培优课 对称问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 聚焦对称问题的系统性突破，以点线对称为核心，通过转化思想整合距离最值、反射路径等应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点对称|1,3,4,5,8|中点坐标公式、对称点方程组、转化法|从点关于点对称到点关于直线对称，构建对称点求解通法| |线对称|2,6,7|平行/垂直直线性质、对称直线方程求法|由线对称性质推导对称直线方程，关联线线位置关系| |对称应用|3,4,5,8,9,10|反射路径转化、距离和差最值、三角形综合|应用对称思想解决实际问题，体现几何直观与运算能力的结合|

培优课　对称问题 1.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（　　） A.2　 　B.4 C.5　 　D． 2.两直线l1：3x－2y－6=0，l2：3x－2y＋8=0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（　　） A．3x－2y＋24=0　 　B．3x－2y－10=0 C．3x－2y－20=0　 　D．3x－2y＋22=0 3.（2026•南通月考）如图所示，已知点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（　　） A．2　 　B．6 C．3　 　D．2 4.若第一象限内的点（m，n）关于直线x＋y－2=0的对称点在直线2x＋y＋3=0上，则＋的最小值是（　　） A．25　 　B．C．17　 　D． 5.已知点A（－3，5），B（3，1），在直线l：y=x上求一点P，使|PA－PB|的值最大，则P点的坐标为（　　） A．（0，0）　 　B．（，） C．（，）　 　D．（7，7） 6.〔多选〕已知直线l：y=x，点A（0，－1），则（　　） A．过点A与l平行的直线的方程为y=x－1 B．点A关于l对称的点的坐标为（0，1） C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为y=－x－1 7.已知直线l：3x＋2y－1=0与直线l1关于直线x＋y=0对称，则l1的方程为　　　　． 8.已知两定点A（0，2），B（2，1），且点P是直线x＋y－1=0上任意一点，则PA＋PB的最小值是　　　　． 9.已知△ABC中A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为6x＋10y－59=0，∠B的平分线方程BT为x－4y＋10=0. （1）求顶点B的坐标； （2）求直线BC的方程． 10.已知直线l：x－y＋3=0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A． （1）试判断由此得到的△ABC的个数； （2）求直线BC的方程． 答案 培优课　对称问题 1.D　2.D 3.A　由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D（4，2），关于y轴的对称点为C（－2，0），连接MD，NC，易知PM＝MD，PN＝NC，所以PM＋MN＋NP＝MD＋MN＋NC＝CD，故光线所经过的路程为CD＝2. 4.B　设（m，n）关于直线x＋y－2＝0的对称点为（x1，y1），依据题意可得：解方程组得又∵对称点在直线2x＋y＋3＝0上，代入可得2n＋m＝9，且（m，n）在第一象限，则m＞0，n＞0，则（＋）（＋）＝＋＋＋≥2＋＝，当且仅当＝时，即m＝，n＝时，等号成立.故选B. 5.B　如图，设点B关于直线l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，则kBB'·kl＝－1，即＝－1，得a＋b－4＝0，①.又由BB'的中点（，）在直线l上，所以＝，即a－b＋2＝0，②.由①②解得所以B'（1，3），于是AB'所在直线方程为＝，即x＋2y－7＝0，易知｜PA－PB｜＝｜PA－PB'｜，当且仅当P，B'，A三点共线时｜PA－PB'｜最大，即由得其交点坐标为（，），故P点坐标为（，）.故选B. 6.ACD　与直线y＝x平行的直线方程可设为y＝x＋m，代入点A（0，－1）得－1＝0＋m，即m＝－1，即平行线方程为y＝x－1，A正确；点A关于l的对称点坐标为（－1，0），B错；点A到直线l的距离为d＝＝，C正确；与直线l垂直的直线方程可设为y＝－x＋n，代入A点坐标得－1＝0＋n，n＝－1，即直线方程为y＝－x－1，D正确.故选A、C、D. 7.2x＋3y＋1＝0　解析：x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0不平行，故l1经过x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0的交点，联立解得即（1，－1）在l1上，取l：3x＋2y－1＝0上另一点（3，－4），设（3，－4）关于直线x＋y＝0的对称点为（m，n），则有解得l1过两点（1，－1）和（4，－3），故方程为＝，即2x＋3y＋1＝0. 8.3　解析：设点A关于直线x＋y－1＝0的对称点为A1（x0，y0）， 则 解得即A1（－1，1），PA＋PB＝PA1＋PB≥A1B＝3，当且仅当A1，P，B共线时等号成立. 9.解：（1）设B（x0，y0）， 则AB的中点M（，）在直线CM上. ∴6×＋10×－59＝0， ∴3x0＋5y0＋4－59＝0， 即3x0＋5y0－55＝0， ① 又点B在直线BT上， 则x0－4y0＋10＝0， ② 由①②可得x0＝10，y0＝5，即B点的坐标为（10，5）.（2）设点A（3，－1）关于直线BT的对称点D的坐标为（a，b）， 则点D在直线BC上. 由题知得 ∴D（1，7），kBC＝kBD＝＝－， ∴直线BC的方程为y－5＝－（x－10），即2x＋9y－65＝0. 10.解：（1）如图，设B（m，0），点A关于x轴的对称点为A'（1，－2），点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B'（－3，m＋3）. 根据光学知识，直线AB'与直线BC关于直线l对称，点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上，又直线A'B的方程为y＝（x－m）， 由得x＝. 又直线AB'的方程为y－2＝·（x－1）， 由得x＝. 所以＝，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形. 综上，符合题意的△ABC只有1个. （2）由（1）得m＝，则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $