程为，即. （2）定义域为. 令，得. 当时， - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 15.已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直. （1）若，试求函数的单调区间； （2）若且是的单调递增区间，试求的范围 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由导数的几何意义得出与的关系后，根据的取值分类讨论 （2）用表示，转化为关于的函数后求解 【详解】（1）由的图象过点可知：  ① 又，因为在点处的切线与直线垂直，    ② 联立①②解得： （i）当时， 令，解得 当或时，；当时，； 所以当时，的单调递增区间是 和；的单调递减区间是 （ii）当时，显然，；， 故当时，的单调递增区间是，单调递减区间是 (iii)当时， 令，解得 显然当或时，；当时， 的单调递减区间是和；的单调递增区间是 （2）当时，令 解得或 由是的单调递增区间，可得 又 可得，即 则 当且仅当即时取等号 则的范围是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $