4.2.2 第3课时 等差数列的综合问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 以等差数列定义与性质为核心，通过一题多解、跨模块结合构建从基础到综合的方法体系，强化数学抽象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|第4、5、8题|构造新数列（倒数法）、性质应用（\(a_m+a_n=a_p+a_q\)）、一题多解（方程/函数/几何法）|定义→性质→简单应用| |综合运用|第13、14题|转化思想（递推式→等差数列）、恒成立问题（分离参数求最值）|性质→综合应用→实际问题|

第3课时　等差数列的综合问题 1.若a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为（　　） A．0　 　B．1 C．2　 　D．1或2 2.“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩余定理”．现有如下一个整除问题：将1至2 025这2 025个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有（　　） A.133项　 　B.134项 C.135项　 　D.136项 3.（2026•扬州质检）在等差数列{an}中，a2=3，a6=11，直线l过点M（m，am），N（n，an）（m≠n，m，n∈N*），则直线l的斜率为（　　） A．2　 　B．－2 C．4　 　D．－4 4.在数列{an}中，若a1=1，3anan－1＋an－an－1=0（n≥2，n∈N*），则通项an=（　　） A．　 　B． C．　 　D． 5.〔多选〕（2026•青岛质检）已知等差数列{an}的公差不为零，且a5＋an=a10＋a20－m（m，n∈N*），则（　　） A．m＋n=25 　B．当且仅当n=12时，mn最大 C．m－n=10 　D．mn的最大值是156 6.〔多选〕在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7=15，a2a4a6=45，则a7=（　　） A．－1　 　B．1 C．－11　 　D．11 7.已知数列{an}满足a1=1，若点（n，）（n∈N*）在斜率为1的直线上，则通项公式an=　　　　． 8.〔一题多解〕已知等差数列{an}中，am=n，an=m（m≠n），则am＋n=　　　　． 9.已知数列（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9，则数列{an}的通项公式为　　　　． 10.已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 11.（2026•连云港月考）周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin（α＋β）=（　　） A．　　 　B．　 　C．　　 　D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.已知数列{an}满足①∀k∈N*，ak＋1＞ak，②∀k∈N*，|ak＋1－ak|≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式　　　． 13.已知数列{an}满足a1=1，a2=4，且=＋（n≥2，n∈N*），则当取得最大值时，n的值为　　　　． 14.已知等差数列{an}满足a3=5，a4＋a6=18. （1）求{an}的通项公式； （2）若对一切n∈N*，an≥λn恒成立，求λ的取值范围． 答案 第3课时　等差数列的综合问题 1.D　2.C　3.A 4.D　由已知3anan－1＋an－an－1＝0，在等式两侧同除以anan－1，得3＋－＝0⇒－＝3，即数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，故有＝1＋3（n－1）⇒an＝. 5.AD　因为等差数列{an}中，a5＋an＝a10＋a20－m，所以5＋n＝10＋20－m，即m＋n＝25，A正确，C不能确定；所以mn＝（25－n）·n＝－n2＋25n＝－（n－）2＋，又n∈N*，所以n＝12或13时，mn取得最大值156，B错误，D正确. 6.AD　因为a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，所以a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5，所以a2＋a6＝10.因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9.所以a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两根，所以或设{an}的公差为d.若a2＝1，a6＝9，则d＝＝2，所以an＝a2＋（n－2）d＝2n－3；若a2＝9，a6＝1，则d＝＝－2，所以an＝a2＋（n－2）d＝13－2n.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－3或an＝13－2n.所以a7＝11或a7＝－1. 7.n2　解析：由题意可得，{}为等差数列，且公差d＝1.又a1＝1，所以＝＋（n－1）×1＝n，所以an＝n2. 8.0　解析：法一　设等差数列的公差为d，则解得所以am＋n＝a1＋（m＋n－1）d＝n＋m－1－（m＋n－1）＝0. 法二　设等差数列的公差为d，则d＝＝－1，所以am＋n＝am＋nd＝n－n＝0. 法三　因为数列{an}为等差数列，则点（n，an），（m，am），（m＋n，am＋n）在同一条直线上，所以＝＝－1.故am＋n＝－m＋an＝0. 9.an＝2n＋1　解析：设等差数列的公差为d，由a1＝3，a3＝9，得log2（a3－1）＝log2（a1－1）＋2d，解得d＝1，所以log2（an－1）＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝2n＋1. 10.解：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则 又该数列是递增数列，所以d＞0，所以a＝±，d＝， 所以此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1. 11.D　由题可设三边长分别为a－1，a，a＋1，∵三角形的周长为9，∴a－1＋a＋a＋1＝9，解得a＝3，∴三边长分别为2，3，4，由余弦定理可得cos α＝＝－，∴sin α＝＝，同理cos β＝，sin β＝，∴sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×－×＝. 12.an＝n（n∈N*）（答案不唯一） 解析：∀k∈N*，ak＋1＞ak，说明数列是递增数列；由∀k∈N*，｜ak＋1－ak｜≤2，不妨设该数列为等差数列，公差为1，首项为1，所以an＝n. 13.2　解析：因为＝＋（n≥2，n∈N*），所以2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1（n≥2，n∈N*），所以数列{nan}是等差数列，又a1＝1，a2＝4，所以数列{nan}是以1为首项，2×a2－1×a1＝7为公差的等差数列，所以nan＝7n－6，所以＝＝－＝－6（－）2＋，因为n∈N*，1＜＜2，且＝－＝1，＝－＝2，2＞1，所以当n＝2时，取得最大值2. 14.解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 由a3＝5，a4＋a6＝18， 得解得 ∴an＝2n－1，n∈N*. （2）由an≥λn恒成立，得2n－1≥λn恒成立， 即λ≤2－对一切n∈N*恒成立. 当n＝1时，2－取得最小值1，∴λ≤1， 即λ的取值范围是（－∞，1]. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $