第4章 05-4.3.1 等比数列的概念 4.3.2 等比数列的通项公式（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦等比数列，系统涵盖概念、通项公式及性质，通过对比等差数列引入新知，构建知识支架，衔接数列章节前后内容，助力学生形成完整知识体系。 其亮点在于分层设计练习与跨学科案例，如分形几何中的康托尔三分集问题培养数学眼光，数阵综合题提升数学思维，详细解析强化数学语言表达。学生能深化理解，教师可高效教学。

第4章 数列 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 4.3.2　等比数列的通项公式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　等比数列的概念及其应用 1.[2025江苏镇江中学学情检测]已知a,b,c,d成等比数列,给出下列三个数列: (1)a2,b2,c2,d2;(2)ab,bc,cd;(3)a-b,b-c,c-d,其中一定是等比数列的有 （　　 　） A.0个　　　    B.1个　　　    C.2个　　　    D.3个     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设数列a,b,c,d的公比为q(q≠0),则a,b,c,d均不为0,且 = = =q, 对于(1), = = =q2,故a2,b2,c2,d2成等比数列,且公比为q2; 对于(2), = =q2, = =q2,因此ab,bc,cd成等比数列,且公比为q2; 对于(3),a-b=a(1-q),b-c=b(1-q)=aq(1-q),c-d=aq2(1-q),当q≠1时,a-b,b-c,c-d成等比数列,且公比为q,但当q= 1时,a-b=b-c=c-d=0,此时a-b,b-c,c-d不是等比数列.故一定是等比数列的有2个. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江苏苏州常熟期中]已知数列{an},{bn}都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的 是 (　　　　) A.{anbn}　　　    B.{an+bn} C. 　　　    D.{an-bn}     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设数列{an},{bn}的公比分别为q1,q2(q1,q2≠0). 对于A, = · =q1q2,数列{anbn}为等比数列,A满足条件; 对于B,不妨取an=(-1)n,bn=(-1)n+1,满足{an},{bn}都是等比数列,但an+bn=(-1)n+(-1)n+1=(-1)n-(-1)n=0,故数列{an +bn}不一定是等比数列,B不满足条件; 对于C, ÷ = · = ,故 为等比数列,C满足条件; 对于D,不妨取an=(-2)n,bn=2n,满足数列{an},{bn}都是等比数列, 当n=2k,k∈N*时,an-bn=(-2)n-2n=(-2)2k-22k=4k-4k=0,故数列{an-bn}不一定是等比数列,D不满足条件. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　等比中项 3.[2026江苏苏州国裕外语学校月考]在2和8之间插入3个实数a,x,b,使得2,a,x,b,8成等比数列,则x的值为  （　　 　） A.-4　　　    B.-4或4　　　    C.4　　　    D.5     C     解析　由x为等比中项可知,x2=2×8=16,解得x=±4,由a2=2x,可知x>0,所以x=4. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏常州高级中学阶段检测]在正项等比数列{an}中,a6a8=64,且a7, ,10成等差数列,则a9的值为  （　　 　） A. 　　　    B. 　　　    C.18　　　    D.24     C     解析　设正项等比数列{an}的公比为q,q>0, 由题意得a6a8= =64,∴a7=8, ∵a7, ,10成等差数列, ∴ =a7+10=18,∴a10=27, 则 =q3= , ∴q= ,∴a9= =18. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏南京外国语学校检测]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,若S5=35,且a2,a4,a9成等比 数列,则a7的值为 （　　 　） A.11　　　    B.13　　　    C.19　　　    D.17     C     解析　依题意,S5= (a1+a5)=5a3=35, 得a3=7,即a1+2d=7,① 因为a2,a4,a9成等比数列,所以 =a2a9, 即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d), 整理得d=3a1,② 由①②可得a1=1,d=3,所以an=3n-2,则a7=19. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏苏州期中]已知等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和 为________. 　-24     解析　设{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,由a2,a3,a6成等比数列,得 =a2a6, 即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),所以d=-2,所以S6=6×1+ ×(-2)=-24. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　等比数列的通项公式及其应用 7.[2026江苏南航苏州附中期中]已知等比数列{an}的首项a1>0,且满足a5-a1=15,a4-a2=6,则公比q为(　　) A. 　　　    B.2 C. 或2　　　    D.3     B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由a5-a1=15,a4-a2=6,得a1q4-a1=15,a1q3-a1q=6,显然q≠±1, 所以 = = = = , 即2q2-5q+2=(q-2)(2q-1)=0,解得q=2或q= , 当q=2时,a1=1; 当q= 时,a1=-16,不符合题意,舍去. 综上,q=2. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏南京中华中学期中]已知数列{an}中,a1=2,且满足an=2an-1+2(n≥2),则a2 025= （　　 　） A.22 025-2　　　    B.22 026-2 C.22 027-2　　　    D.22 024-2     B     解析　由an=2an-1+2(n≥2),得an+2=2(an-1+2), ∵a1+2=4,∴数列{an+2}是以4为首项,2为公比的等比数列, ∴an+2=4×2n-1=2n+1,∴an=2n+1-2, ∴a2 025=22 026-2. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏泰州兴化中学阶段测试]已知数列{an}为等比数列,a1=100,公比q= .若Tn是数列{an}的前n项 积,则Tn取得最大值时n的值为 （　　 　） A.5　　　    B.6　　　    C.7　　　    D.8     C     解析　由题意得an=100× , 所以Tn=a1·a2·a3·…·an,当 时,Tn取得最大值, 由 解得n=7,所以当Tn取得最大值时,n=7. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026湖北武汉华中师大一附中月考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S15=120,等比数列{bn}的首 项为1,若a8=b4,则log2b2 025的值为_____________.     2 024     解析　设等比数列{bn}的公比为q, 由题得S15= =15a8=120,解得a8=8, 由等比数列{bn}的首项为1,且a8=b4=b1q3=q3=8,解得q=2,所以b2 025=b1q2 024=22 024, 所以log2b2 025=log222 024=2 024. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　等比数列的性质及其应用 11.已知{an}是递增的等比数列,且a4+a5=27,a3a6=162,则公比q=（　　 　） A.3　　　    B.-3　　　    C.2　　　    D.-2     C     解析　由等比数列的性质可得a4a5=a3a6=162,又a4+a5=27,{an}为递增数列,所以a4=9,a5=18,所以q= =2. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025山东日照期中]已知等比数列{an}的各项均为正数,a2和a6是方程x2-9x+10=0的两个根,则lg a1+ lg a2+…+lg a7= （　　 　） A. 　　　    B.3 C. 　　　    D.4     C     解析　由题意得a2a6= =10,故a4= ,且a1a7=a2a6=a3a5= , 故lg a1+lg a2+…+lg a7=lg(a1·a2·…·a7)=lg  =7lg a4=7lg = . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025江苏南京六校联合体调研]已知等比数列{an}满足a4a5a6=64,则a2a4+a6a8的最小值为 （　　 　） A.48　　　    B.32　　　    C.24　　　    D.8     B     解析　由等比数列的性质可得a4a5a6= =64,所以a5=4,所以a2a4+a6a8= + ,由a5>0可知a3,a7均为正数,故  + ≥2a3a7=2 =32,当且仅当a3=a7=4时等号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 4.3.2　等比数列的通项公式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　等比数列的概念、通项公式及其应用 1.[2026江苏苏州高新区第一中学月考]设{an}是公比不为1的等比数列,a3a4a5=8, , , 成等差数列,则 a1= （　　 　） A.-16　　　    B.-  C.16　　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设{an}的公比为q,则q≠0且q≠1,由等比数列的性质可得a3a4a5= =8,解得a4=2, 因为 , , 成等差数列,所以 = + = + , 所以 = + ,解得q=- 或q=1(舍去),所以a1= = =-16. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河南九师联盟期中]在等比数列{an}中,a1+a2=2+4 ,a2+a3=16+4 ,若不等式log2a1-log2a2+log2a3- log2a4+…+(-1)n+1log2an>19恒成立,则n的最小值为（　　 　） A.25　　　    B.24　　　    C.27　　　    D.26     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等比数列{an}的公比为q,由a1+a2=2+4 ,a2+a3=16+4 , 得q= = =2 , 则a1+a2=a1+a1q=a1+2 a1=2+4 , 得a1=2,则an=2×(2 )n-1= . 令bn=(-1)n+1log2an, 则bn=(-1)n+1 , 记Sn=log2a1-log2a2+log2a3-log2a4+…+(-1)n+1log2an, 当n为偶数时,bn-1+bn= - =- ,则Sn=- × >19,无正整数解,不满足题意; 当n为大于2的奇数时,bn-1+bn=- + = , 第1讲　描述运动的基本概念 则Sn=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(bn-1+bn)=1+ × >19,解得n>25, 又n为奇数,所以n的最小值为27. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2025山东青岛即墨教学质量检测]已知等比数列{an}的首项a1=1,公比q=3,在{an}中的每相邻 两项之间都插入k(k∈N*)个正数,使它们和原数列的项构成一个新的等比数列{bn},则 （　　　　 　） A.an=3n-1 B.当k=2时,bn=  C.当k=2时,b19不是{an}中的项 D.若b8是数列{an}中的项,则k=6     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,易知an=1×3n-1=3n-1,故A正确; 对于B,C,当k=2时,设数列{bn}的公比为q',则b1=1,b4=3,所以3=q'3,所以q'= , 所以bn=1×( )n-1= ,所以b19= =36=a7,故B正确,C错误; 对于D,易知b1=1,bk+2=3,设数列{bn}的公比为q1,则 =3,则q1= , 所以bn=1×( )n-1= ,所以b8= , 因为b8是数列{an}中的项,所以 ∈N*,又k∈N*,所以k=6,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题]已知数列{an}满足an+2an-1=kn,n∈N*,n≥2,则（　　　　 　） A.当k=0且a1≠0时,{an}是等比数列 B.当k=1时, 是等比数列 C.当k=-2时, 是等差数列 D.当k=-3且a1=-3时, 是等比数列     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当k=0时,an+2an-1=0,即an=-2an-1,又a1≠0,∴ =-2, ∴{an}为等比数列,A正确; 对于B,当k=1时,an+2an-1=1, ∴an=-2an-1+1, 则an- =-2an-1+ =-2 ,当a1- =0时, 不是等比数列,B错误; 对于C,当k=-2时,an+2an-1=(-2)n,则 + =1, 则 - =1, ∴ 是以1为公差的等差数列,C正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,当k=-3时,an+2an-1=(-3)n,则 + =1, 则 =- +1, ∴ -3=- -2 =  =  , 又 -3= -3=-2≠0, ∴ 是以-2为首项, 为公比的等比数列,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025江苏苏州六校联考]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,且满足a3=8,an+1=Sn+m,则  （　　　　 　） A.a1=2 B.若bn= ,则b1+b2+…+bn=1-  C.m=2 D.若cn= ,则当c1c2…cn最小时,n=10     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由an+1=Sn+m,得an=Sn-1+m(n≥2),两式相减可得an+1-an=an,即an+1=2an,所以q=2, 所以数列{an}是公比为2的等比数列,所以an=a3·2n-3=2n,所以a1=2,故A正确; 对于B,bn= = ,则b1+b2= + = ,1- =1- = ≠ ,故B错误; 对于C,由an+1=Sn+m,得a2=a1+m,即22=2+m,所以m=2,故C正确; 对于D,cn= = ,易知数列{cn}为递增数列,当n≤10时,0<cn= ≤c10= <1,当n≥11时,cn=  ≥c11= = >1,所以当c1c2…cn最小时,n=10,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026福建厦门外国语学校月考]若数列{an}的首项a1= ,且an+1= ,则 (　　　) A.数列 为等比数列 B.an=  C.数列{an}为递增数列 D.存在三个不相等的正整数m,n,l,使得am+an=al     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,对an+1= 取倒数得 = = + ,变形得 -1=  , 又 -1= -1= ,所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,A正确. 对于B,由A得 -1= ,故 =1+ = ,即an= ,B错误. 对于C,an= =1- ,则an随着n的增大而增大,故数列{an}为递增数列,C正确. 对于D,假设存在三个不相等的正整数m,n,l,使得am+an=al, 由C中分析可知,数列{an}为递增数列, 则对于任意不相等的正整数m,n,有am+an≥a1+a2= + = >1, 而al= =1- <1,则am+an>al, 所以等式无法成立,故不存在这样的m,n,l,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026福建厦门集美中学检测]已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n. (1)证明:数列{an-1}是等比数列; (2)设bn=log2(1-an+1),记数列 的前n项和为Tn,证明:对任意的正整数n,都有Tn< . 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)已知Sn=2an+n①, 当n=1时,S1=a1=2a1+1,得a1=-1, 当n≥2时,Sn-1=2an-1+(n-1)②, ①-②,得an=2an-1-1(n≥2), ∴当n≥2时,an-1=2(an-1-1), ∴数列{an-1}是首项为a1-1=-2,公比q=2的等比数列. (2)由(1)得an-1=-2n,∴an=1-2n,∴an+1=1-2n+1,∴bn=log2(1-an+1)=n+1, ∴ = = - , ∴Tn= + +…+ = + +…+ = - , 因为n∈N*,所以 >0,所以Tn< . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　等比数列的性质及综合应用 8.[2025江苏镇江三校期中]已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列,且a1a2 024=1,f(x)= ,则f(a1)+ f(a2)+…+f(a2 024)= （　　 　） A.1 010　　　    B.2 024　　　    C.1 012　　　    D.2 020     C     解析　因为a1a2 024=1,所以a2 024= , 所以f(a1)+f(a2 024)= + = + = + =1,又由等比数列的性质可得a1a2 024=a2a2 023= a3a2 022=…=a1 012a1 013=1, 所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2 024)=f(a1)+f(a2 024)+f(a2)+f(a2 023)+…+f(a1 012)+f(a1 013)=1 012. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2025江苏苏州常熟中学阶段检测]设等比数列{an}的公比为q,其前n项积为Tn,且a1>1,a89a90>1, (a89-1)·(a90-1)<0,则下列结论正确的是(　　　　) A.0<q<1 B.a89a91>1 C.T90是{Tn}中最大的项 D.使Tn>1成立的最大正整数n等于178     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由a89a90>1,得 q>1,所以q>0, 又a1>1,(a89-1)(a90-1)<0,所以a89>1,a90<1,所以0<q<1,故A正确; 由 得0<a89·a91<1,故B错误; 由T90=T89·a90,0<a90<1,得T90<T89,故C错误; T178=a1·a2·…·a178=(a1·a178)·(a2·a177)·…·(a89·a90)=(a89·a90)89>1, T179=a1·a2·…·a179=(a1·a179)·(a2·a178)·…·(a89·a91)·a90= <1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026山东济宁嘉祥一中月考]已知数列{an}满足a1+a2+…+an=2n-an(n∈N*). (1)求a1+a2+a3的值; (2)求证:数列{log4|an-2|}是等差数列; (3)令bn=(2n-1)(2-an)(n∈N*),若对任意n∈N*,都有bn+t≤ ,求实数t的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵a1+a2+a3+…+an=2n-an,∴a1=2-a1,∴a1=1, ∵a1+a2=4-a2,∴a2= , ∵a1+a2+a3=6-a3,∴a3= , ∴a1+a2+a3=1+ + = . (2)证明:∵a1+a2+a3+…+an=2n-an①, ∴a1+a2+a3+…+an+an+1=2n+2-an+1②, 由②-①,得2an+1-an=2,即an+1-2= (an-2), ∴log4|an+1-2|=log4 =- +log4|an-2|, 即log4|an+1-2|-log4|an-2|=- , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴数列{log4|an-2|}是首项为log4|a1-2|=0,公差为- 的等差数列. (3)由(2)可得 = , 又a1-2=-1,所以an-2=- , 所以an=2- ,所以bn= , 则bn+1-bn= - = = , 由bn+1-bn>0可得n≤1,由bn+1-bn<0可得n≥2, ∴b1<b2,b2>b3>b4>b5>…>bn>…,故{bn}的最大项为b2= , ∴对任意n∈N*,都有bn≤ , 第1讲　描述运动的基本概念 若对任意n∈N*,都有bn+t≤ 成立, 则(bn)max≤ -t,∴ ≤ -t,解得t≤-1或t≥3, ∴实数t的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　分形几何与数列的综合 11.[多选题][2026江苏常州高级中学阶段检测]十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础. 著名的“康托尔三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区 间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段 ,记为第1次操作;再将剩下的两个区间 , 分别均分 为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第2次操作;……,每次操作都在上一次操作的基础上,将剩下的 各个区间分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,操作过程不断地进行下去,剩下的区间集合即是 “康托尔三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为φ(n),则 (　　　　) A.φ(n)≥ 　　   B. = 　　　　C.ln[φ(n)]+1>0　　　     D.φ(n)+φ(3n)>2φ(2n)     BD     创新题型 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设第n次操作前有an条等长的区间段,则第(n+1)次操作前,有an+1条等长的区间段, 因为每次操作之后,每个区间段都变为2个区间段, 所以an+1=2an,即{an}是公比为2的等比数列, 又a1=1,所以an=2n-1. 设第n次操作,每段去掉的区间长度为bn,则第(n+1)次操作,每段去掉的区间长度为bn+1, 因为每次操作去掉的一段区间长度都是前一次操作去掉的一段区间长度的 , 所以bn+1= bn,即{bn}是以 为公比的等比数列, 又b1= ,所以bn= , 所以φ(n)=bn·an= . 第1讲　描述运动的基本概念 对于A,因为n∈N*,且φ(1)= ,φ(n)= × 单调递减, 所以φ(n)≤ ,故A错误. 对于B, = = ,故B正确. 对于C,ln[φ(n)]+1=ln +1=ln +1=ln +ln +1 =nln -ln 2+1,将y=nln -ln 2+1看作关于n的一次函数, 因为ln <0,所以y=ln[φ(n)]+1=nln -ln 2+1单调递减, 又当n=1时,ln[φ(1)]+1=ln -ln 2+1=1-ln 3<0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以ln[φ(n)]+1<0,故C错误. 对于D,φ(n)+φ(3n)-2φ(2n)= × + × -2× ×  = × × 1+ -2×  = × × 1-  2>0, 所以φ(n)+φ(3n)>2φ(2n),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　在数阵下考查等差数列与等比数列的综合 12.[多选题][2026山东省实验中学月考]将数列{an}中的所有项排成如下数阵.从第2行开始每一行比上 一行多两项,且从左到右均构成以2为公比的等比数列,第1列数a1,a2,a5,…成等差数列.若a2=2,a10=8,则         (　　　　)   A.a1=-1 B. ai=168 C.a2 026位于第46行第1列 D.2 026在数阵中出现了两次     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,B,设第1列数a1,a2,a5,a10,…构成的等差数列的公差为d, 由a2=2,a10=8,得a1+d=2,a1+3d=8,解得a1=-1,d=3, 则第i行第1列的数构成的数列的通项公式为bi=-1+(i-1)×3=3i-4. 因为从第2行开始每一行比上一行多两项,且从左到右均构成以2为公比的等比数列, 所以a2+a3+…+a9=2+4+8+5+10+20+40+80=169,所以A正确,B错误. 对于C,由题得每一行的最后一个数为a1,a4,a9,a16,…,且1=12,4=22,9=32,16=42,……, 因为452=2 025,所以a2 026位于第46行第1列,所以C正确. 对于D,由第i行是首项为3i-4,公比为2的等比数列,得第i行第j个数为(3i-4)×2j-1, 当i=1时,a1=-1≠2 026, 当i≥2时,令(3i-4)×2j-1=2 026, 若j=1,则3i-4=2 026无整数解; 第1讲　描述运动的基本概念 若j=2,则3i-4=1 013,得i=339; 若j≥3,则无整数解. 综上,2 026在数阵中出现了一次,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 $