5.2.3 简单复合函数的导数(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦简单复合函数（形如f(ax＋b)）的导数运算，通过商品利润与销售价格的情境导入，从具体函数关系引出复合函数概念，再过渡到定义及求导法则，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境激发兴趣，典例研析分层呈现题型，通过“分层、求导、相乘、回代”四步法培养数学运算与逻辑思维，跟踪训练和随堂检测巩固知识。学生能提升数学思维，教师可借助系统资源高效教学。

5.2　导数的运算 5.2.3　简单复合函数的导数 第五章　导数及其应用 1 课标要求 能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函 数，且y＝f（u）＝60u－u2，u＝g（x）＝60－3x. 　　那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60 （60－3x）－（60－3x）2＝180x－9x2. 　　上式也可这样得到：f（g（x））＝60g（x）－g2（x）＝180x－ 9x2. 【问题】　（1）函数f（g（x））与f（x）和g（x）是什么关系？ （2）设y＝f（g（x））＝180x－9x2，求y'，并观察f'（u）和u'＝g' （x）的关系. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　复合函数 1. 概念：一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中 间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u） 和u＝g（x）的复合函数，记作y＝ ⁠. 2. 求导法则：一般地，对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的 函数y＝f（g（x）），它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数 间的关系为y'x＝y'u·u'x. f（g（x））　 特别地，若y＝f（u），u＝ax＋b，则y'x＝y'u·u'x，即y'x ＝ ⁠. y'u·a　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 提醒：求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是 基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外 层开始，由外及内，一层层地求导；④最后要把中间变量换成自变量x 的函数. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 　试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？ 提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变 量x的函数. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）f（x）＝x2＋ 是复合函数. （　×　） （2）y＝ cos 3x由函数y＝ cos u，u＝3x复合而成. （　√　） （3）函数f（x）＝e2x－1的导数为f'（x）＝2e2x－1. （　√　） × √ √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 设f（x）＝ cos 2x－3x，则f'（ ）＝（　　） A. －5 B. －3 C. －4 D. － 解析：　f'（x）＝－2 sin 2x－3，f'（ ）＝－2 sin π－3＝－3. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 曲线f（x）＝e－2x＋3在（1，f（1））处的切线的斜率为 ⁠. 解析：f'（x）＝－2e－2x＋3，f'（1）＝－2e，即k＝－2e. －2e 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 12 题型一　复合函数概念的理解 （链接教科书第208页练习1题）〔多选〕下列函数是复合函数的有 （　　） A. y＝xln x B. y＝（3x＋6）2 C. y＝e sin x D. y＝ sin （ x＋ ） 解析：　A不是复合函数；B、C、D都是复合函数. √ √ √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 　　若f（x）与g（x）均为基本初等函数，则函数y＝f（g（x））或 函数y＝g（f（x））均为复合函数，而f（x），g（x）不是复合函数. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 判断下列哪些函数是复合函数，并说明是如何复合的： （1）y＝log2（2x＋1）；（2）y＝2x2－ ； （3）y＝2ln x；（4）y＝ cos （3x－ ）. 解：（1）y＝log2（2x＋1）是复合函数，可以看作是由y＝log2μ和μ＝2x ＋1“复合”而成的函数. （2）y＝2x2－ 不是复合函数. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）y＝2ln x是复合函数，可以看作是由y＝2μ和μ＝ln x“复合”而成 的函数. （4）y＝ cos （3x－ ）是复合函数，可以看作是由y＝ cos μ和μ＝3x－ “复合”而成的函数. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　复合函数的导数 （链接教科书第207页例4）求下列函数的导数： （1）y＝e cos x＋1； 解：设y＝eu，u＝ cos x＋1， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝eu·（－ sin x）＝－e cos x＋1 sin x. （2）y＝log2（2x＋1）； 解：设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）y＝2 sin ； 解：设y＝2 sin u，u＝3x－ ， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝2 cos u×3＝6 cos . （4）y＝ . 解：设y＝ ，u＝1－2x， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝ '·（1－2x）' ＝－ ×（－2）＝（1－2x . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 复合函数求导数的步骤 提醒：求复合函数的导数的注意点：①选择的中间变量通常为基本初等函 数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 求下列函数的导数： （1）y＝103x－2； 解：令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y'　x＝y'　u·u'　x＝10uln 10·（3x－2）' ＝3×103x－2ln 10. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）y＝ln（ex＋x2）； 解：令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以y'　x＝y'　u·u'　x＝ ·（ex＋x2）' ＝ ·（ex＋2x）＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）y＝ sin 4x＋ cos 4x. 解：因为y＝ sin 4x＋ cos 4x ＝（ sin 2x＋ cos 2x）2－2 sin 2x· cos 2x ＝1－ sin 22x＝1－ （1－ cos 4x） ＝ ＋ cos 4x， 所以y'＝ '＝－ sin 4x. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　复合函数求导的应用 （1）曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 （　A　） A. B. 2 C. 3 D. 0 A 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y＋3＝ 0平行.∵y'＝ ，∴k＝ ＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0， 即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝ ＝ ，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最 短距离是 . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方 程为 ⁠. 解析：设切点坐标为（t，e2t）.∵f（x）＝e2x，∴f'（x）＝2e2x，∴f' （t）＝2e2t，∴曲线y＝f（x）在点（t，e2t）处的切线方程为y－e2t＝ 2e2t（x－t）.∵该直线过原点，∴－e2t＝－2te2t，解得t＝ ，∴过原点 且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为2ex－y＝0. 2ex－y＝0 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 求解与复合函数有关的切线问题的两个关键 （1）求复合函数的导数，这是正确解题的前提条件，要注意把复合函数 逐层分解，求导时不要有遗漏； （2）求切线方程，注意切线所过的点是否为切点. 2. 将复合函数的求导与问题中的实际意义结合，函数在某点处的导数反映 了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2026·盐城月考）已知函数f（x）＝xex－a，曲线y＝f（x）在点 （a，f（a））处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝（　　） A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 解析：　由题意得f'（x）＝（x＋1）ex－a，所以f'（a）＝a＋1＝3，所 以a＝2，所以f（x）＝xex－2，所以f（2）＝2e2－2＝2，所以切点为（2， 2），将（2，2）代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 设f（x）＝ sin 2x，则f'（x）＝（　　） A. cos 2x B. 2 cos 2x C. － cos 2x D. －2 cos 2x 解析：　f'（x）＝（ sin 2x）'＝2 cos 2x. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 设f（x）＝ln（3x＋2）－3x2，则f'（0）＝（　　） A. 1 B. C. －1 D. －2 解析：　f'（x）＝ －6x，故f'（0）＝ －0＝ . √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 函数y＝（ sin x2）3的导数是（　　） A. y'＝3x sin x2· sin 2x2 B. y'＝3（ sin x2）2 C. y'＝3（ sin x2）2 cos x2 D. y'＝6 sin x2 cos x2 解析：　令t＝x2，u＝ sin t，y＝u3，则y'x＝y'u·u't·t'x＝3u2· cos t·（2x），所以y'＝3（ sin x2）2·（ cos x2）·（2x）＝3x sin x2· sin 2x2.故选A. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. （2026·宁波期中）设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y ＋1＝0垂直，则a＝ ⁠. 解析：易知y'＝aeax，y'｜x＝0＝ae0＝a，故a×（－ ）＝－1，则a＝2. 2 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 32 1. 函数y＝（x2－1）n的复合过程正确的是（　　） A. y＝un，u＝x2－1 B. y＝（u－1）n，u＝x2 C. y＝tn，t＝（x2－1）n D. y＝（t－1）n，t＝x2－1 解析：　由复合函数求导法则知A正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 设f（x）＝log3（x－1），则f'（2）＝（　　） A. ln 3 B. －ln 3 C. D. － 解析：　f'（x）＝ ，故f'（2）＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 曲线y＝ cos （2x＋ ）在x＝ 处切线的斜率为（　　） A. 2 B. －2 C. D. － 解析：　设y＝ cos u，u＝2x＋ ，yx'＝（ cos u）'（2x＋ ）'＝－2 sin （2x＋ ），故k＝－2 sin （2× ＋ ）＝－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. （2026·宿迁月考）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其 他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137 衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数 关系：M（t）＝600· ，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为 （　　） A. －10ln 2太贝克/年 B. 300ln 2太贝克/年 C. －300ln 2太贝克/年 D. 10ln 2太贝克/年 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：依题意，M（t）＝600· ，所以M'（t）＝－ ×600× ln 2＝－20× ln 2，所以铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为M'（30）＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2（太贝克/年），故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. （2026·淮安月考）曲线f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直 线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　依题意得f'（x）＝e－2x·（－2）＝－2e－2x， f'（0）＝－2e－2×0＝－2.所以曲线f（x）＝e－2x＋1在点 （0，2）处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2. 在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝ x的图象，如图所示.因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是（ ， ），直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是（1，0），所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为 ×1× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕曲线y＝e2x cos 3x在点（0，1）处的切线与其平行直线l的距 离为 ，则直线l的方程可能为（　　） A. y＝2x＋6 B. y＝2x－4 C. y＝3x＋1 D. y＝3x－4 解析：y'＝e2x（2 cos 3x－3 sin 3x），∴y'｜x＝0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则 ＝ ，解得b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 已知函数f（x）满足f（x）＝f' sin 2x－ cos 2x，则f' ＝ ⁠. 解析：因为f（x）＝f' sin 2x－ cos 2x，所以f'（x）＝2f' cos 2x＋ 2 sin 2x，则f' ＝2f' cos ＋2 sin ＝－f' ＋ ，即f' ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. （2026·徐州月考）已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e －x＋ ，则x＞0时，f（x）＝ 　－ex＋ 　，f（1）＋f'（1）＝ ⁠⁠. 解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，∴令x＞ 0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－ ＝－f（x），∴f（x）＝－ex＋ ， x＞0.∴f'（x）＝－ex－ ，x＞0，∴f'（1）＝－e－1，f（1）＝－e＋ 1，∴f（1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝－2e. －ex＋ 　 －2e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 对于y＝ax（a＞0且a≠1）这类函数的求导，可以使用下面的方式进 行： 第一步：ln y＝ln ax＝xln a； 第二步：（ln y）'＝（xln a）'； 第三步： ·y'＝ln a； 第四步：y'＝y·ln a＝ax·ln a 根据框内的信息，函数y＝xx（x＞0）的导数y'＝ ⁠. 解析：因为y＝xx，故可得ln y＝xln x，所以（ln y）'＝（xln x）'，即 ·y'＝ln x＋1，所以y'＝y（ln x＋1）＝xx（ln x＋1）. xx（ln x＋1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 求下列函数的导数： （1）y＝（3x＋5）3；（2）y＝e－0.05x＋1；（3）y＝ln（2x＋1）. 解：（1）函数y＝（3x＋5）3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合 函数. 根据复合函数的求导法则，有yx'＝yu'·ux'＝（u3）'·（3x＋5）'＝ 3u2×3＝9（3x＋5）2. （2）函数y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有yx'＝yu'·ux'＝（eu）'·（－0.05x＋1）'＝ －0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）函数y＝ln（2x＋1）可以看作函数y＝ln u和u＝2x＋1的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有yx'＝yu'·ux'＝（ln u）'·（2x＋1）'＝2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 已知定义在实数集R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x ＋y）＝f（x）＋f（y）＋xy，f'（1）＝ ，则f'（2）＝（　　） A. 0 B. 解析：对于f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋xy，令y＝x，得f（2x）＝2f（x）＋x2，则2f'（2x）＝2f'（x）＋2x，令x＝1，可得2f'（2）＝2f'（1）＋2＝3，所以f'（2）＝ . C. 1 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 过原点的直线l与曲线y＝ex，y＝ln（x＋a）都相切，则实数a＝ （　　） A. B. C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　由y＝ex得y'＝ex，由y＝ln（x＋a）得y'＝ .设过原点的直 线l分别与曲线y＝ex，y＝ln（x＋a）相切于点A（x1，y1），B（x2， y2），则由导数的几何意义得 ＝ ，且y1＝ ，故x1＝1，所以直线l 的斜率为e.所以 ＝ ＝e，所以x2＋a＝ ，ln（x2＋a）＝ex2，所以 ex2＝－1，即x2＝－ ，代入 ＝e得a＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 〔一题多解〕设函数f（x）在（0，＋∞）内可导，且f（ex）＝x＋ ex，则f'（1）＝ ⁠. 解析：法一　令ex＝t，则x＝ln t.∵f（ex）＝x＋ex，∴f（t）＝ln t＋ t，∴f'（t）＝ ＋1，∴f'（1）＝1＋1＝2. 法二　对函数两边同时求导，得exf'（ex）＝1＋ex，令x＝0，得f'（e0）＝ f'（1）＝1＋e0＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. （1）已知f（x）＝eπx sin πx，求f'（x）及f' ； 解：∵f（x）＝eπx sin πx， ∴f'（x）＝πeπx sin πx＋πeπx cos πx ＝πeπx（ sin πx＋ cos πx）. ∴f' ＝π （ sin ＋ cos ）＝π . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）在曲线g（x）＝ 上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求 切线方程. 解：设切点坐标为P（x0，y0）， 由题意可知g'（x0）＝0. 又g'（x）＝ ，∴g'（x0）＝ ＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1. 即该点的坐标为P（0，1），切线方程为y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $