4.1 第2课时 数列的递推公式(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 围绕数列递推公式，系统覆盖概念辨析、累加法/累乘法等核心方法及综合应用，方法提炼清晰，知识逻辑从基础到综合，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1,5题|递推公式定义（含首项）|从具体数列抽象递推关系，明确首项必要性| |递推求通项|3,4,7,9,14题|累加法、累乘法|等差型（$a_n=a_{n-1}+d$）到累加，等比型（$a_n=qa_{n-1}$）到累乘，形成转化链条| |综合应用|11,13题|逆向推导、情境转化|结合对数运算（第11题）、分段递推（第13题），提升复杂问题推理能力|

第2课时　数列的递推公式 1.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（　　） A．an=an－1＋2（n≥2） B．an=2an－1（n≥2） C．a1=2，an=an－1＋2（n≥2） D．a1=2，an=2an－1（n≥2） 2.已知数列{an}中，a1=1，an＋1=，则a5=（　　） A．　 　B． C．　 　D． 3.已知a1=1，an=an－1＋3（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为（　　） A．an=3n＋1　 　B．an=3n C．an=3n－2　 　D．an=3（n－1） 4.已知数列{an}满足a1=，an＋1=an，则an=（　　） A．　 　B． C．　 　D． 5.（2026•镇江月考）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（　　） A．an＋1=an＋n，n∈N* B．an=an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1=an＋（n＋1），n∈N*，n≥2 D．an=an－1＋，n∈N*，n≥2 6.〔多选〕符合递推关系式an=an－1的数列是（　　） A．1，2，3，4，…　 　B．1，，2，2，… C．，2，2，4，…　 　D．0，，2，2，… 7.已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an=an－1＋2n－1，则a4=　　　　． 8.已知在数列{an}中，a1a2…an=n2（n∈N*），则a9=　　　　． 9.已知数列{an}满足a1=，an=an－1＋（n≥2），则an=　　　　． 10.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，以后各项由an=an－1＋an－2（n≥3）给出． （1）写出此数列的前5项； （2）通过公式bn=构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． 11.（2026•南通月考）在数列{an}中，a1=2，an＋1=an＋ln，则数列{an}的通项公式为an=（　　） A．2＋ln n　 　B．2＋（n－1）ln n C．2＋nln n　 　D．1＋n＋ln n 12.〔多选〕由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1=2，当n≥2时，bn=abn－1，则（　　） A．b3=5　 　B．b4=9 C．b5=15　 　D．b6=33 13.已知数列{an}满足a1=m（m为正整数），an＋1=若a6=1，则m所有可能的取值为　　　　． 14.已知数列{an}中，a1=1，以后各项满足an=an－1＋（n≥2）． （1）写出数列{an}的前5项； （2）求数列{an}的通项公式． 答案 第2课时　数列的递推公式 1.C　2.B　3.C 4.C　由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，各式两边分别相乘得，···…·＝×××…×得＝.又因为a1＝，所以an＝，当n＝1时，符合上式，所以an＝. 5.B　结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2. 6.BC　B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an＝an－1＋1.D中，无法推出递推公式.综上，B、C正确. 7.16　解析：当n≥2时，an－an－1＝2n－1，所以a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，所以a4－a1＝15.又a1＝1，所以a4＝16. 8.　解析：a1a2…a8＝82，①.a1a2…a9＝92，②.②÷①得，a9＝＝. 9.　解析：因为an＝an－1＋（n≥2），所以an－an－1＝＝－，所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－（n≥2）.以上各式相加，得an－a1＝－（n≥2），所以an＝a1＋－＝（n≥2），又a1＝适合上式，所以an＝. 10.解：（1）因为an＝an－1＋an－2（n≥3），且a1＝1，a2＝2， 所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. （2）因为bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， 所以b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 11.A　a2＝a1＋ln，a3＝a2＋ln，…，an＝an－1＋ln（n≥2），则an＝a1＋ln（×××…×）＝2＋ln n（n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n. 12.ABD　因为an＝2n－1，bn＝，所以b2＝＝a2＝3，b3＝＝a3＝5，b4＝＝a5＝9，b5＝＝a9＝17，b6＝＝a17＝33. 13.4，5，32　解析：由a6＝1，逆求得a5＝2，a4＝4，a3＝1或8.若a3＝1，则a2＝2，a1＝4，此时m＝4；若a3＝8，则a2＝16，a1＝32或5，此时m＝32或5. 14.解：（1）a1＝1；a2＝a1＋＝；a3＝a2＋＝；a4＝a3＋＝；a5＝a4＋＝. （2）由an＝an－1＋得， an－an－1＝＝－（n≥2）， ∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝（－）＋（－）＋…＋（－）＋（1－）＋1＝－＋1＋1＝2－＝（n≥2）. 当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $