5.1.2 第1课时 曲线上一点处的切线(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 高中数学新授课专项训练，聚焦“曲线上一点处的切线”，以从割线到切线的极限思想为主线，分层递进设计题型，培养数学抽象、几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|割线斜率计算、切线斜率定义（Δy/Δx极限）、切线方程点斜式|从平均变化率到瞬时变化率的概念生成，覆盖二次函数、三次函数切线基础问题| |综合运用|4题|切线平行条件、斜率最值、距离最短问题转化|深化导数几何意义应用，拓展含参数切线及函数性质综合问题|

第1课时　曲线上一点处的切线 1.已知抛物线f（x）=x2＋4上两点A，B，xA=1，xB=1.3，则直线AB的斜率为（　　） A．2　 　B．2.3 C．2.09　 　D．2.1 2.已知抛物线y=x2，抛物线上有一点P（1，），Q是抛物线上点P附近的一点，则点Q的坐标为（　　） A．（1＋Δx，（Δx）2）　 　B．（Δx，（Δx）2） C．（1＋Δx，（1＋Δx）2）　 　D．（Δx，（1＋Δx）2） 3.如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则直线l的斜率为（　　） A．　 　B.3 C.4　 　D.5 4.（2026•南京月考）已知函数f（x）=x2图象上四点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），D（4，f（4）），割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3　 　B．k2＜k1＜k3 C．k3＜k2＜k1　 　D．k1＜k3＜k2 5.已知曲线y=x3在点P处的切线的斜率k=3，则点P的坐标是（　　） A．（1，1）　 　B．（－1，1） C．（1，1）或（－1，－1）　 　D．（2，8）或（－2，－8） 6.我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案．据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（　　） 7.曲线y=在点P（2，1）处的切线方程为（　　） A．x=1　 　B．y=1 C．x＋y－3=0　 　D．x－y＋3=0 8.过曲线y=x2上两点A（2，4）和B（2＋Δx，4＋Δy）作割线，当Δx=0.1时，割线AB的斜率为　　　　． 9.（2026•苏州月考）当h无限趋近于0时，无限趋近于　　　，无限趋近于　　　　． 10.若曲线y=x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1=0，求a，b的值． 11.若曲线y=ax2在x=a处的切线与直线2x－y－1=0平行，则a=（　　） A．－1　 　B.1 C．－1或1　 　D．－或1 12.已知曲线y=x3在点（2，8）处的切线斜率为12a，则实数a的值为　　　　． 13.在曲线y=x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为　　　　． 14.若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x－5的距离最短，求点P的坐标． 答案 第1课时　曲线上一点处的切线 1.B　2.C　3.A 4.A　k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，∴k1＜k2＜k3. 5.C　∵y＝x3，∴Δy＝（x＋Δx）3－x3，则＝3x2＋3x·Δx＋（Δx）2，当Δx无限趋近于0时，可得k＝3x2＝3，解得x＝1或x＝－1，当x＝1时y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标为（1，1）或（－1，－1）.故选C. 6.B　从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B选项中的图象的切线斜率在不断增大，也即运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高. 7.C　Δy＝－＝－1＝，当Δx无限趋近于0时，＝无限趋近于－1，所以曲线y＝在点P（2，1）处的切线斜率为－1，故其切线方程为y－1＝－1（x－2），即x＋y－3＝0. 8.4.1　解析：kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1. 9.8　　解析：＝＝8＋h，当h无限趋近于0时，8＋h无限趋近于8.＝＝，当h无限趋近于0时，无限趋近于. 10.解：∵Δy＝f（Δx）－f（0）＝[（Δx）2＋aΔx＋b]－b＝（Δx）2＋aΔx，∴＝Δx＋a，当Δx趋近于0时，趋近于常数a，∴函数y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线的斜率为a，则a＝1.∵点（0，b）在切线x－y＋1＝0上，则b＝1，∴a，b的值均为1. 11.A　根据题意得＝＝2a2＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2a2，故2a2＝2，∴a＝±1，当a＝1时，y＝x2，切点是（1，1），切线的斜率k＝2，故切线方程是y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0，此时与直线2x－y－1＝0重合，故a＝－1. 12.1　解析：＝＝3x2＋3Δx·x＋（Δx）2，因为当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x2，所以曲线在点（2，8）处的切线斜率k＝12，所以12a＝12，即a＝1. 13.3x－y－11＝0　解析：设切点为P（x0，y0），曲线在点P处的切线斜率为k，＝[（x0＋Δx）3＋3（x0＋Δx）2＋6（x0＋Δx）－10－（＋3＋6x0－10）]＝3＋6x0＋6＋（Δx）2＋（3x0＋3）Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3＋6x0＋6＝3（x0＋1）2＋3.所以k＝3（x0＋1）2＋3.当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为（－1，－14），其切线方程为3x－y－11＝0. 14.解：由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，过点P的切线方程与直线y＝4x－5平行， 设P（x0，y0），则＝＝＝8x＋4Δx， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于8x， 由得 故所求的点为P（，1）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $