4.3.2 第3课时 等比数列的综合问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 聚焦等比数列与等差数列综合、单调性及实际应用，通过分层题型构建“概念辨析-性质应用-综合探究”的解题逻辑链，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|等比中项公式求公比、方程思想解参数、分类讨论公比正负|从定义出发，结合等差数列性质，推导等比数列单调性条件| |综合运用|4题|函数与数列结合判断等比性、前n项积性质分析、参数范围求解|以实际问题（衰分）和跨知识（对数函数）为载体，深化模型构建与运算能力|

第3课时　等比数列的综合问题 1.已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－13是此数列的第（　　） A．2项　 　B．4项 C．6项　 　D．8项 2.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为（　　） A．－24　 　B．－3 C．3　 　D．8 3.若数列{an}是公比为q（q＞0）的递增等比数列，则（　　） A．a1＞0，q＞1　 　B．a1（q－1）＞0 C．（a1－1）q＞0　 　D．（a1－1）q＜0 4.（2026•盐城质检）已知{an}是等差数列，且公差d≠0，若a=2a1，b=2a3，c=2a5，则a，b，c（　　） A．成等比数列，不成等差数列 B．成等差数列，不成等比数列 C．既不成等比数列，又不成等差数列 D．既成等差数列，又成等比数列 5.〔多选〕已知{an}为等差数列，满足2a2－a1=2，{bn}为等比数列，满足b2=1，b4=4，则下列说法正确的是（　　） A．数列{an}的首项为4　　 B．a3=2 C．b8=64　　 D．数列{bn}的公比为±2 6.〔多选〕已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（　　） A．a1＋a3≥2a2 B．＋≥2 C．若a1=a2，则a1=a3 D．若a3＞a1，则a4＞a2 7.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=　　　　． 8.已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4=128，a8=215．设bn=log2an，则数列{bn}的通项公式为　　　　． 9.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　　　　　． 10.设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5an，5bn，5an＋1成等比数列，lg bn，lg an＋1，lg bn＋1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求an，bn． 11.（2026•南京月考）已知函数f（x）=logax（a＞0，a≠1），则下列条件能使数列{an}成等比数列的是（　　） A．f（an）=2n　 　B．f（an）=n2 C．f（an）=2n　 　D．f（an）= 12.〔多选〕设{an}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6=K7＞K8，则下列选项中成立的是（　　） A．0＜q＜1 B．a7=1 C．K9＞K5 D．K6与K7均为Kn的最大值 13.在各项为正的递增等比数列{an}中，a1a2a6=64，a1＋a3＋a5=21，则an=　　　　． 14.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1=8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=an（n＋2－λ），且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围． 答案 第3课时　等比数列的综合问题 1.B　2.A　3.B 4.A　由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，所以＝＝22d，故a，b，c成等比数列.若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列. 5.BCD　对于A项，设{an}的公差为d，由2a2－a1＝2可得2（a1＋d）－a1＝2，a1＋2d＝2，不能确定a1的值，故A项错误；对于B项，a3＝a1＋2d＝2，故B项正确；对于C、D两项，设{bn}的公比为q，由b2＝1，b4＝4，可得q2＝4，则q＝±2，于是b8＝b4q4＝64，故C项正确，D项也正确.故选B、C、D. 6.BC　设等比数列{an}的公比为q，当a1＜0，q＜0时，a3＜0，a2＞0，故a1＋a3≥2a2不成立，故A不正确；＋＝（）2＋（a2q）2＝（＋q2）≥2，当且仅当q2＝1时，等号成立，故B正确；若a1＝a2，则q＝1，所以a1＝a3成立，故C正确；当a1＝1，q＝－2时，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，满足a3＞a1，但a4＞a2不成立，故D不正确. 7.－6　解析：由a1a4＝得（a2－2）（a2＋4）＝（a2＋2）2，所以2a2＝－12，a2＝－6. 8.bn＝2n－1　解析：设等比数列{an}的公比为q，由已知得q4＝＝28.∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，∴q＝4，∴a1＝＝2，∴an＝2×4n－1＝22n－1.又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2（n≥2），b1＝log2a1＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2n－1. 9.　解析：设衰分比例为q（0＜q＜1），则甲、乙、丙各分得，28，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.又0＜q＜1，∴q＝. 10.解：由，，成等比数列可知an，bn，an＋1成等差数列，即2bn＝an＋an＋1①. 由lg bn，lg an＋1，lg bn＋1成等差数列可知bn，an＋1，bn＋1成等比数列，即＝bnbn＋1. 又{an}，{bn}的各项均为正数， 则an＋1＝，所以n≥2时，an＝， 代入①式，得2bn＝＋（n≥2）， 两边约掉得2＝＋（n≥2）， 由a1＝1，b1＝2，a2＝3，可知b2＝＝， 所以{}是首项为，公差为的等差数列， ＝＋（n－1）＝（n＋1）， 即bn＝（n＋1）2， 所以an＝＝n（n＋1）（n≥2），又a1＝1满足上式，所以an＝n（n＋1）. 11.C　由f（x）＝logax（a＞0，a≠1），令y＝logax，可得x＝ay，故对于A，有an＝，非等比数列；对于B，an＝，非等比数列；对于C，an＝a2n，为等比数列；对于D，an＝，非等比数列. 12.ABD　根据题意，分析选项.对于B，由K6＝K7，得a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列是递减数列，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D. 13.2n－1　解析：∵{an}为等比数列，设其公比为q，∴a1a2a6＝q6＝（a1q2）3＝＝64，则a3＝4，∵a1＋a3＋a5＝21，∴＋a3＋a3q2＝21，即＋4＋4q2＝21，解得q＝±2或q＝±，又∵{an}各项为正且递增，∴q＝2，a1＝1，∴an＝2n－1. 14.解：（1）设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝或q＝（舍去）， 所以an＝8×（）n－1＝24－n，n∈N*. （2）bn＝an（n＋2－λ）＝（n＋2－λ）·24－n， 由bn＞bn＋1，得（n＋2－λ）·24－n＞（n＋3－λ）·23－n， 即λ＜n＋1， 所以λ＜（n＋1）min＝2， 故实数λ的取值范围为（－∞，2）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $