专题4.1 数列（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题4.1 数列（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 观察法求数列通项】 3 【题型2 判断或写出数列中的项】 3 【题型3 根据规律填写数列中的某项】 4 【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】 5 【题型5 利用an与Sn的关系求通项或项】 6 【题型6 累加法求数列通项】 6 【题型7 累乘法求数列通项】 7 【题型8 求数列的前n项和】 8 【题型9 递推数列的实际应用】 8 【题型10 数列的单调性的判断与求参】 10 【题型11 数列的最大（小）项】 11 【题型12 数列周期性的应用】 11 考点1 数列的概念 知识点1 数列的概念 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【题型1 观察法求数列通项】 【例1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·河北·阶段检测）数列1，1，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【题型2 判断或写出数列中的项】 【例2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【变式2.1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是（　　） A．2 B．4 C．8 D．80 【变式2.2】（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 【变式2.3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【题型3 根据规律填写数列中的某项】 【例3】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·期中）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【变式3.1】（2026·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（    ） A．51 B．70 C．92 D．117 【变式3.2】（25-26高二上·吉林长春·期中）分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．44 【变式3.3】（25-26高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】 【例4】（25-26高二上·黑龙江绥化·期末）已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）数列中，若，，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 【变式4.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知数列满足（，），则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 利用an与Sn的关系求通项或项】 【例5】（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二下·北京·期中）设数列的前项和为．若，，则（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 【变式5.2】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 【变式5.3】（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【题型6 累加法求数列通项】 【例6】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 【变式6.3】（25-26高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【题型7 累乘法求数列通项】 【例7】（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 【题型8 求数列的前n项和】 【例8】（25-26高三上·甘肃天水·阶段检测）设数列的前项和为，已知，，则（   ） A．9 B．11 C．12 D．14 【变式8.1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知数列的前项和为，若，则的前10项和为（   ） A．32 B．41 C．52 D．65 【变式8.2】（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 【变式8.3】（25-26高二下·广东·阶段检测）记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型9 递推数列的实际应用】 【例9】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【变式9.1】（2026·河南·三模）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．55 B．58 C．60 D．62 【变式9.2】（2026·安徽六安·二模）数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则___________． 【变式9.3】（25-26高三上·山东日照·阶段检测）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________. 考点2 数列的性质 知识点2 数列的性质 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【题型10 数列的单调性的判断与求参】 【例10】（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10.1】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【变式10.3】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若是递减数列，求实数的取值范围. 【题型11 数列的最大（小）项】 【例11】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式11.1】（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【变式11.2】（2026·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【变式11.3】（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设. ①求数列的通项公式； ②求数列的最大项. 【题型12 数列周期性的应用】 【例12】（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式12.1】（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）若数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 【变式12.2】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知数列中，，则数列前2026项的和为（   ） A．0 B．2026 C．2027 D．4054 【变式12.3】（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 数列（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 观察法求数列通项】 3 【题型2 判断或写出数列中的项】 4 【题型3 根据规律填写数列中的某项】 6 【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】 8 【题型5 利用an与Sn的关系求通项或项】 10 【题型6 累加法求数列通项】 12 【题型7 累乘法求数列通项】 14 【题型8 求数列的前n项和】 16 【题型9 递推数列的实际应用】 18 【题型10 数列的单调性的判断与求参】 21 【题型11 数列的最大（小）项】 24 【题型12 数列周期性的应用】 26 考点1 数列的概念 知识点1 数列的概念 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【题型1 观察法求数列通项】 【例1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【解答过程】将数列改写为：，，，，，…， 所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式. 故选：D. 【变式1.1】（25-26高二上·河北·阶段检测）数列1，1，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取，利用排除法及验证法得解. 【解答过程】当时，由可得，故A错误； 当时，由可得，故B错误； 当时，由可得，故D错误； 对C，当时，，时，，时，， 当时，，都适合，故C正确. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【解答过程】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A. 【变式1.3】（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将数列的前五项进行改写，可归纳得出数列的一个通项公式. 【解答过程】，，，，， 由此归纳得出该数列的一个通项公式为， 故选：B. 【题型2 判断或写出数列中的项】 【例2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】C 【解题思路】根据题设，令求参数即可得. 【解答过程】由题设，令，可得， 所以是这个数列的第23项. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是（　　） A．2 B．4 C．8 D．80 【答案】B 【解题思路】根据数列的概念和通项公式进行验证即可. 【解答过程】因为， 所以． 而，， 所以4不是数列的项. 故选：B． 【变式2.2】（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 【答案】B 【解题思路】由题可知当是64的因数时，是整数，计算依次判断即可. 【解答过程】因为， 所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． 【变式2.3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【解题思路】令，解出即可得. 【解答过程】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 【题型3 根据规律填写数列中的某项】 【例3】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·期中）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】C 【解题思路】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积 ，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积. 【解答过程】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为， 则图形1的面积，图形2的面积， 图形3的面积 ， 图形4的面积 ， 以此类推， 则图形的面积 则第10个图形的面积为． 故选：C. 【变式3.1】（2026·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（    ） A．51 B．70 C．92 D．117 【答案】C 【解题思路】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数. 【解答过程】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为， 所以五边形数依次为，即第8个数为92. 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·吉林长春·期中）分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．44 【答案】B 【解题思路】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案. 【解答过程】设第行实心圆点的个数为， 由题图可得，，，，，，，……， 则， 故，，，，． 故选：B． 【变式3.3】（25-26高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【答案】C 【解题思路】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解. 【解答过程】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】 【例4】（25-26高二上·黑龙江绥化·期末）已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用时，得到，代入，求出答案. 【解答过程】由题意可得 ①， 所以时， ②， ①-②得，所以， 所以. 故选：C. 【变式4.1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）数列中，若，，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 【答案】B 【解题思路】根据递推公式，结合常数列的定义进行求解即可. 【解答过程】由， 所以数列是常数列， 因为，所以， 因此，所以. 故选：B. 【变式4.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先根据题意得到，再利用累加法求数列的通项公式即可. 【解答过程】， 所以当时， ，， ……，， 所以， 所以. 当时，符合. 所以. 故选：B. 【变式4.3】（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知数列满足（，），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数列的递推公式进行求解. 【解答过程】因为，所以， 又，所以， 故选：C. 【题型5 利用an与Sn的关系求通项或项】 【例5】（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用求解，并检验. 【解答过程】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D. 【变式5.1】（25-26高二下·北京·期中）设数列的前项和为．若，，则（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【解题思路】根据作差得到，再一一求出前几项即可. 【解答过程】因为，当时， 所以，即， 所以， 又，所以， 由，则，由，则，由，则， 由，则. 故选：B. 【变式5.2】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【解题思路】（1）根据给定的前n项和公式，依次赋值计算即得. （2）利用结合已知求出通项． 【解答过程】（1）由数列的前n项和为， 得， ，． （2）当时，， 而不满足上式， 所以的通项公式为． 【变式5.3】（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据与的关系逐项计算可得前5项； （2）根据与的关系推得，利用累乘法计算即得数列通项. 【解答过程】（1）由且，得，解得， 由且，，得，解得， 由且，，，得，解得， 由且，，，，得，解得； （2）因，当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即，则， 因满足， 故数列的通项公式为. 【题型6 累加法求数列通项】 【例6】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由得到，利用累加法求出，则. 【解答过程】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D. 【变式6.1】（25-26高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，可以采用累加法进行求解. 【解答过程】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 【变式6.2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据累加法求解出的通项公式，由此可求的值. 【解答过程】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以， 故选：D. 【变式6.3】（25-26高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式. 【解答过程】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选：A. 【题型7 累乘法求数列通项】 【例7】（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【解答过程】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【变式7.1】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用累乘法可数列的通项公式. 【解答过程】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 【变式7.2】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用累乘法即可求得. 【解答过程】因为， 所以， 上述各式相乘得， 因为，所以， 经检验，满足， 所以. 故选：D. 【变式7.3】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）根据公式，可得答案； （2）利用累乘法，可得答案. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 则 ， 当时，满足上式， 所以. 【题型8 求数列的前n项和】 【例8】（25-26高三上·甘肃天水·阶段检测）设数列的前项和为，已知，，则（   ） A．9 B．11 C．12 D．14 【答案】B 【解题思路】根据得，再根据递推关系，结合求解即可. 【解答过程】因为，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以， ． 故选：B. 【变式8.1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知数列的前项和为，若，则的前10项和为（   ） A．32 B．41 C．52 D．65 【答案】C 【解题思路】由题设结合的关系求出数列的通项公式，求出的前10项，进而可得答案． 【解答过程】因为， 当时，； 当时，， 经检验也适合上式， 所以. 故数列的前10项为：， 则的前10项和为. 故选：C. 【变式8.2】（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 【答案】C 【解题思路】根据的关系可得，即可通过列举发现周期性，进而可求解. 【解答过程】由可得，故， 由可得 故是周期为3的周期数列，且， 故， 故选：C. 【变式8.3】（25-26高二下·广东·阶段检测）记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据与的关系可得，利用累乘法计算得出即可求解. 【解答过程】易得，故， 化简得，即， 由知，故， 累乘可得， 即，故， 当时，也符合上式，故，故. 故选：C. 【题型9 递推数列的实际应用】 【例9】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意确定之间的关系以及与的关系即可得所求. 【解答过程】由题意可知， ， ， ， 所以. 故选：C. 【变式9.1】（2026·河南·三模）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．55 B．58 C．60 D．62 【答案】A 【解题思路】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求. 【解答过程】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴， 又∵; ; ; ; ; , 故选：A. 【变式9.2】（2026·安徽六安·二模）数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则___________． 【答案】 【解题思路】利用， 化简得出，即可得出结果. 【解答过程】由题意可得：斐波那契数列满足：，， 所以 ， ， 所以. 故答案为：. 【变式9.3】（25-26高三上·山东日照·阶段检测）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________. 【答案】15 【解题思路】假设杆上有个圆环，根据汉诺塔的游戏的规则，分析可得数列的递推公式，从而即可求出. 【解答过程】解：根据题意，假设杆上有个圆环，将个圆环从杆全部套到杆上，需要最少的次数为， 可这样操作：先将个圆环从杆全部套到杆上， 至少需要的次数为， 然后将最大的圆环从杆套在杆上，需要1次， 再将杆上个圆环从杆套到木杆上，至少需要的次数为， 所以， 易知，则， 故答案为：15. 考点2 数列的性质 知识点2 数列的性质 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【题型10 数列的单调性的判断与求参】 【例10】（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【解答过程】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B. 【变式10.1】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式10.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【答案】(1) (2)数列是递减数列，理由见解析 【解题思路】（1）解一元二次方程可求数列的通项公式； （2）法一：利用作差法可得，即可得结论.法二：利用作商法可得，即可得结论. 【解答过程】（1），， ，即，解得， ，. （2）数列是递减数列，理由为： （方法一：作差法） ， 又，，， ，即.数列是递减数列. （方法二：作商法） ，，. 数列是递减数列. 【变式10.3】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若是递减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过累加法求出数列的通项公式； （2）先根据是递减数列得到，再结合数列的通项公式，通过分离参数法求出的取值范围. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以，，，， 将上述个式子相加，得：， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 当时，，上式也成立， 所以； （2）因为是递减数列，所以， 即， 由（1）可知，，所以， 设，则， ， 当时，，即； 当时，，即； 所以是数列的最大项，即， 所以，实数的取值范围是. 【题型11 数列的最大（小）项】 【例11】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】设数列的最大项为,由求解. 【解答过程】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B. 【变式11.1】（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项. 【解答过程】由可得， 当时， ， 当时，，，也满足，所以，， ， 由， 即， 解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 故选：D. 【变式11.2】（2026·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 【变式11.3】（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设. ①求数列的通项公式； ②求数列的最大项. 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）注意验证首项是否满足通项 （2）代入得到数列的通项公式，从函数的角度观察数列的单调性，从而将几个特殊的值比较一下即可. 【解答过程】（1）当时，， 当时， 所以 （2）①当时， 当时，，所以 ②设，所以， 所以 当时，单调递增;当时，单调递减. 因为，，经比较可知，， 所以数列的最大项为，. 【题型12 数列周期性的应用】 【例12】（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，推出数列的周期为，由此求解即可. 【解答过程】因为， 所以，， ，， ……， 所以数列为周期数列，周期为， 又因为，所以. 故选：B. 【变式12.1】（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）若数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据数列的周期性即可求解. 【解答过程】由，得，，，． 所以数列以4为周期．余1，故. 故选：D. 【变式12.2】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知数列中，，则数列前2026项的和为（   ） A．0 B．2026 C．2027 D．4054 【答案】C 【解题思路】利用数列的周期性可得答案. 【解答过程】因为， 所以，，，，， 所以数列是周期为4的周期数列，且， 所以． 故选：C． 【变式12.3】（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用递推公式依次求出，从而得到的周期性，利用周期求即可得解. 【解答过程】，，， ，， ，， 是以为周期的数列，. 故选：C. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $