第2章 2.1 第2课时 圆的一般方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“圆的一般方程”核心知识点，从圆的标准方程展开引入，通过问题链探讨其表示圆的条件（D²+E²-4F>0），学习化为标准方程求圆心半径，再应用待定系数法解决三点共圆及实际问题，构建从理论到应用的学习支架。 该资料以问题驱动探究，如“方程是否表示圆”培养数学眼光，例题中配方推理和参数范围求解发展数学思维，实际应用（如圆拱梁支柱长度计算）强化数学语言表达与模型意识。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练和对点练帮助学生巩固，查漏补缺。

第2课时　圆的一般方程 学习目标　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题. 导语 前面我们已经讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题. 一、圆的一般方程的理解 问题1　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆. 问题2　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. 知识梳理 1.圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫作圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，且其圆心为，半径为. 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径. 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 延伸探究　若原点在圆C：x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0外，求实数m的取值范围. 解　由已知得m2＋5m>0， 得m>0或m<－5， 又由例题知m<， 所以0<m<. 反思感悟　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. (3)若点(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上(内、外)，则＋Dx0＋Ey0＋F＝0(<0、>0). 跟踪训练1　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为　　　　　　　　.  答案　， 解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)， 可化为， 故圆心坐标为，半径为. (2)当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　D 解析　由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－m)2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小. 二、求圆的一般方程 例2　(课本例3)已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程. 解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为点A，B，C在所求的圆上，所以 解得 故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5＝0. 例2　已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标. 解　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 将A，B，C三点坐标代入上式得 解得 ∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，即(x＋3)2＋(y－1)2＝25， ∴△ABC的外心即△ABC的外接圆圆心为(－3，1). 反思感悟　应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 跟踪训练2　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程. 解　圆心C， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－1＝0， 即D＋E＝－2. ① 又∵半径r＝， ∴D2＋E2＝20. ② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴－<0，即D>0，则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 三、圆的一般方程的实际应用 例3　(课本例5)某圆拱梁的示意图如图所示.该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需要一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到0.01 m). 解　以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，那么点A，B，P的坐标分别为(－18，0)，(18，0)，(0，6). 设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为点A，B，P在所求的圆上，所以 解得 故圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0. 将点P2的横坐标x＝6代入上述方程，解得 y＝－24＋12≈5.39(负值舍去). 答支柱A2P2的长约为5.39 m. 例3　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m.建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m). 解　以点O为坐标原点AB，OP所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则P(0，4)，B(10，0)，A(－10，0)， 设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，P在圆上， 所以解得 故圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋21y－100＝0， 将P2的横坐标x＝－2代入圆的方程得y≈3.86(m). 故支柱A2P2的高度约为3.86 m. 反思感悟　解应用题的步骤 (1)建模. (2)转化为数学问题求解. (3)回归实际问题，给出结论. 跟踪训练3　一隧道内设双行线公路，隧道截面由一段圆弧和一个长方形构成，如图所示，已知隧道总宽度AD为6 m，侧墙EA，FD的高为2 m，弧顶高MN为5 m，试建立适当的直角坐标系，求圆弧所在圆的一般方程. 解　设EF与MN交于点O，以点O为坐标原点，以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系(图略)，则有E(－3，0)，F(3，0)，M(0，3). 设圆弧所在圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由圆心在y轴上，F(3，0)，M(0，3)在圆上，得 解得 故所求圆的一般方程为x2＋y2＋6y－27＝0. 1.知识清单： (1)圆的一般方程的理解. (2)求圆的一般方程. (3)圆的一般方程的实际应用. 2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法. 3.常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件. 1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0， 所以m>－. 2.已知圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－4＝0，则其圆心坐标是(　　) A.(1，2) B.(－1，2) C.(1，－2) D.(－1，－2) 答案　C 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为， 则圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心坐标是(1，－2). 3.若点(1，a)在圆x2＋y2－2x＝0的内部，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，1) B.(－∞，1) C.[0，1) D.(1，＋∞) 答案　A 解析　因为点(1，a)在圆x2＋y2－2x＝0的内部， 所以1＋a2－2<0，即a2<1，解得－1<a<1，故实数a的取值范围是(－1，1). 4.某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16 m，拱高为4 m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系，则这座圆拱桥所在圆的一般方程为　　　　　　　　　　. 答案　x2＋y2＋12y－64＝0 解析　设这座圆拱桥所在圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为该圆过A(－8，0)，B(8，0)，C(0，4)，所以解得所以这座圆拱桥所在圆的一般方程为x2＋y2＋12y－64＝0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　) A.－2 B.0 C.1 D. 答案　ABD 解析　根据题意，若方程表示圆， 则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 解得a<1，又a∈， 则a的值可以为－2，0，. 2.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5，0)，则它的半径为(　　) A.3 B. C.5 D.4 答案　D 解析　圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0， 即(x＋a)2＋y2＝a2－9， 它的圆心坐标为(－a，0)，可得a＝－5， 故它的半径为＝4. 3.(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆，下列叙述中正确的是(　　) A.圆心在直线y＝－x上 B.其圆心在x轴上 C.过原点 D.半径为a 答案　AC 解析　因为方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆的标准方程为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)， 所以圆心坐标为(－a，a)，半径r＝|a|， 对于A选项，圆心(－a，a)在直线y＝－x上，A正确； 对于B选项，因为a≠0，所以圆心不可能在x轴上，B错误； 对于C选项，因为(0＋a)2＋(0－a)2＝2a2，则该圆过原点，C正确； 对于D选项，该圆的半径为r＝|a|，D错误. 4.已知圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0，若圆O的半径小于8，则m的取值范围是(　　) A.(－7，13) B.(－∞，－3)∪(9，＋∞) C.(3－2，－3)∪(9，3＋2) D.(－7，－3)∪(9，13) 答案　D 解析　因为圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0， 所以圆O的标准方程为(x－m)2＋(y＋2m)2＝m2－6m－27， 故0<m2－6m－27<82， 解得－7<m<－3或9<m<13. 5.过三点A(1，3)，B(6，－2)，C(1，－7)的圆交x轴于M，N两点，则MN等于(　　) A.2 B.2 C.4 D.4 答案　B 解析　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(1，3)，B(6，－2)，C(1，－7)代入，得解得 ∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0， 令y＝0，可得x2－2x－20＝0，∴x＝1±，则MN＝2. 6.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 7.(5分)若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝　　　　.  答案　2 解析　由题意得解得 则a＋b＋c＝2. 8.(5分)过坐标原点，且在x轴和y轴上的交点分别为(2，0)和(0，3)的圆的方程为　　　　　　　　.  答案　x2＋y2－2x－3y＝0 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意知，圆过点(0，0)，(2，0)和(0，3)， 所以 解得 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0. 9.(10分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，O为MN的中点，求这个等腰梯形的外接圆的一般方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解　由等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3， 知点M，N，P的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(2，3). 设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将M，N，P三点的坐标分别代入上述方程， 可得解得 故所求圆的一般方程为x2＋y2－y－9＝0， 其圆心坐标为，半径r＝. 10.(10分)已知圆的方程为x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径；(4分) (2)求证：无论m为何实数，方程表示圆心在同一条直线上且半径相等的圆.(6分) (1)解　x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9， 所以圆心为(1－m，2m)，半径r＝3. (2)证明　由(1)可知，圆的半径为定值3， 且圆心(a，b)满足方程组 即2a＋b＝2. 所以无论m为何实数，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，且半径都等于3的圆. 11.关于圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0有四个命题：①点A(1，－3)在圆内；②点B(2，3)在圆上；③圆心为(－1，0)；④圆的半径为3.若只有一个假命题，则该命题是(　　) A.① B.② C.③ D.④ 答案　D 解析　若②③正确，则得故F＝－17，所以圆的方程为(x＋1)2＋y2＝18，显然点A(1，－3)在圆内，①正确，圆的半径为3，④错误，符合题意； 若③④正确，则可求得圆的方程为(x＋1)2＋y2＝9，显然点B(2，3)不在圆上，②错误，点A(1，－3)在圆外，①错误，不符合题意； 其他四种命题组合①②，①④，②④，①③无法确定圆的方程，无法对剩余命题判断真假. 综上所述，④为假命题. 12.若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(2，＋∞) 答案　D 解析　由题意得，曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4， 因此曲线C是圆心为(－a，2a)，半径为2的圆. ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴解得a>2， ∴a的取值范围是(2，＋∞). 13.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆C的一般方程为(　　) A.x2＋y2－240x＋320y＝0 B.x2＋y2＋240x－320y＝0 C.x2＋y2＋120x－160y＝0 D.x2＋y2＋240x－160y＝0 答案　B 解析　由题意，得A(40，40)，B(－240，0)， 设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 因为圆C经过O，A，B三点， 所以 解得 所以圆C的一般方程为x2＋y2＋240x－320y＝0. 14.(5分)已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为　　　　.  答案　－2 解析　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中， 得解得 所以圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 令y＝0，则x2－2x－20＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 15.已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则SP＋SQ的最小值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　C 解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1，5)，半径为1.如图所示，作点P(7，3)关于x轴的对称点P'(7，－3)， 连接MP'，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时SP＋SQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S'，连接S'P，S'P'，S'Q，由于P与P'关于x轴对称，所以SP＝SP'，S'P＝S'P'，所以SP＋SQ＝SP'＋SQ＝P'Q<S'P'＋S'Q＝S'P＋S'Q. 故(SP＋SQ)min＝P'M－1 ＝－1＝9. 16.(13分)在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆. 最小覆盖圆满足以下性质： ①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆. ②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆. 已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4，0)，C(0，2)，D(－4，0)为曲线W上不同的四点. (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；(4分) (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；(4分) (3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.(5分) 解　(1)由题意，得t＝－2， 由于△ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆. 设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以△ABC的最小覆盖圆的方程为 x2＋y2－3x－4＝0. (2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆， 所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16. 又因为OA＝OC＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内. 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为 x2＋y2＝16. (3)由题意，知曲线W为中心对称图形. 设P(x0，y0)， 则＝16. 所以OP2＝(O为坐标原点)， 且－2≤y0≤2. 故OP2＝＝16－ ＝－， 所以当时，OPmax＝， 所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $