4.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 聚焦等差数列前n项和性质的系统性应用，通过分层题型构建"公式-性质-应用"逻辑链条，渗透数学推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|性质应用（片段和、最值）、公式变形、一题多解|从基本公式推导性质，建立Sn与an关系| |综合运用|4题|分组求和、实际问题转化|性质拓展应用，强化运算与模型构建|

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=8，S8=20，则a13＋a14＋a15＋a16=（　　） A．8　 　B．12 C．16　 　D．20 2.在等差数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn，若－=2，则S10=（　　） A．10　 　B．100 C．110　 　D．120 3.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 024=S2 025，Sk=S2 023，则正整数k=（　　） A．2 022　 　B．2 024 C．2 025　 　D．2 026 4.已知等差数列{an}的公差d=，a2＋a4＋…＋a100=80，则S100=（　　） A．80　 　B．120 C．135　 　 D．160 5.〔多选〕已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2=S6，则下列四个选项中正确的是（　　） A．a7=0　 　B．S13=0 C．S7最小　 　D．S5=S8 6.〔多选〕（2026•常州月考）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是（　　） A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0 D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 7.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，n∈N*，都有=，则的值为　　　　． 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S2n=6，则S4n=　　　　． 9.〔一题多解〕已知等差数列{an}的首项a1=0，等差数列{bn}的首项b1=－4，{an}和{bn}的前m项和分别为Sm，S′m，若Sm＋S′m=0，则am＋bm=　　　　． 10.〔一题多解〕已知在等差数列{an}中，a1=9，a4＋a7=0. （1）求数列{an}的通项公式； （2）当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 11.已知等差数列{an}满足S30=120，a3＋a6＋a9＋…＋a30=60，则an=（　　） A．2n－25　 　B．2n－27 C．3n－15　 　D．3n－18 12.〔多选〕已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2 025＜0，S2 026＞0，则（　　） A．使an＞0的n的最小值为2 026 B．|a1 013|＜|a1 014| C．当Sn取最小值时，n=1 013 D．为单调递减的等差数列 13.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，Sn有最小值，若＜－1，则使Sn＜0成立的n的最大值为　　　　． 14.一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月． （1）分期付款的第10个月应付多少钱？ （2）全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？ 答案 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 1.D　2.B　3.D 4.C　在等差数列{an}中，公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80，所以a1＋a3＋…＋a99＝a2＋a4＋…＋a100－50d＝80－50×＝55，所以S100＝（a1＋a3＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝55＋80＝135. 5.ABD　根据题意，设等差数列{an}的公差为d.对于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，故B正确；对于C，S7＝＝7a4，可能大于0，也可能小于0，故C不正确；对于D，S5－S8＝（5a1＋d）－（8a1＋d）＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正确. 6.ABD　显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A、B正确；又若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确；而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确. 7.　解析：因为等差数列{an}，{bn}中，＝，所以可设Sn＝an（2n＋3），Tn＝an（4n－3），所以＝＝＝＝. 8.20　解析：由题意得S2n－Sn＝4，由等差数列前n项和的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n组成首项为2，公差为2的等差数列，则S4n＝（S4n－S3n）＋（S3n－S2n）＋（S2n－Sn）＋Sn＝8＋6＋4＋2＝20. 9.4　解析：法一　由等差数列的前n项和公式，得Sm＋S'm＝＋＝0，所以am＋bm＝－（a1＋b1）＝4. 法二　由于数列{an}，{bn}是等差数列，因此数列{an＋bn}也是等差数列.由条件知该数列的首项为a1＋b1＝－4，前m项的和为0.根据等差数列的前n项和公式得0＝＝.故am＋bm＝4. 10.解：（1）由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋（n－1）d＝11－2n. （2）法一　由a1＝9，d＝－2， 得Sn＝9n＋·（－2）＝－n2＋10n＝－（n－5）2＋25， ∴当n＝5时，Sn取得最大值. 法二　由（1）知a1＝9，d＝－2＜0， ∴{an}是递减数列. 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤. ∵n∈N*，∴n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0. ∴当n＝5时，Sn取得最大值. 11.B　设等差数列的公差为d，则S30＝（a1＋a4＋…＋a28）＋（a2＋a5＋…＋a29）＋（a3＋a6＋…＋a30）＝（a3＋a6＋…＋a30）－20d＋（a3＋a6＋…＋a30）－10d＋（a3＋a6＋…＋a30）＝180－30d，即120＝180－30d，解得d＝2.又S30＝30a1＋×2＝120，解得a1＝－25.所以an＝－25＋（n－1）×2＝2n－27，故选B. 12.BC　A、B选项，因为S2 025＝＝2 025a1 013＜0，S2 026＝＝1 013（a1 013＋a1 014）＞0，故a1 013＜0，a1 014＞0，且｜a1 013｜＜｜a1 014｜，故使an＞0的n的最小值为1 014，A错误，B正确；C选项，因为a1 013＜0，a1 014＞0，故当n＝1 013时，Sn取得最小值，C正确；D选项，设{an}的公差为d，因为a1 013＜0，a1 014＞0，所以d＞0，因为Sn＝na1＋，所以＝a1＋，故－＝a1＋－a1－＝＞0，故为单调递增的等差数列，D错误.故选B、C. 13.15　解析：因为＜－1，所以＋1＜0，即＜0.又Sn有最小值，所以a8＜0，a8＋a9＞0，所以S15＝＝15a8＜0，S16＝＝8（a8＋a9）＞0，因此，使Sn＜0成立的n的最大值为15. 14.解：（1）购买当天付了150元，欠款1 000元，每月付50元，分20次付完.设每月的付款数依次组成数列{an}，则 a1＝50＋1 000×0.01＝60， a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5， a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59， … 所以数列{an}是等差数列，公差d＝－0.5，an＝60－0.5（n－1）（1≤n≤20）. 由n＝10，得a10＝60－0.5×9＝55.5， 故第10个月应付55.5元. （2）全部货款付清后付款总数为S20＋150＝＋150＝（2a1＋19d）×10＋150＝（2×60－19×0.5）×10＋150＝1 255. 故全部货款付清后，买这件家用电器实际花了1 255元. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $