3.2.1 第1课时 双曲线的定义与标准方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦双曲线的定义与标准方程，通过拉链实验情境导入，类比椭圆引导学生抽象双曲线的几何条件，构建从具体操作到定义、标准方程（含焦点位置与a,b,c关系）的学习支架，衔接圆锥曲线知识脉络。 其亮点在于以情境创设培养直观想象，通过自我诊断、典例研析（如轨迹问题、一题多解）训练数学思维，结合炮弹爆炸点等实例渗透数学应用。学生能深化概念理解与解题能力，教师可依托分层设计提升教学效率。

3.2.1　双曲线的标准方程 第三章　圆锥曲线与方程 1 课标要求 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际 问题中的作用（数学抽象）. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程（直观想象）. 第1课时　双曲线的定义与标准方程 第三章　圆锥曲线与方程 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手P处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支. 【问题】　类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几 何条件？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点一　双曲线的定义 1. 定义：平面内到两个定点F1，F2的 等于常数（小 于F1F2的正数）的点的轨迹叫作双曲线， F1，F2叫作双曲线 的焦点， 叫作双曲线的焦距. 2. 符号表示：｜PF1－PF2｜＝2a（常数）且0＜2a＜F1F2. 提醒：（1）若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉，则点P的轨迹为 双曲线的一支，具体是哪一支，取决于PF1与PF2的大小；（2）双曲线定 义中的常数必须要大于0且小于F1F2. 距离之差的绝对值　 两个定点　 两个焦点间的距离　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 （a＞0，b＞ 0） （a＞0，b＞ 0） 图形 － ＝1　 － ＝1　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） a，b，c 的关系 b2＝ ⁠ c2－a2 提醒：双曲线焦点位置与方程的关系：焦点跟着正项走，即在标准方程形 式下，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点 在y轴上. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）的点的 轨迹是双曲线. （　×　） （2）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）的距离之差等于8的点的轨迹 是双曲线. （　×　） （3）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b. （　×　） × × × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 双曲线 － ＝1的焦距为（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. 4 解析：由题意知，a2＝10，b2＝2，∴c2＝a2＋b2＝12，即c＝2 ，焦距2c＝4 . √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为（　　） A. － ＝－1 B. － ＝－1 C. － ＝1或 － ＝1 D. － ＝0或 － ＝0 解析：　b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 设双曲线 － ＝1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为双曲线上的一点， 若PF1＝5，则PF2＝ ⁠. 解析：由双曲线的方程 － ＝1（b＞0），可得a＝3，根据双曲线的定 义可知PF1－PF2＝±2a＝±6，又PF1＝5，则PF2＝11. 11 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 14 题型一　双曲线的定义及标准方程的认识 （链接教科书第101页习题8题）已知 － ＝－1，当k为何 值时： （1）方程表示双曲线？ 解：原方程可变形为 － ＝1. 要使方程表示双曲线，必须满足（｜k｜－3）（1－k）＞0. 即 或 解得k＜－3或1＜k＜3. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）方程表示焦点在x轴上的双曲线？ 解：若方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则 解得1＜k＜3. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 方程表示双曲线的条件 （1）对于方程 ＋ ＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0， n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的 双曲线； （2）对于方程 － ＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0 时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双 曲线. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 　已知两定点F1（－3，0），F2（3，0），在平面内满足下列条件动点P 的轨迹是双曲线的是（　　） A. ｜PF1－PF2｜＝5 B. ｜PF1－PF2｜＝6 C. ｜PF1－PF2｜＝7 D. ｜PF1－PF2｜＝0 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　对于选项A，因为F1F2＝6，所以｜PF1－PF2｜＝5＜F1F2，故 动点P的轨迹是双曲线；对于选项B，因为｜PF1－PF2｜＝6＝F1F2，所 以动点P的轨迹是以F1为端点向左延伸和以F2为端点向右延伸的两条射 线；对于选项C，因为｜PF1－PF2｜＝7＞F1F2，所以动点P的轨迹不存 在；对于选项D，因为｜PF1－PF2｜＝0，所以PF1＝PF2，根据线段垂直 平分线的性质可知，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　求双曲线的标准方程 （链接教科书第97页例1、例2）根据下列条件，求双曲线的标准方 程： （1）a＝4，经过点A ； 解：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为 － ＝1（b＞0）， 把点A的坐标代入，得b2＝－ × ＜0，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为 － ＝1（b＞0）， 把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）〔一题多解〕与双曲线 － ＝1有相同的焦点，且经过点（3 ， 2）； 解：法一　∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0）， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.　① ∵双曲线经过点（3 ，2），∴ － ＝1.　② 由①②得a2＝12，b2＝8， 故双曲线的标准方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二　设所求双曲线的方程为 － ＝1（－4＜λ＜16）. ∵双曲线过点（3 ，2），∴ － ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14（舍去）. 故双曲线的标准方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）过点P ，Q 且焦点在坐标轴上. 解：设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0. ∵点P，Q在双曲线上， ∴ 解得 故双曲线的标准方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求双曲线标准方程的两个关注点 提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论.也可以设双曲线方程为Ax2 ＋By2＝1的形式，注意标明条件AB＜0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）两焦点坐标为（－5，0），（5，0），且a＝4； 解：由题意，c＝5，a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，又焦点在x轴上，所以 所求双曲线方程为 － ＝1. （2）两焦点坐标为（0，－6），（0，6），且经过点（2，－5）； 解：由题意，焦点在y轴上，c＝6，又经过点（2，－5），所以2a＝｜ － ｜＝4 ， 所以a2＝20，又b2＝c2－a2＝16，所以所求双曲线方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）焦点在y轴上，且经过点（3，－4 ）和（ ，5）. 解：因为焦点在y轴上，所以设 － ＝1（a＞0，b＞0），因为经过点 （3，－4 ）和（ ，5），所以 解得 所以所求双曲线方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　与双曲线有关的轨迹问题 （链接教科书第98页例3）相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的 炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速 为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并建立适当的坐标系求出曲 线的方程. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：设爆炸点为P，由已知，得PA－PB＝340×4＝1 360（m）. 因为AB＝2 km＝2 000 m＞1 360 m，PA＞PB， 所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一 支上. 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平 面直角坐标系如图所示， 由2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000，b2＝c2－a2＝537 600. 因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是 － ＝1（x ＞0）. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 与曲线有关的轨迹问题的求解步骤 第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用条件 确定动点满足的等量关系式； 第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定义确 定轨迹的形状； 第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程； 第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 　动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线l：x＝ 距离的 比是常数 ，求动点M的轨迹. 解：根据题意，得 ＝ . 将上式两边平方，并化简，得7x2－9y2＝63， 即 － ＝1. 所以点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知M（－2，0），N（2，0），PM－PN＝4，则动点P的轨迹是 （　　） A. 双曲线 B. 双曲线左支 C. 一条射线 D. 双曲线右支 解析：因为PM－PN＝4＝MN，所以动点P的轨迹是一条射线.故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 若ax2＋by2＝b（ab＜0），则这个曲线是（　　） A. 双曲线，焦点在x轴上 B. 双曲线，焦点在y轴上 C. 椭圆，焦点在x轴上 D. 椭圆，焦点在y轴上 解析：原方程可化为 ＋y2＝1，因为ab＜0，所以 ＜0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·南通月考）若椭圆 ＋ ＝1与双曲线 － ＝1有相同的焦 点，则a＝ ⁠. 解析：由于a＞0，0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，解得a＝1. 1 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）半焦距为 ，经过点（－5，2），且焦点在x轴上； 解：因为半焦距为 ，且焦点在x轴上， 所以可设双曲线的标准方程为 － ＝1（a2＜6）. 因为双曲线经过点（－5，2），所以 － ＝1， 解得a2＝5或a2＝30（舍去）. 于是双曲线的标准方程为 －y2＝1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）两个焦点的坐标分别为F1（0，－5），F2（0，5），双曲线上一点 P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6. 解：因为双曲线的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0）. 因为2a＝6，c＝5，所以a＝3，b2＝c2－a2＝16. 于是双曲线的标准方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 36 1. 双曲线2x2－y2＝8的焦距是（　　） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 解析：因为双曲线方程可化为 － ＝1，所以c2＝4＋8＝12，解得c＝2 ，所以2c＝4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知动点P（x，y）满足 － ＝2， 则动点P的轨迹是（　　） A. 双曲线 B. 双曲线左支 C. 双曲线右支 D. 一条射线 解析：因为 － ＝2的几何意义是动点P（x，y）到点F1（－2，0）与F2（2，0）的距离之差为2，又因为2＜F1F2＝4，所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·常州月考）若双曲线的方程为 － ＝1，其焦点在x轴 上，焦距为4，则实数t＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：　由曲线 － ＝1为双曲线，且焦点在x轴上，焦距为4， 知 解得t＝4.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知双曲线 － ＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点 N到坐标原点O的距离为（　　） A. 3或7 B. 6或14 C. 3 D. 7 解析：连接ON，ON是△PF1F2的中位线，∴ON＝ PF2，∵｜PF1－PF2｜＝4，PF1＝10，∴PF2＝14或6，∴ON＝ PF2＝7或3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 相距4k m的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2 s，若声速为每秒k m，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是（　　） A. 圆 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线 解析：　由已知条件可得｜PA－PB｜＝2k＜4k＝AB，根据双曲线的定 义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知方程 ＋ ＝1表示的曲线为C. 给出以下四个判断正 确的是（　　） A. 当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B. 当t＞4或t＜1时， 曲线C表示双曲线 C. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ D. 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：A错误，当t＝ 时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则（4－t）（t－1）＜0，∴t＜1或t＞4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0，∴1＜t＜ ；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则 ∴t＞4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 设m是常数，若点F（0，5）是双曲线 － ＝1的一个焦点，则m ＝ ⁠. 解析：由点F（0，5）可知双曲线 － ＝1的焦点落在y轴上，所以m＞ 0，且m＋9＝52，解得m＝16. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 点P到点F1（－10，0）的距离与它到点F2（10，0）的距离的差等于16 的轨迹方程为 ⁠. 解析：根据题意，轨迹为焦点在x轴的双曲线的右支，2a＝16，a＝8，c ＝10，故b＝ ＝6，故轨迹方程为： － ＝1（x≥8）. － ＝1（x≥8） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. （2026·盐城月考）经过点P（－3，2 ）和Q（－6 ，－7）的双 曲线的标准方程是 ⁠. 解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0），则 解得 故双曲线的标准方程为 － ＝1. － ＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且 双曲线过C，D两顶点.若AB＝4，BC＝3，求此双曲线的标准方程. 解：设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0）. 由题意得B（2，0），C（2，3）， 所以 解得 所以双曲线的标准方程为x2－ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 双曲线 － ＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点 的距离为（　　） A. 1或21 B. 14或36 C. 2 D. 21 解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设PF1＝11，根据双曲线的定义知｜PF1－PF2｜＝2a＝10，所以PF2＝1或PF2＝21，而c2＝25＋24＝49，c＝7，设双曲线右支上一点P（m，n），m≥5，因为PF2≥c－a＝2，即（PF2）min＝2，故PF2＝1不成立，所以PF2＝21，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. （2026·南京质检）在△ABC中，A（－5，0），B（5，0），点C在 双曲线 － ＝1上，则 ＝（　　） A. B. ± 解析：　因为在△ABC中，由正弦定理得 sin A＝ ， sin B＝ ， sin C ＝ ＝ （R为△ABC外接圆的半径），所以 ＝ ＝ . 由双曲线的定义得BC－AC＝±8，所以 ＝± ＝± . C. － D. ± √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 已知点A（－2，0），点B（2，0），P是动点，且直线AP与BP的斜 率之积等于 ，则动点P的轨迹方程为 　 － ＝1（x≠±2）　. 解析：设点P的坐标为（x，y）（x≠±2），因为kPA＝ ，kBP＝ ，kAP·kBP＝ ，所以 · ＝ （x≠±2），化简得 － ＝1 （x≠±2）.故动点P的轨迹方程为 － ＝1（x≠±2）. － ＝1（x≠±2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 如图所示，已知定圆F1：（x＋5）2＋y2＝1，定圆F2：（x－5）2＋y2 ＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：圆F1：（x＋5）2＋y2＝1，圆心F1（－5，0），半径r1＝1； 圆F2：（x－5）2＋y2＝42，圆心F2（5，0），半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则有MF1＝R＋1，MF2＝R＋4， ∴MF2－MF1＝3＜10＝F1F2， ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝ ，c＝5，于是 b2＝c2－a2＝ ， ∴动圆圆心M的轨迹方程为 － ＝1（x≤－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $