5.2.2 函数的和、差、积、商的导数(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦函数和差积商的导数运算，通过质点运动距离、商品网购支付款等实际函数模型导入，衔接基本初等函数导数公式，搭建从已知到未知的学习支架。 资料以情境导入培养数学眼光，典例研析分题型并配跟踪训练强化数学思维中的运算与推理能力，自我诊断和随堂检测助力学生用数学语言精准表达导数运算，提升问题解决能力。

5.2.2　函数的和、差、积、商的导数 课标要求 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数（数学运算）． 　　利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，但实际生活中所涉及的一些函数模型多数为基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的初等函数，如某质点运动，运动距离s与时间t的函数为s（t）=t2＋；某商品网购量x（件）与支付款y（元）之间的关系为y=10x－ln x（x≥1）等． 【问题】　（1）由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的函数该如何求导呢？ （2）除用定义法之外，是否有更简便的求导方法呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数的和、差、积、商的求导法则 1.条件：f（x），g（x）是可导的． 2.结论：（1）（f（x）±g（x））′=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； （2）（Cf（x））′=Cf′（x）（C为常数）； （3）（f（x）g（x））′=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； （4）′=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 提醒：（1）导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形（一般化），即（u（x）±v（x）±…±w（x））′=u′（x）±v′（x）±…±w′（x）；（2）函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即（u（x）v（x）•…•w（x））′=u′（x）v（x）•…•w（x）＋u（x）v′（x）•…•w（x）＋…＋u（x）v（x）•…•w′（x）；（3）注意（）′≠． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）（ex＋cos ）′=ex．（　　） （2）当g（x）≠0时，′=．（　　） （3）函数f（x）=xln x的导数是f′（x）=x．（　　） 2.已知f′（x）是函数f（x）=sin x－sin的导函数，则f′（）=（　　） A．－ 　 　B．－　 　C．　 　 D． 3.（2026•淮安月考）曲线f（x）=x2＋2x在点（2，f（2））处的切线斜率为　　　　． 题型一　f（x）±g（x）的导数 （链接教科书第205页例2）求下列函数的导数： （1）y=x5－x3＋cos x； （2）y=lg x－ex． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），对每一项分别利用基本初等函数的求导公式求导即可． 求下列函数的导数： （1）y=x4－x2－x＋3； （2）y=x3＋sin x． 题型二　f（x）g（x）和的导数 （链接教科书第205页例3）求下列函数的导数： （1）y=x2＋xln x； （2）y=； （3）〔一题多解〕y=（2x2－1）（3x＋1）． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． 2.如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． 求下列函数的导数： （1）y=x3ex； （2）y=x2＋tan x； （3）y=． 题型三　导数四则运算法则的应用 （1）记函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=3xf′（2）－2ln x，则f（1）=（　　） A.1　　 B.2 C．　 D． （2）（2026•连云港月考）曲线y=xln x上的点到直线x－y－2=0的最短距离是（　　） A．　 　B． C.1　 　D.2 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个要素，其他的条件可以转化为这三个要素间的关系； （2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 2.含f′（c）函数的求导问题的解决策略 含f′（c）函数在求导时一定要抓住f′（c）为常数这一特点，也就是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f′（c）一律充当常系数处理． 1.若函数f（x），g（x）满足f（x）＋xg（x）=x2－1，且f（1）=1，则f′（1）＋g′（1）=（　　） A．1　 　B．2 C．3　 　D．4 2.已知函数f（x）=x2sin x＋xcos x，则其导函数f′（x）的部分图象大致是（　　） 1.设函数y=－2exsin x，则y′=（　　） A．－2excos x 　B．－2exsin x C.2exsin x 　D．－2ex（sin x＋cos x） 2.已知函数f（x）=ax2＋c，且f′（1）=2，则a=（　　） A．1　 　B． C．－1　 　D．0 3.（2026•泰州月考）曲线f（x）=xln x在点（1，f（1））处的切线的方程为　　　　． 4.求下列函数的导数： （1）〔一题多解〕f（x）=（x－2）（x2＋2x＋4）； （2）f（x）=－2x． 完成课后作业　第五章　5.2　5.2.2 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $