专题02 直线对称·距离·最值三大模型（题型专练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以三大模型为框架，系统整合对称问题、距离公式及最值方法，形成“原理-公式-技巧-应用”完整链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线对称问题|1典例+3变式|涵盖点线、线点、线线对称求算，提炼特殊情况记忆法、正规方程组法及万能对称原理|从对称定义出发，通过“垂直平分”构建方程，推导曲线对称通法，形成从特殊到一般的逻辑| |直线距离的定值与最值|1典例+3变式|整合两点、点线、平行线距离公式，强调公式应用条件，结合函数转化求最值|以距离公式为基础，通过代数变形实现几何问题代数化，体现数形结合思想| |两条距离和差最值问题|1典例+3变式|提炼“对称转化法”求距离和最小值（同侧点）、距离差最大值（两侧点），结合三角形三边关系证明|基于对称原理将折线距离转化为直线距离，利用几何性质简化最值求解，培养空间观念|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02】 直线对称·距离最值三大模型 (题型突破·举一反三) 题型01直线对称问题 典例精析 【典例1】【答案】B 举一反三 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】(1)x-y-5=0；(2)x-2y-2=0 【变式13】【答案】AD 题型02直线距离的定值与最值 典例精析 【典例2】【答案】A 举一反目 【变式2-1】【答案】 √2 2V2 【变式2-2】【答案】D 【变式23】【答案】(1)4x-3y-6=0(2)0x-y-1=0或x-7y+11=0；②25 题型03两条距离和差最值问题 三 典例精析 【典例3】【答案】D 举一反三 【变式31】【答案】(-2,3) 【变式3-2】【答案】D 1/2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3-3】【答案】(1)x+y+2=0(2)10 2/2 专题02 直线对称·距离·最值三大模型 （题型突破·举一反三） 题型01 直线对称问题 题型02 直线距离的定值与最值 题型03 两条距离和差最值问题 ▌题型01 直线对称问题 ①点关于线对称的点的求算 点关于直线的对称点为 ②线关于点对称的直线求算 直线关于点对称的直线为 ③线关于线对称的直线方程求算 直线关于直线对称直线为其中 注意：特殊情况 Ⅰ：点关于直线对称的点坐标为． 点关于直线对称的点坐标为． 直线关于直线对称的直线方程为． 直线关于直线对称的直线方程为． Ⅱ：点关于直线对称的点坐标为． 点关于直线对称的点坐标为． 直线关于直线对称的直线方程为； 直线关于直线对称的直线方程为； 《记忆方法》或者 ④正规方法 点关于直线成轴对称问题（所有对称都可以转化为点关于线对称） 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点关于直线的对称点为，则有 ，可求出、． ⑤万能对称原理（曲线关于直线对称的原理） 曲线（或直线 ）关于直线的对称曲线（或直线 ）的方程为：．    证明：设是曲线上的任意一点，它关于l的对称点为，则 于是 ① ∵与关于直线对称． ∴ ② ②代入①，得，此即为曲线的方程． 【典例1】已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【变式1-1】一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式1-2】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【变式1-3】（多选）下列选项正确的是（     ） A．过点且和直线平行的直线方程是 B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．直线关于对称的直线为 D．原点到直线的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】利用平行关系求出直线方程判断A；由斜率求出倾斜角范围判断B；由中心对称判断C；求出直线所过定点判断D. 【详解】对于A，设与直线平行的直线方程为， 而该直线过点，则，解得，所求方程为，A正确； 对于B，当时，，得，B错误； 对于C，直线过点，而关于的对称点不在直线上，C错误； 对于D，直线恒过定点，令原点为，当且仅当垂 直于直线时，原点到该直线距离最大，为，D正确. 故选：AD ▌题型02 直线距离的定值与最值 ①两点间的距离：已知则 ②点到直线的距离: ③两平行线间的距离：两条平行直线与的距离公式． 注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且的系数分别相等． 【典例2】已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从中解出，代入得到，则表示点到点的距离与点到点的距离之和，故的最小值就是的值，利用两点间距离公式求解即可得解. 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点 到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为. 故选：A.    【变式2-1】某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式，结合几何意义求出的最小值；变形，再利用几何意义求出其最小值. 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 【变式2-2】若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式计算即可. 【详解】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D 【变式2-3】已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. ▌题型03 两条距离和差最值问题 ①求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法 当两点在直线的两侧时，可以在直线上找到一点,使得最大. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接并延长交于点，连接,则点即为所求点，此时最大.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之差小于第三边）即 ②求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方法 当两点在直线的同侧时，可以在直线上找到一点,使得最小. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接交于点，连接,则点即为所求点，此时最小.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之和大于第三边）即 【典例3】已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于轴、直线的对称点、的坐标，可知，，则，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，即可求解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：D. 【变式3-1】已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，分析可知当、、三点共线时，最小，设点，求出点的坐标，进而可得出直线的方程，再将该直线方程与直线的方程联立，即可得出点的坐标. 【详解】易知，均在直线的同侧； 作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则， 所以， 当、、三点共线时取等号，即、、三点共线时，最小. 设，则，解得，即. 因为，所以直线为， 由，得，即. 故答案为：. 【变式3-2】已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】取点关于直线对称点，设， 则，解得，即， 则， 当且仅当、、三点共线时取等.    故选：D. 【变式3-3】已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等. (1)求直线的方程； (2)已知点和，点在直线上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标可得答案； （2）求出点关于直线的对称点，利用两点间直线段最短可求最小值. 【详解】（1）因为点在轴的负半轴上，所以设直线的方程为， 将点的坐标代入，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设点关于直线对称点为， 则，故只需求出即可. 由（1）知直线的方程为，其斜率为， 则，解得，即. 所以， 所以的最小值为10.    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线对称·距离·最值三大模型 （题型突破·举一反三） 题型01 直线对称问题 题型02 直线距离的定值与最值 题型03 两条距离和差最值问题 ▌题型01 直线对称问题 ①点关于线对称的点的求算 点关于直线的对称点为 ②线关于点对称的直线求算 直线关于点对称的直线为 ③线关于线对称的直线方程求算 直线关于直线对称直线为其中 注意：特殊情况 Ⅰ：点关于直线对称的点坐标为． 点关于直线对称的点坐标为． 直线关于直线对称的直线方程为． 直线关于直线对称的直线方程为． Ⅱ：点关于直线对称的点坐标为． 点关于直线对称的点坐标为． 直线关于直线对称的直线方程为； 直线关于直线对称的直线方程为； 《记忆方法》或者 ④正规方法 点关于直线成轴对称问题（所有对称都可以转化为点关于线对称） 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点关于直线的对称点为，则有 ，可求出、． ⑤万能对称原理（曲线关于直线对称的原理） 曲线（或直线 ）关于直线的对称曲线（或直线 ）的方程为：．    证明：设是曲线上的任意一点，它关于l的对称点为，则 于是 ① ∵与关于直线对称． ∴ ② ②代入①，得，此即为曲线的方程． 【典例1】已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【变式1-3】（多选）下列选项正确的是（     ） A．过点且和直线平行的直线方程是 B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．直线关于对称的直线为 D．原点到直线的距离的最大值为 ▌题型02 直线距离的定值与最值 ①两点间的距离：已知则 ②点到直线的距离: ③两平行线间的距离：两条平行直线与的距离公式． 注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且的系数分别相等． 【典例2】已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【变式2-2】若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 【变式2-3】已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. ▌题型03 两条距离和差最值问题 ①求直线上一点到两定点的距离之差的最大值的方法 当两点在直线的两侧时，可以在直线上找到一点,使得最大. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接并延长交于点，连接,则点即为所求点，此时最大.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之差小于第三边）即 ②求直线上一点到两定点的距离之和的最小值的方法 当两点在直线的同侧时，可以在直线上找到一点,使得最小. 理由如下：作点关于直线的对称点,连接交于点，连接,则点即为所求点，此时最小.且 若在直线上取不同于点的点,连接,则.在中，（三角形中两边之和大于第三边）即 【典例3】已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为_____. 【变式3-2】已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式3-3】已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等. (1)求直线的方程； (2)已知点和，点在直线上运动，求的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $