5.2.3 简单复合函数的导数(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 高中数学专项训练，聚焦简单复合函数的导数，以概念理解为基础，以链式法则为核心，通过分层训练构建“概念-计算-应用”的完整方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|10题|复合过程分解、链式法则直接应用、对数求导法迁移|从复合函数概念生成到基本求导法则推导| |B级综合运用|4题|导数几何意义应用、抽象函数求导、跨知识点综合（奇偶性与导数）|从单一计算到实际问题与综合应用，培养逻辑推理与数学运算素养，体现数学应用意识|

5.2.3　简单复合函数的导数 1.函数y=（x2－1）n的复合过程正确的是（　　） A．y=un，u=x2－1 B．y=（u－1）n，u=x2 C．y=tn，t=（x2－1）n D．y=（t－1）n，t=x2－1 2.设f（x）=log3（x－1），则f′（2）=（　　） A．ln 3　 　B．－ln 3 C．　 　D．－ 3.曲线y=cos（2x＋）在x=处切线的斜率为（　　） A．2　 　B．－2 C．　 　D．－ 4.（2026•宿迁月考）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=600•，则铯137的含量M在t=30时的瞬时变化率为（　　） A．－10ln 2太贝克/年 　B.300ln 2太贝克/年 C．－300ln 2太贝克/年 　D.10ln 2太贝克/年 5.（2026•淮安月考）曲线f（x）=e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（　　） A．　　　 B．　　 　 C．　　 　 D.1 6.〔多选〕曲线y=e2xcos 3x在点（0，1）处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（　　） A．y=2x＋6　 　B．y=2x－4 C．y=3x＋1　 　D．y=3x－4 7.已知函数f（x）满足f（x）=f′sin 2x－cos 2x，则f′=　　　　． 8.（2026•徐州月考）已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=e－x＋，则x＞0时，f（x）=　　　　　，f（1）＋f′（1）=　　　　． 9.对于y=ax（a＞0且a≠1）这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：ln y=ln ax=xln a； 第二步：（ln y）′=（xln a）′； 第三步：•y′=ln a； 第四步：y′=y•ln a=ax•ln a 根据框内的信息，函数y=xx（x＞0）的导数y′=　　　　． 10.求下列函数的导数： （1）y=（3x＋5）3；（2）y=e－0.05x＋1；（3）y=ln（2x＋1）． 11.已知定义在实数集R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x＋y）=f（x）＋f（y）＋xy，f′（1）=，则f′（2）=（　　） A．0　 　B． C．1　 　D． 12.过原点的直线l与曲线y=ex，y=ln（x＋a）都相切，则实数a=（　　） A．　 　B． C．　 　D． 13.〔一题多解〕设函数f（x）在（0，＋∞）内可导，且f（ex）=x＋ex，则f′（1）=　　　　． 14.（1）已知f（x）=eπxsin πx，求f′（x）及f′； （2）在曲线g（x）=上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程． 答案 5.2.3　简单复合函数的导数 1.A　2.C　3.B 4.A　依题意，M（t）＝600·，所以M'（t）＝－×600×ln 2＝－20×ln 2，所以铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为M'（30）＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2（太贝克/年），故选A. 5.A　依题意得f'（x）＝e－2x·（－2）＝－2e－2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2.所以曲线f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示.因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是（，），直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是（1，0），所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝. 6.AB　y'＝e2x（2cos 3x－3sin 3x），∴y'｜x＝0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则＝，解得b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. 7.　解析：因为f（x）＝f'sin 2x－cos 2x，所以f'（x）＝2f'cos 2x＋2sin 2x，则f'＝2f'cos＋2sin＝－f'＋，即f'＝. 8.－ex＋　－2e　解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，∴令x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－＝－f（x），∴f（x）＝－ex＋，x＞0.∴f'（x）＝－ex－，x＞0，∴f'（1）＝－e－1，f（1）＝－e＋1，∴f（1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝－2e. 9.xx（ln x＋1）　解析：因为y＝xx，故可得ln y＝xln x，所以（ln y）'＝（xln x）'，即·y'＝ln x＋1，所以y'＝y（ln x＋1）＝xx（ln x＋1）. 10.解：（1）函数y＝（3x＋5）3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有yx'＝yu'·ux'＝（u3）'·（3x＋5）'＝3u2×3＝9（3x＋5）2. （2）函数y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有yx'＝yu'·ux'＝（eu）'·（－0.05x＋1）'＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1. （3）函数y＝ln（2x＋1）可以看作函数y＝ln u和u＝2x＋1的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有yx'＝yu'·ux'＝（ln u）'·（2x＋1）'＝2×＝. 11.D　对于f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋xy，令y＝x，得f（2x）＝2f（x）＋x2，则2f'（2x）＝2f'（x）＋2x，令x＝1，可得2f'（2）＝2f'（1）＋2＝3，所以f'（2）＝. 12.D　由y＝ex得y'＝ex，由y＝ln（x＋a）得y'＝.设过原点的直线l分别与曲线y＝ex，y＝ln（x＋a）相切于点A（x1，y1），B（x2，y2），则由导数的几何意义得＝，且y1＝，故x1＝1，所以直线l的斜率为e.所以＝＝e，所以x2＋a＝，ln（x2＋a）＝ex2，所以ex2＝－1，即x2＝－，代入＝e得a＝.故选D. 13.2　解析：法一　令ex＝t，则x＝ln t.∵f（ex）＝x＋ex，∴f（t）＝ln t＋t，∴f'（t）＝＋1，∴f'（1）＝1＋1＝2. 法二　对函数两边同时求导，得exf'（ex）＝1＋ex，令x＝0，得f'（e0）＝f'（1）＝1＋e0＝2. 14.解：（1）∵f（x）＝eπxsin πx， ∴f'（x）＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx ＝πeπx（sin πx＋cos πx）. ∴f'＝π（sin ＋cos）＝π. （2）设切点坐标为P（x0，y0）， 由题意可知g'（x0）＝0. 又g'（x）＝，∴g'（x0）＝＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1. 即该点的坐标为P（0，1），切线方程为y－1＝0. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $