5.2.3 简单复合函数的导数(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦简单复合函数的导数，通过商品利润与销售价格关系的情境导入，衔接函数概念与导数基本公式，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，帮助学生理解复合函数的构成及求导法则。 以“数学眼光”观察实际问题，“数学思维”分层设计题型，从概念理解到导数计算再到切线应用，配合自我诊断与随堂检测，强化运算能力与逻辑推理，助力学生用“数学语言”表达导数关系，提升知识迁移与应用意识。

5.2.3　简单复合函数的导数 课标要求 能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数（数学运算）． 　　假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且y=f（u）=60u－u2，u=g（x）=60－3x． 　　那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y=60u－u2=60（60－3x）－（60－3x）2=180x－9x2. 　　上式也可这样得到：f（g（x））=60g（x）－g2（x）=180x－9x2. 【问题】　（1）函数f（g（x））与f（x）和g（x）是什么关系？ （2）设y=f（g（x））=180x－9x2，求y′，并观察f′（u）和u′=g′（x）的关系． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　复合函数 1.概念：一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记作y=　　　　　． 2.求导法则：一般地，对于由函数y=f（u）和u=g（x）复合而成的函数y=f（g（x）），它的导数与函数y=f（u），u=g（x）的导数间的关系为y′x=y′u•u′x． 特别地，若y=f（u），u=ax＋b，则y′x=y′u•u′x，即y′x=　　　　　． 提醒：求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导；④最后要把中间变量换成自变量x的函数． 【想一想】 　试说明函数y=ln（2x＋5）是如何复合的？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）f（x）=x2＋是复合函数．（　　） （2）y=cos 3x由函数y=cos u，u=3x复合而成．（　　） （3）函数f（x）=e2x－1的导数为f′（x）=2e2x－1．（　　） 2.设f（x）=cos 2x－3x，则f′（）=（　　） A．－5　 　B．－3　　 C．－4　 　 D．－ 3.曲线f（x）=e－2x＋3在（1，f（1））处的切线的斜率为　　　　． 题型一　复合函数概念的理解 （链接教科书第208页练习1题）〔多选〕下列函数是复合函数的有（　　） A．y=xln x　 　B．y=（3x＋6）2 C．y=esin x　 　D．y=sin（x＋） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　若f（x）与g（x）均为基本初等函数，则函数y=f（g（x））或函数y=g（f（x））均为复合函数，而f（x），g（x）不是复合函数． 判断下列哪些函数是复合函数，并说明是如何复合的： （1）y=log2（2x＋1）； （2）y=2x2－； （3）y=2ln x； （4）y=cos（3x－）． 题型二　复合函数的导数 （链接教科书第207页例4）求下列函数的导数： （1）y=ecos x＋1； （2）y=log2（2x＋1）； （3）y=2sin； （4）y= ． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 复合函数求导数的步骤 提醒：求复合函数的导数的注意点：①选择的中间变量通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 求下列函数的导数： （1）y=103x－2； （2）y=ln（ex＋x2）； （3）y=sin4x＋cos4x． 题型三　复合函数求导的应用 （1）曲线y=ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3=0的最短距离是（　　） A．　　 B.2　　 C.3　　 D.0 （2）已知函数f（x）=e2x，则过原点且与曲线y=f（x）相切的直线方程为　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.求解与复合函数有关的切线问题的两个关键 （1）求复合函数的导数，这是正确解题的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏； （2）求切线方程，注意切线所过的点是否为切点． 2.将复合函数的求导与问题中的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． （2026•盐城月考）已知函数f（x）=xex－a，曲线y=f（x）在点（a，f（a））处的切线方程为y=3x＋b，则a＋b=（　　） A．－4　　 B．－2　 　 C．2　　 D．4 1.设f（x）=sin 2x，则f′（x）=（　　） A．cos 2x　 　B．2cos 2x C．－cos 2x　 　D．－2cos 2x 2.设f（x）=ln（3x＋2）－3x2，则f′（0）=（　　） A．1　 　B． C．－1　 　D．－2 3.函数y=（sin x2）3的导数是（　　） A．y′=3xsin x2•sin 2x2 　B．y′=3（sin x2）2 C．y′=3（sin x2）2cos x2 　D．y′=6sin x2cos x2 4.（2026•宁波期中）设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1=0垂直，则a=　　　　． 完成课后作业　第五章　5.2　5.2.3 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $